Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Выражение в квадратных скобках формулы (11.140) есть не что иное, как утроенная полная энергия колебаний маятника E. Поэтому получаем:

EE = 6 ll или

Как видим, через каждый период T энергия колебаний увеличивается на величину, пропорциональную энергии системы.

Теперь определим потери энергии на преодоление сил трения в системе. Пусть коэффициент трения равен R; тогда при условии при-

близительно гармонических колебаний маятника ϕ(t ) = ϕ0 sin(ω0t ) (ω0 — собственная частота маятника) работа сил трения Fò = Rϕl за период T0 = 2πω0 равна интегралу от мощности сил трения:

Поскольку полная энергия колебаний E = mυ20 2 = m (ω0ϕ0l )2 2, а ло- гарифмический декремент затухания θ = δT0 = RT0 (2m) (см. формулу (2.13)), то формулу (11.142) можно переписать в виде

Итак, потеря энергии за период синусоидальных колебаний также пропорциональна энергии колебаний. Сравнивая (11.141) и (11.143), получим условие, при выполнении которого приращение энергии до- минирует над потерей и в системе происходит увеличение амплитуды колебаний:

Процесс возбуждения колебаний вследствие периодического из- менения одного из параметров системы (в данном случае — длины нити) называют параметрическим возбуждением колебаний или па-

раметрическим резонансом. Увеличение амплитуды колебаний сис-

781

темы, а значит, и рост энергии системы происходит вследствие рабо- ты внешних сил, которые изменяют параметр системы. Если длина нити будет изменяться с той же периодичностью, но по другому за- кону, то качественно будет получен тот же результат, хотя коэффи- циент в соотношении (11.144) будет не 13 , а больше, поскольку ис-

следуемый выше скачкообразный закон изменения длины нити явля- ется оптимальным для передачи энергии.

При этом принципиальными являются фазовые соотношения ме- жду изменением параметра системы и собственными колебаниями. Действительно, если изменить фазу модуляции параметра относи- тельно собственных колебаний, т.е. в среднем положении отпускать нить, а в крайних положениях ее поднимать, то получим не нараста- ние колебаний, а наоборот, их затухание. Таким образом, для возник- новения параметрического резонанса необходимы соответствующие фазовые соотношения между модуляцией параметра и собственными колебаниями. Если частота модуляции параметра несколько отлича- ется от частоты, при которой имел место параметрический резонанс, то решить, какие процессы доминируют — нарастание или затухание колебаний, при помощи таких простых соображений невозможно. Ответ может дать математическая теория явления.

Отметим, что параметрические колебания в отличие от вынуж- денных колебаний не возбуждаются, когда система находится в по- ложении равновесия. Однако при некоторых условиях, например, при соответствующем соотношении собственной частоты колебаний ω0 и частоты возбуждения ω положение равновесия может стать не- устойчивым, и потому при незначительном воздействии могут воз- никнуть параметрические колебания.

В случае маятника параметр изменялся дважды за период колеба- ний. Однако энергия за счет изменения параметра может поступать один раз за период, два раза за три периода и вообще при выполне-

изменения параметра, ω0 и T0 — частота и период собственных коле- баний маятника). При этом конечно, поступление энергии в систему за период будет тем меньше, чем больше n.

11.14.2. Гармоническое параметрическое возбуждение в системе

Проведенный в предыдущем пункте упрощенный энерге- тический анализ указывает на возможное параметрическое возбуж- дение в системе. Попробуем определить основные особенности этого явления. Сначала рассмотрим линейную колебательную систему. С одной стороны, такой подход более доступен для анализа, а с дру-

782

гой — он наглядно раскрывает принципиальную роль нелинейности колебательной системы при ее параметрическом возбуждении.

Математическое описание параметрического резонанса в линей- ных системах осуществляется с помощью линейного дифференциаль- ного уравнения с переменными во времени коэффициентами. Пол- ный анализ такой задачи довольно сложен. Поэтому остановимся только на вопросе поиска значений параметров системы, при кото- рых возможны нарастающие колебания, т.е. возникает параметриче- ский резонанс.

Рис. 11.29. Пример маятника, точка подвеса которого совершает гармони- ческие колебания в вертикальном направлении

Рассмотрим колебания математического маятника (рис. 11.29), которые возбуждаются вследствие вертикального колебания точки подвеса маятника по закону y(t) = A cos(ωt). Записывая уравнение ко-

лебаний маятника, учитываем силу инерции, которая возникает вследствие движения точки подвеса, и силу тяжести; силу трения считаем пропорциональной скорости. Пусть ϕ определяет угол откло- нения маятника от положения равновесия, тогда, проектируя на ка- сательную к траектории движения массы m указанные силы, согласно второму закону Ньютона имеем

где l — длина маятника; R — коэффициент трения. Отсюда имеем следующее дифференциальное уравнение нелинейных колебаний ма- ятника:

783

ниченным и является устойчивым. Сделаем несколько замечаний ка- чественного характера. Если b = 0 и a > 0, то решение соответствует простым гармоническим колебаниям. Если b отлично от нуля, но его значение достаточно мало, так что |2b|< a , то выражение

a − 2b cos (2τ) остается все время положительным. В этом случае мож-

но предположить, что решения будут подобны гармоническим функ- циям. Если b = 0, а a < 0, то решения уравнения (11.148) имеют неко- лебательный характер и описываются экспоненциальной функцией, возрастающей со временем τ. Поэтому, если a < 0 или, если |2b|> a ,

то множитель при ϕ становится отрицательным хотя бы на части пе- риода своего изменения. Можно предположить, что при этом реше- ния в определенной мере аналогичны неустойчивым экспоненциаль- ным функциям. Таким образом, поведение решения уравнения Матье (11.148) зависит от значений коэффициентов a и b. Этот факт иллю- стрирует карта динамических режимов (рис. 11.30) на плоскости па- раметров (a, b), которая демонстрирует границы неустойчивости ре- шений уравнения Матье. Картина симметрична относительно оси a, поскольку знак b в уравнении (11.148) не имеет значения.

Рис. 11.30. Границы зон неустойчивости (заштрихованные области) на плоскости параметров (a, b) для уравнения Матье:

цифры соответствуют номерам резонансов; сплошные линии — δ = 0 , штри- ховые — δ = 0,1

Заштрихованные области изменения параметров (a, b) являются областями неустойчивости. Они имеют клювообразную форму и рас- положены в окрестности резонансных частот

При значениях параметров a и b из зоны неустойчивости случайное отклонение системы от положения равновесия приводит к нараста- нию амплитуды колебаний, т.е. существует параметрический резо- нанс. Не заштрихованные области являются зонами устойчивости. В этих областях в случае консервативной системы происходит сложный процесс незатухающих колебаний, а при наличии демпфирования, присущего любой реальной системе, — затухающий процесс колеба- ний. На границе раздела областей устойчивости и неустойчивости существует баланс энергий, что соответствует чисто периодическим колебаниям. Понятно, что в реальный системе удержать такой режим колебаний невозможно, поскольку незначительные изменения в усло- виях колебаний сдвинут систему в область или устойчивости, или не- устойчивости. Вообще границы между областями устойчивости и не- устойчивости имеют достаточно сложный вид. В целом, решение ус- тойчиво при a > 0 и |2b|< a и в основном неустойчиво вне этой об-

ласти. Однако существуют узкие области, в которых эти общие рас- суждения неверны, например — области неустойчивости для малых

значений |b| вблизи a =12, 22, 32,... Есть также узкие области ус-

тойчивости при отрицательных a.

Область, в которой n = 1 (a = 1), называют главной областью не- устойчивости. С увеличением модуляционного коэффициента b об- ласть неустойчивости расширяется. Поэтому параметрический резо- нанс возникает не только при выполнении соотношения (11.150) для частот ω и ω0 , а и в окрестности этого соотношения, что отличает его от резонанса в режиме вынужденных колебаний, происходящего только при ω = ω0. Отметим, что скорость нарастания амплитуды ко- лебаний различна для разных областей неустойчивости, а внутри ка- ждой области изменяется от максимального значения при точном выполнении частотного соотношения (11.150) до нуля на границе об- ластей.

Рис. 11.31. Решения уравнения Матьє, параметры а и b: a — a = 1,0, b = 0,1; б — a = 1,2, b = 0,1

786

Характерные для уравнения Матье решения по своему виду могут быть достаточно сложными. Два примера таких решений, получен- ных с помощью ЭВМ, приведены на рис. 11.31. Каждое из них соот- ветствует начальным условиям ϕ = 0,01; dϕdτ = 0 при t = 0. Проана-

лизируйте самостоятельно графики на рис. 11.31 и определите поло- жение точки с координатами (a, b) на карте динамических режимов

(рис. 11.30).

Для консервативной системы в области неустойчивости происхо- дит неограниченное возрастание амплитуды параметрических коле- баний по экспоненциальному закону. Оказывается, что учет в мате-

матической модели линейного демпфирования:

не стабилизирует неустойчивость, а только сужает границе зон неус- тойчивости (на рис. 11.30 они показаны штриховыми линиями). Та- ким образом, для возникновения параметрического резонанса при наличии демпфирования амплитуда воздействия должна превышать некоторое пороговое значение, которое увеличивается с ростом номе- ра резонанса. В таком случае говорят, что неустойчивость имеет по-

роговый характер.

В связи с этим можно сделать следующее интересное замечание. Если оставить параметры системы неизменными и плавно изменять только частоту параметрического воздействия ω, то коэффициент b будет постоянным и на карте динамических режимов (рис. 11.30) об- разуется прямая линия b = const . Поскольку с увеличением ω вели-

чина a уменьшается, то при росте частоты точка двигается вдоль прямой линии справа налево (начиная с a = +∞ ). В случае консерва- тивной системы в процессе движения точка пересекает бесконечное количество областей устойчивости и неустойчивости. При наличии в

системе демпфирования прямая b = const пересекает только конеч-

ное число областей неустойчивости, поэтому не исключено, что при достаточно большом демпфировании точка останется в зоне устойчи- вости. Например, согласно рис. 11.30 при коэффициенте b = 4 вы- звать в осцилляторе параметрический резонанс, соответствующий областям с n ≥ 3 , невозможно.

Таким образом, при наличии демпфирования колебания осцилля- тора в области устойчивости будут затухающие, а в области неустой- чивости, несмотря на наличие демпфирования, они могут неограни- ченно нарастать. Понятно, что это нефизический результат.

Из этих соображений следует, что нелинейность, которую мы до сих пор не учитывали, играет принципиальную роль в теории пара-

787

метрических колебаний. Только учет нелинейных эффектов позволяет ответить на вопрос, как закончится развитие неустойчивости на про- тяжении продолжительного времени, и определить характеристики установившегося режима колебаний. Аналогичная ситуация наблю- далась и для автоколебаний.

Об особенностях исследования параметрических колебаний в не- линейной системе можно узнать из специальной литературы [26, 38]. Мы лишь отметим, что в нелинейных системах даже при отсутствии демпфирования, как и при силовом резонансе (см. параграф 11.12), не происходит бесконечного роста параметрически возбужденных колебаний. Это является следствием того, что нелинейным системам присуща неизохронность, т.е. зависимость собственной частоты ко- лебаний от амплитуды. Это приводит к выходу системы из зоны па- раметрического резонанса; другими словами, нарушаются необходи- мые частотные и фазовые соотношения, а в результате прекращается поступление энергии в систему со стороны механизма, изменяющего параметр.

11.14.3. Маятник Капицы

Здесь рассмотрим интересную задачу о возможности ус- тойчивости вертикального положения перевернутого маятника (рис. 11.32). Понятно, что, при неподвижной опоре это положение не- устойчиво. Однако колебания точки подвеса маятника по гармониче- скому закону y(t) = A cos(ωt) могут содействовать возникновению в

этом положении устойчивости. Убедимся в этом. Чтобы получить уравнение движения маятника в данном случае, достаточно изме- нить знак перед членом, содержащем ускорение g, в уравнении (11.145). Соответственно, коэффициент a в уравнении (11.148) из-

менит знак, а именно: a = −(2ω0 ω)2 , другие величины останутся не-

изменными.

В соответствии с картой динамических режимов (рис. 11.30) верхнее положение маятника (когда a < 0) может быть устойчивым. На карте каждому значению b соответствует некоторая достаточно узкая область значений a < 0, в пределах которой состояние равнове- сия маятника устойчиво. На рис. 11.33 представлен фрагмент карты

при малых значениях параметра b (когда 0 < b <1), что соответствует

небольшим амплитудам A колебаний точки подвеса маятника. На рис. 11.33 представлены приближенные уравнения линий, разде- ляющих зоны устойчивости и неустойчивости. Таким образом, в зоне устойчивости для фиксированного значения b параметр a лежит в

интервале −b2 /2 < a < 1 −b −b2 /8 .

788

При малых значениях амплитуды A, т.е. при малых значениях па- раметра b, правая часть неравенства удовлетворяется при любых от- рицательных значениях a и практически остается одно неравенство

a > −b22 , т.е. a < b22 . Подставляя в это неравенство выражения для a и b, получаем условие устойчивости в виде Aω > 2gl .

Это неравенство определяет нижний уровень максимальной ско- рости Aω колебаний точки подвеса, которая обеспечивает устойчи- вость перевернутого маятника. Как видим, указанная скорость долж- на превышать скорость свободного падения тела с высоты, равной длине маятника.

Вот что пишет об этом интересном явлении Капица [ ]: “Мы реа- лизовали это с помощью простого прибора, схематически представ- ленного на рис. 11.34. На оси небольшого электродвигателя 1 с боль- шим количеством оборотов (мы использовали электродвигатель от швейной машины) эксцентрично насажен шариковый подшипник 2; к обойме подшипника присоединена тяга 3, которая вызывает коле- бания рычага 4. Один конец рычага 4 поворачивается в неподвиж- ной опоре, а к другому — подвешивается стержень маятника 5 так, чтобы он мог свободно колебаться.

Когда прибор приведен в действие, то стержень маятника ведет себя так, как будто для него существует особая сила, направленная вдоль оси колебаний подвеса. Поскольку частота колебаний подвеса

Капица Петр Леонидович (1894—1984) —российский физик, академик АН СССР (1939), лауреат Нобелевской премии (1978).

Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // ЖЭТФ. — 1951. — 21. — С. 588—601.

789

велика, то изображение стержня маятника воспринимается глазом несколько размыто, и колебательное движение незаметно. Поэтому явление устойчивости производит неожиданное впечатление. Если маятнику сообщить толчок в сторону, то он начинает качаться как обычный маятник... Эти колебания затухают, и маятник приходит в вертикальное положение”.

Рис. 11.34. Схема прибора для опытов с маятником Капицы

11.15. Синхронизация колебаний

11.15.1. Синхронизация — фундаментальное нелинейное явление

Слово “синхронизация” происходит от греческого слова συγχρονοζ — одновременный. Рассмотрим некоторую нелинейную

диссипативную систему, которой присущ режим периодических ав- токолебаний. Образом установившегося режима в фазовом про- странстве будет предельный цикл — замкнутая фазовая траектория, к которой приближаются все другие траектории. Приложим к сис- теме внешнее периодическое воздействие, с временным периодом близким к периоду автоколебаний системы. При этом наблюдается интересное явление: в определенном интервале частоты внешней силы колебания системы синхронизируются с внешним воздействи- ем по частоте, причем такой частотный интервал (полоса синхрони- зации) тем шире, чем больше интенсивность воздействия. Этот эф- фект — синхронизация внешней силой наблюдается в системах са- мой разнообразной природы [40] — в механических системах, ра- диотехнических и электронных устройствах, лазерах, биологических объектах.

Принципиальным для понимания эффекта синхронизации являет- ся то, что периодические автоколебания характеризуются свободной фазой, т.е. значения фазы одинаково допустимы (см. п. 11.10.4). Ес-

ли на систему, которая выполняет автоколебания, повлиять толчком,

790