Основы_акустики_Гринченко_Вовк

если производная ∂υ∂τ μ — величина первого порядка малости, то

∂υ = μ ∂υ μ2 является величиной второго порядка малости.

∂x ∂x1

Перейдем в уравнениях (12.42) к новым координатам, отбрасывая при этом величины, выше второго порядка малости. Предлагаем чи- тателю самостоятельно выполнить предложенные преобразования и получить уравнения:

В правых частях уравнений стоят величины второго порядка мало- сти, а величины более высокого порядка (например, μ∂ (ρ′υ)/∂τ) от- брошены.

С помощью (12.55) определим ρ′ через р′ и (ρ′)2 , а потом подста- вим в (12.54). Таким образом, будем иметь

Как видим, левые части уравнений (12.53) и (12.56) одинаковы, поэто- му можно приравнять их правые части. Сделайте самостоятельно и получите уравнение, которое содержит в себе только величины второго порядка малости. Не изменяя порядок малости в полученном уравне- нии, можно исключить из него ρ′ и υ, используя соотношения (12.1), которые справедливы для звуковых волн в линейном приближении (рассматриваем волну бегущую в положительном направлении оси Ох.):

После подстановки (12.57) и проведения замены μ∂/∂х1 на ∂/∂х, при- ходим к уравнению относительно давления р′:

Как уже отмечалось, при x > xp решение в виде простой волны (12.60) не справедливо. Это связано с тем, что в исходных уравнени- ях не учитываются потери акустической энергии. В нелинейной вол- не при возникновении разрывов диссипация звуковой энергии резко увеличивается, собственно и формируя при этом поверхность разры- ва. Понятно, что реально ударная волна представляет собой скачок не математического смысла, а такой, который напоминает очень крутую (хотя и плавную) ступеньку.

Изменение профиля волны будет накапливаться и за расстоянием х = хр, приводя к образованию пилообразной волны. Расстояние хкр (назовем его критическим), на котором завершается формирование пилообразной волны, можно найти из следующего условия: на этом расстоянии гребень волны догоняет впадину. Рассматривая рис. 12.1 (и вспоминая задачи по математике для пятого класса о велосипеди- стах), нетрудно определить время tкр, за которое гребень догонит впа-

дину: tкр = 0,5λ/(2ευ0 ) = λ/(4ευ0 ) . За это время вся волна в целом,

распространяясь со средней скоростью с0, удаляется от источника (х = 0) на расстояние

на котором и формируется пилообразная волна.

Согласно (12.63), (12.64) хр и хкр зависят от длины волны (или час- тоты), числа М и нелинейных свойств среды (параметр ε). Если рас- стояние хр соответствует безразмерному расстоянию z = 1, то по фор- муле (12.64) расстояние хкр соответствует безразмерному расстоянию z = π/2. В дальнейшем при x > xp нелинейная волна будет затухать вследствие значительной диссипации (поглощения) звуковой энергии в тонком слое вокруг фронта ударной волны.

12.5. Нелинейное взаимодействие в простых волнах

Изменение профиля исходной гармонической волны при распространении на спектральном языке означает появление высших гармоник относительно частоты первой гармоники, которая задается источником. Определим спектр простой волны при условии начально- го гармонического возмущения υ = υ0sin(ωt). Итак,

Таким образом, во время распространения нелинейной волны в среде без дисперсии происходит лавинообразный рост числа спек- тральных компонент волнового поля, что в пространственно- временных представлениях соответствует образованию разрывов в профиле волны [43, 44]. Интересно отметить, что при этом любое пе- риодическое возмущение на больших расстояниях превращается в “пилу”. На рис. 12.5 [43, с. 1012] представлен процесс преобразова- ния периодического сигнала при его распространении в квадратич- но-нелинейной среде (см. (12.28)) в “пилу”. Как следует из рисунка, во время распространения образуется одинаковый профиль как для на- чального гармонического возмущения (кривая 1), так и для более сложного сигнала (кривая 2). В средах с более сложными нелинейны- ми свойствами могут существовать пилообразные волны других ти- пов.

Важно отметить следующий момент: после образования пилооб-

разной волны она остается квазистабильной, т.е. при ее дальнейшем распространении изменяются только отдельные параметры (напри- мер, пиковое значение возмущения). Профиль волны достаточно ус- тойчив и мало изменяется как при взаимодействии “пил” между со- бой, так и при слабом влиянии дополнительных факторов — дифрак- ции, дисперсии и т.п. [43]. Таким образом, пилообразная волна пред- ставляет собой универсальный объект, устойчивость которого связана с сильным проявлением нелинейных свойств среды.

12.6. Нелинейные волны в среде с диссипацией. Уравнение Бюргерса

Поскольку в идеальной жидкости звуковая волна не по- глощается, то, очевидно, что причина поглощения звука в реальной среде связана с рядом физических механизмов, которые сопровож- дают процесс распространения звука. Как нам уже известно (см. п. 4.1.1), одним из главных механизмов поглощения звука является вяз- кость. Явление вязкости обусловлено тем, что движение частичек сплошной среды сопровождается появлением механических напря- жений, которые пропорциональны разности скоростей движения от- дельных частиц (т.е. градиенту скорости движения частиц).

Обсудим, как учесть вязкость в уравнениях нелинейной акустики. Здесь следует отметить два момента. Во-первых, в точных уравнени- ях акустики вязкие напряжения учитываются введением только од- ного слагаемого в уравнение Эйлера. Поэтому дальнейшие преобразо- вания в значительной мере подобны преобразованиям, выполненным для случая идеальной среды. Понятно, что учет вязкости лишь в од- ном из трех уравнений нуждается в объяснениях. Во-вторых, при вы- воде приближенного уравнения следует оценить порядки малости

827

слагаемых. При этом будем считать, что вязкость и факторы, приво- дящие к деформации профиля волны, рассматриваются как эффекты одного порядка малости.

Проследим основные этапы преобразований, ограничиваясь, как и раньше, рассмотрением плоских волн, распространяющихся вдоль оси Ох. Обратимся к уравнению Эйлера (12.3). В правой части урав- нения стоит величина (–∂P/∂x ), которая является следствием упругих напряжений (–P ), действующих на частицу среды (см. вывод уравне- ния Эйлера в п.4.1.2). Соответственно вязкие напряжения σ′ = η∂υ/∂х

образуют добавку вида η∂2υ/∂x2 , где η — динамическая вязкость

или ньютоновский коэффициент вязкости, η, кг/(м с). Итак, урав-

нение Эйлера примет вид

В большинстве практически важных случаев вязкие напряжения как минимум на порядок меньше упругих. Это позволяет считать η такой же малой величиной, как μ.

Уравнение неразрывности (12.4) остается неизменным, а уравне- ние состояния приобретает более сложный вид за счет того, что по- глощение звука в вязкой среде приводит к изменению энтропии s . Поэтому уравнение состояния примет вид P = P (ρ,s). Однако можно считать [44, с. 42], что изменение энтропии за счет вязкости является малой величиной третьего порядка малости. Пренебрегая изменением энтропии, возвращаемся к уравнению состояния P = P (ρ).

Далее, на основе метода медленно изменяющегося профиля вы- полняем преобразования, которые были сделаны при выводе при- ближенного уравнения (12.58). Поскольку изменяется только уравне- ние Эйлера, то в правой части (12.53) должны появиться новые сла-

гаемые, которые образуются из выражения η∂2υ/∂x2 при переходе к сопровождающей системе координат. Учитывая, что (см. (12.52б))

находим, что нужный порядок малости (второй) имеет только слагаемое

η ∂2υ (все другие слагаемые более высоких порядков). Это слагаемое

c02 ∂τ2

будет присутствовать в правой части уравнения (12.53) и, разумеет- ся, должно присутствовать в искомом уравнении. Заменяя υ на р′/(ρ0с0), получаем, что для учета вязкости в уравнении (12.58) вместе

828

которое носит название уравнения Бюргерса :

Проанализируем роль отдельных составляющих этого уравнения. Если отбросить все члены, кроме первого, то из уравнение ∂р′/∂х = 0 следует, что p′ = p′(τ) = p′(t − xc0 ) и соответственно волна (в этом

приближении) распространяется без искажения. Второе слагаемое учитывает нелинейные изменения профиля волны, накапливающиеся во время распространения волны, а третье слагаемое (диссипативный член) — влияние поглощение.

Соотношение между вторым и третьим слагаемыми определяет относительную роль нелинейности и поглощения. Оценим это соот- ношение. Пусть имеем исходную гармоническую волну p′ = p0 sin(ωτ) = υ0ρ0c0 sin(ωτ). Тогда порядки величин таковы:

Отсюда отношение нелинейного члена к диссипативному имеет поря- док величины

которая носит название акустического числа Рейнольдса . Величину

ν= η/ρ0 называют кинематической вязкостью, ν = м2/с.

Вкачестве примера приведем численные значения коэффициен-

тов η и ν для воды и воздуха при температуре 20 °С:

η= 0,01 г см–1 с–1, ν = 0,01 см2 с–1 (вода);

η= 1,8 10–4 г см–1 с–1, ν = 0,15 см2 с–1 (воздух).

Коэффициенты вязкости зависят от температуры, причем при росте температуры для жидкостей вязкость уменьшается, а для газов она несколько возрастает.

Как видно из формулы (12.74), при больших числах Рейнольдса определяющая роль принадлежит нелинейности волнового процесса,

апри малых — поглощению.

Бюргерс (Burgers) Иоганн Мартинс (1895—1981) — голландский физик.

Рейнольдс (Reynolds) Осборн (1842—1912) — английский физик.

829

При малых значениях числа Рейнольдса в уравнении (12.73) мож- но пренебречь нелинейным членом. Тогда получим линейное уравне- ние

которое определяет эволюцию волны при наличии диссипации в сре- де. Плоская гармоническая волна р′ = exp(–iωτ – δx) является решени- ем уравнения (12.75) при условии, что коэффициент (убедитесь само- стоятельно)

которой амплитуда как функция пространственной координаты х уменьшается по экспоненциальному закону: р0(х) = exp(–δx). По физи- ческому содержанию δ — коэффициент поглощения (см. пара-

граф 5.3). Итак, коэффициент νc03 = η/(ρ0ñ03 ) в уравнении (12.75) —

это множитель у квадрата частоты ω2 в коэффициенте поглощения линейной звуковой волны. Таким образом, проведенный анализ раз- решил не только определить характер спадания амплитуды линейной волны в среде с диссипацией, но и установить зависимость коэффи- циента поглощения от частоты.

Уравнение Бюргерса — это одно из основных уравнений в нели- нейной акустике. Оно хорошо исследовано. Здесь важно отметить, что уравнение Бюргерса удается свести к линейному уравнению при помощи специальных преобразований [44]. Таким образом, возникает возможность построить аналитическое решение для ряда важных случаев начального профиля волны. Мы не будем проводить такой анализ, а лишь отметим, что уравнение Бюргерса описывает структу- ру и расположение фронта ударной волны и поэтому, в отличие от уравнения для простых волн, не требует дополнительных условий для определения профиля волны после образования разрыва. Кроме этого, сам разрыв уже не считается бесконечно тонким; это область конечной ширины, которая определяется конкуренцией между нелинейными уве- личениями крутизны и диссипативным размыванием. В этой области диссипативный член уравнения Бюргерса имеет наибольшее значе- ние, что обусловливает эффективное поглощение энергии волны.

Проведем приближенную оценку параметров ударной волны, по- лагая, что она образована в результате взаимной компенсации эф- фектов нелинейности и диссипации. Тогда нелинейный и диссипа- тивный члены в уравнении (12.73) должны быть одного порядка:

830