Основы_акустики_Гринченко_Вовк

В нашей книге мы не имеем возможности, даже кратко, расска- зать об этой проблеме, и поэтому рекомендуем специальную литера- туру [2, 17, 26, 28, 29, 54]. Наша цель состоит в том, чтобы только указать читателю на возможность появления сложной динамики в нелинейной системе с малым числом степеней свободы. Ниже, вы- полнив численные расчеты, приведем примеры хаотичного режима колебаний нелинейного осциллятора, который находится под гармо- ническим внешним воздействием.

11.13.1. Некоторые особенности исследования хаоса

Очевидно, что для системы с одной степенью свободы, ко- торая характеризуется фазовым пространством размерностью N = 2 (фазовая плоскость), режим динамического хаоса невозможен. Дейст- вительно, хаотическому изменению во времени смещения x(t) и скоро- сти x(t) осциллятора должно соответствовать хаотичное перемещение

фазовой точки на фазовой плоскости, которая неизбежно приведет к пересечению фазовой траектории. А это, как мы знаем, невозможно. Однако уже в фазовом пространстве размерностью N = 3 возможно возникновение сложного поведения траектории. В диссипативных системах хаос ассоциируется с наличием в фазовом пространстве странного аттрактора — сложно построенного множества, которое притягивает к себе все траектории из соответствующего бассейна ат- трактора.

Итак, приведем некоторые сведения о фазовом пространстве ос- циллятора, совершающего вынужденные колебания. Если внешнее воздействие на систему с одной степенью свободы отсутствует, то мы имеем колебательную систему (11.18) с двумерным фазовым про- странством. При наличии периодического внешнего воздействия ди- намика такой системы в общем случае будет определяться системой двух дифференциальных уравнений первого порядка:

x = h(x,y,t), y = g(x,y,t), (11.135)

где x и y — динамические переменные. Функции h и g зависят от времени t согласно периодическому закону. Понятно, что состояние системы определяется тремя величинами (x, y, t) и, следовательно, фазовое пространство имеет размерность N = 3. Для того чтобы полу- чить соответствующую систему трех дифференциальных уравнений, введем дополнительную динамическую переменную z = t, тогда z =1 и будем иметь следующую систему уравнений:

Очень удобным инструментом в случае исследования колебатель- ных систем типа (11.136) является отображения Пуанкаре. Процеду-

771

ра его построения следующая. Выделим в трехмерном фазовом про- странстве (x, y, z) плоскость z = t0 (рис. 11.22); ее называют сечением Пуанкаре. Координатами в сечении Пуанкаре являются переменные x и y. Возьмем фазовую траекторию, которая стартует из некоторой точки (x, y) в сечении, и проследим за ней до момента времени t = t0 +T , где T — период внешнего воздействия. Пусть в этот момент

времени значения динамических переменных равны x′ и y′. Понятно, что они зависят от выбора начальных x и y и связанны с ними функ- циональными соотношениями:

Выполняя далее сечение Пуанкаре через период T, мы, в сущности, сводим анализ динамики колебательной системы к повторению той же процедуры, с теми же функциями F1 и F2. Таким образом, описа- ние динамики сводится к последовательным итерациям двумерного отображения (11.137), которое и является отображением Пуанкаре.

Рис. 11.22. Пример построения сечения Пуанкаре

Исследовать алгебраические уравнения (11.137) намного проще, чем исходные дифференциальные (11.136), ведь время принимает дискретные значения и, тем самым, резко уменьшается количество информации, которую следует рассмотреть. Фактически от анализа сис- темы в трехмерном фазовом пространстве мы переходим к анализу отображения на плоскости. Такой подход может казаться не право- мерным. Но важность момента состоит в том, что отображение Пу-

анкаре содержит в себе все особенности, характерные для фазово- го портрета колебательной системы.

772

Вообще отображение Пуанкаре является одним из основных рабо- чих инструментов в исследовании динамики нелинейных систем. Тот факт, что от описания в терминах дифференциальных уравнений можно перейти к описанию в терминах итераций отображения, име- ет большое методологическое значение. Как образно отметил Арнольд

[ , с. 1311], “математическое описание мира базируется на дели- катном взаимодействии непрерывных (плавных) и дискретных (скач- кообразных) явлений”.

Найти явный вид отображения Пуанкаре для конкретных нели- нейных систем удается только тогда, когда дифференциальные урав- нения допускают аналитическое решение. Обычно приходится реали- зовывать построение отображения Пуанкаре численно.

11.13.2. Осциллятор с кубической нелинейностью при гармоническом внешнем воздействии

Уравнение движения осциллятора с кубической нелиней- ностью при гармоническом внешнем воздействии имеет вид

Здесь коэффициент δ определяет диссипативные процессы в системе, а коэффициенты α и β характеризуют восстанавливающую силу; ω и B — частота и амплитуда гармонического внешнего воздействия.

Перепишем уравнение (11.138) в виде системы дифференциаль- ных уравнений первого порядка, введя для этого новые переменные y = x , z = ωt :

x = y,

Эта система определяет фазовые траектории, или, как говорят, фазо- вый поток, в трехмерном фазовом пространстве.

Для описания различных типов колебаний системы (11.139), как и любой другой нелинейной системы, строят карту динамических ре- жимов: на плоскости параметров выделяют области значений пара- метров, которые соответствуют тому или иному колебательному ре- жиму. Например, для системы (11.139) можно зафиксировать коэф-

Арнольд Владимир Игоревич (н. 1937) — российский математик, академик АН СССР (1990 р.).

Арнольд В.И. Математика и физика: родитель и дитя или сестры? //

УФН. — 1999. — 169, №12. — С. 1311—1323.

773

фициенты δ, α, β, тогда плоскость параметров образуют амплитуда B и частота внешнего воздействия ω. При построении таких карт об- ращает на себя внимание сложная картина расположения областей с различным характером движения, что наблюдается практически во всех системах с хаосом.

Не выполняя кропотливой работы относительно построения карты динамических режимов системы (11.139), рассмотрим несколько си- туаций, иллюстрирующих типичные колебательные режимы нелиней- ного осциллятора. Зафиксируем параметры 2δ = 0,1, α = β = 1; ω =1, а переменным параметром будет амплитуда внешней силы B. Началь- ные условия: х (0) = 0, x(0) = 0.

Рис. 11.23. Пример исследования нелинейного осциллятора (11.139) при

2δ = 0,1; α = β = 1; ω =1; B = 29

Пусть B = 29. На рис. 11.23, а представлена зависимость коорди- наты x от t/T, где T = 2πω — период внешнего воздействия (пунк-

тирная линия отображает гармоническую зависимость внешнего воз- действия). Как следует из рисунка, в системе после переходного ре- жима (он не показан) происходит устойчивое периодическое движе- ние с периодом T. Вследствие значительной нелинейности в системе зависимость x(t) на рис. 11.23, а существенно отличается от кривой гармонического внешнего воздействия. Естественно, в спектре от- клика системы x(t) появляются гармоники, кратные частоте внешнего

774

воздействия (рис. 11.23, г; вдоль оси абсцисс отложена частота, нор- мированная к частоте внешнего воздействия ω).

На рис. 11.23, б приведена проекция фазовой траектории в трех- мерном фазовом пространстве (x, y, z) на плоскость (x, y), которая представляет собой замкнутую кривую, вследствие периодического движения осциллятора. На рис. 11.23, в представлено сечение Пуан- каре, где определяются динамические переменные х(tn), y(tn) в момен- ты времени t = nT , n = 0,1,2,... Как следует из рисунка, в отображении

Пуанкаре имеем одну точку, т. е. после переходного процесса система осуществляет периодическое движение с периодом внешнего воздей- ствия T = 2π/ω.

Рис. 11.24. Пример исследования нелинейного осциллятора (11.139) при

2δ = 0,1; α = β = 1; ω =1; B = 38

Изменим амплитуду внешнего воздействия: пусть B = 38. Период движения в системе увеличился в три раза и равен 3Т (рис. 11.24, а). Проекция фазовой траектории на плоскость ( x, y ) приведена на

рис. 11.24, б, а соответствующее отображение Пуанкаре представле- но на рис. 11.24, в (переходной режим не показан). Как видим, ото- бражение Пуанкаре — это три точки, которые представляют собой ”след” аттрактора системы в сечении Пуанкаре. В этом случае гово- рят, что произошла бифуркация (от латинского слова bifurcus — раз-

775

двоение) — утроение периода. Видим, что проекция фазовой траек- тории (рис. 11.24, б) представляет собой замкнутую кривую, но дос- таточно сложной структуры. И наоборот, отображение Пуанкаре на рис. 11.24, в ясно демонстрирует, что в системе происходит периоди- ческое движение с периодом 3Т. Спектр колебания осциллятора дис- кретный и содержит при этом частоту ω/3 .

Рис. 11.25. Пример исследования нелинейного осциллятора (11.139) при

2δ = 0,1; α = β = 1; ω =1; B = 35:

Хаотичный режим в системе можно наблюдать при амплитуде B = 35 (рис. 11.25). Как видим, временная зависимость переменной x(t) на рис. 11.25, а не является регулярной. Понятно, что спектр та- кого колебания (рис. 11.25, г), наряду с дискретными составляющи- ми, будет непрерывным и широкополосным, что характерно для хао- тичных колебаний. Проекция аттрактора (рис. 11.25, б) на плоскость переменных (x, y) не является характерной замкнутой кривой, наобо- рот, кривая заполняет хаотически некоторую область на фазовой плоскости. Итак, в трехмерном фазовом пространстве образуется странный аттрактор со сложной внутренней структурой.

Рассмотрим сечение Пуанкаре (рис. 11.25, в). Оказывается, что точки в отображении Пуанкаре образуют характерный рисунок!

776

Имеем удивительный результат! Дело в том, что такой характер- ный рисунок наблюдается именно при наличии хаоса в детерминиро- ванной системе. Этот рисунок указывает на то, что “случайность здесь имеет детерминированную основу”. Если бы внешнее воздейст- вие на систему было действительно случайным, то отображение Пу- анкаре представляло бы собой некоторое лишенное формы образова- ние.

В завершении этого пункта еще раз отметим, что необычное сло- восочетание “детерминированный хаос” означает, что речь идет именно о детерминированной системе, где элемент случайности в лю- бом виде отсутствует. Поэтому флуктуации, которые наблюдаются в состоянии хаоса, только кажутся случайными — их значение полно- стью обусловлено начальными условиями. Возникает вопрос: что по- нимать под хаотичным поведением детерминированной системы, как отличить хаотичный режим от другого сложного во времени колеба- тельного процесса. Хотя универсального определения динамического хаоса до сих пор, наверное, нет, считают, что одним из основных его свойст является непредсказуемость. Это свойство называют сущест-

венной зависимостью от начальных условий (СЗНУ).

Поясним это свойство. Рассмотрим две реализации колебательного процесса системы с начальными условиями, которые слегка различа- ются. Если система выполняет регулярные колебания, то естественно, что колебательные процессы для двух вариантов начальных условий будут практически одинаковыми. В фазовом пространстве расстоя- ние между соответствующими фазовыми траекториями остается для любого момента t > 0 таким же малым, как в начальный момент вре- мени t = 0. Ситуация совсем изменится, если система будет выпол- нять хаотичные колебания. В этом случае при любом малом измене- нии в начальных условиях колебания, для двух вариантов начальных условий, со временем будут разными. В фазовом пространстве соот- ветствующие фазовые траектории со временем расходятся. В этом и есть суть понятия СЗНУ.

Рис. 11.26. Временные зависимости хаотичного режима переменной x(t) ос- циллятора (11.139) (2δ = 0,1, α = β = 1, ω =1, B = 35) при начальных условиях:

сплошная линия — (x, y, z) = (0,0,0), штриховая — (x, y, z) = (0,0001; 0; 0)

777

Например, на рис. 11.26 представлены временные зависимости хаотичного режима переменной x(t) осциллятора (11.139) при незна- чительном изменении в начальных условиях. Как видим, со време- нем колебательные процессы становятся разными.

В реальной жизни, на практике, мы никогда не имеем абсолютно точной информации относительно начальных условий. Всегда суще- ствуют погрешности, пусть и очень малые при их измерении. Раньше считалось, что в детерминированной системе, при наличии ЭВМ, мы всегда можем сделать прогноз (например, дать надежный прогноз по- годы), несмотря на малые погрешности измерения текущего состоя- ния. Если существует хаос, это не так. Никакая мощная ЭВМ не даст нам точный прогноз на основе математической модели с существен- ной зависимостью от начальных условий.

Это характерное свойство хаотичных систем Лоренц назвал эф- фектом бабочки, которое нашло образное отражение в названии од- ной из его статей: “Предсказание: сможет ли взмах крылышек бабочки в Бразилии привести к торнадо в Техасе?”

11.13.3. Хаотизация колебаний пузырька газа в жидкости под действием звукового поля

Задача исследования хаотичных колебаний пузырька газа в жидкости под действием гармонического звукового поля возникла в связи с проблемой кавитации (см. параграф 11.9). При кавитации экспериментально наблюдался шумовой спектр звукового поля. Дли- тельное время это явление объяснялось наличием большого количест- ва пузырьков в жидкости. Однако специальные эксперименты [*], в которых удалось контролировать в жидкости лишь один пузырек, по- казали, что возникновение посторонних шумов происходит и в этом случае.

Этот факт стимулировал дальнейшее развитие математической модели колебаний пузырька в жидкости под действием гармониче- ской звуковой волны. При этом в отличие от уравнения (11.90) было учтено давление пара в пузырьке Pп, сжимаемость и вязкость жидко-

сти, наличие внешнего гармонического звукового поля pçâóê sin(ωt ) .

В работе [28, с. 92—94] представлены результаты соответствующих численных расчетов при следующих параметрах: R0 = 10 мкм, рзвук = = 90 кПа, Р0 = 100 кПа, Pп = 2,33 кПа, σ = 0,0725 Н/м, ρ = 998 кг/м3 ,

γ = 4/3, динамическая вязкость жидкости η = 0,001 Нс/м3, скорость звука c = 1500 м/с. Частота звуковой волны изменялась от 60 до 72 кГц; было выявлено, что в этом диапазоне колебания радиуса пу-

* Lauterborn W., Suchla E. Bifurcation Superstructure in a Model of Acoustic Turbulence // Physical Review Letters. — 1984. — 53, N 24. — P. 2304—2307.

778

зырька имели хаотический характер. Пример таких колебаний пред- ставлен на рис. 11.27 [28, с. 93]. На рис. 11.27, а показана временная

зависимость радиуса пузырька R (t ) ( R = RR0 , R0 — стационарный

радиус пузырька), а на рис. 11.27, б — портрет аттрактора в сечении Пуанкаре.

Рис. 11.27. Пример хаотических колебаний пузырька при ω(2π) = 65 кГц

[28, с. 93]:

а — временная зависимость нормированного радиуса R (t ); б — отображе- ние Пуанкаре

11.14. Параметрические колебания нелинейных систем

Специфическим типом внешнего воздействия на колеба- тельную систему является периодическое изменение параметров сис- темы во времени. Такое воздействие называют параметрическим. Главный интерес при исследовании таких колебаний вызывает воз- можность роста амплитуды колебаний и анализ условий возникнове- ния этого явления, которое называют параметрическим резонансом.

779

11.14.1. Энергетический анализ явления параметрического возбуждения колебательной системы

Попробуем понять физику этого явления на примере маят- ника, у которого длина нити l периодически изменяется на величину l (рис. 11.13, б). Когда маятник проходит среднее положение будем не- много подтягивать нить (на величину l) и настолько же будем опус- кать нить вниз, когда маятник находится в максимальном положении отклонения. Ради простоты будем полагать, что длина нити изменяет- ся скачкообразно.

Рис. 11.28. Временные зависимости угла отклонения маятника ϕ(t) (кривая 1) и изменения длины нити (кривая 2)

Это иллюстрирует рис. 11.28, на котором представлены кривые колебаний маятника ϕ(t) и изменения длины нити со временем. При подтягивании нити вверх выполняется положительная работа A1, т.е. увеличивается энергия маятника, а при отпускании нити — отрица- тельная работа A2, т.е. энергия у маятника отбирается. Понятно, что в среднем положении нить натянута сильнее, чем в положении макси- мального отклонения, в первом случае сила натяжения нити не только уравновешивает силу тяготения, но и передает маятнику центрост- ремительное ускорение, а во втором — только уравновешивает со- ставляющую силы тяжести вдоль нити. Поэтому положительная рабо- та A1 будет больше, чем модуль отрицательной работы A2. Аналогич-

ное явление возникает и при раскачивании человека: в среднем по- ложении его прижимает к качелям, мышцы ног напряжены сильнее, и работа при разгибании ног оказывается большей, чем при сгибании

(рис. 11.13, а).

Вернемся к pис. 11.13, б. Натяжение нити в среднем положении F1 = mg +mυ20 l , а при максимальном отклонении — F2 = mg cos ϕ0. Здесь m — масса шарика, υ0 −скорость шарика в среднем положе- нии, l — длина нити, ϕ0 — максимальный угол отклонения. Работа, выполненная внешней силой за один период, определяется формулой

780