Курс механики сплошных сред
..pdfпроходящая через Ooi и прямую Л, имеет уравнение о2—оа= 0). Такой шес тиугольник называется шестиугольником Треска (рис. 10).
Изображение на плоскости Я может быть уточнено с помощью следующих результатов. Пусть Л/—проекции единичных векторов k( осей Оо,- на Оо(, тогда
ОМ= oifci+ o2k2+ o3k3; |
' ' |
Om= o1h1-\-o2h2+o3h3= Sihi= siki |
и точка т строится очень легко (рис. 11).
Пусть т / —проекция точки т плоскости Я на ось 0а £-, тогда 0 т ,= 31/22 ~ 1/2
(задача 19). Иными словами, круг, диаметр которого равен От, пер£секает оси Оа* в точках, абсциссы которых пропорциональны S/.
III.5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ ЧЕРЕЗ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
В предыдущей главе было показано, что в некоторых случаях можно умень шить число кинематических неизвестных—число неизвестных компонентов ско ростей—путем введения функции тока, которая описывает поля скоростей, удов летворяющие уравнению неразрывности. Такую же операцию можно провести и с напряжениями. Приведем два известных случая *. Для простоты ограничимся
задачами |
равновесия и |
предположим также, |
что объемные силы /,• равны нулю. |
|
II 1.5.1. Функции |
напряжений в задаче о кручении. Предположим, что все компо |
|||
ненты 0 /у |
равны |
нулю, |
кроме о13 и о23, |
которые зависят только от хг и х2. |
Тогда два первых уравнения равновесия выполняются автоматически, третье же уравнение принимает вид
а1г,1+а2з,2 = 0,
из которого следует существование некоторой функции 0 {хи х2), |
определяемой |
||
с точностью до постоянного слагаемого, для которой |
|
||
|
|
d0 = О13 dx2—о2з dxj, |
|
|
|
<*13 = 0 ,2, о23 = — 0Д. |
(46) |
Функция 0 (*i, |
х2) является^ функцией напряжений, через которую ненулевые |
||
компоненты тензора напряжений выражаются формулами (46). |
|
||
Предположим, |
что в |
цилиндре 5 с плоскими торцами 20 и 2Ь уравнения |
|
которых х3 = 0 и х3 = Ц1 > |
0 ), образующие боковой поверхности 2 2 параллельны |
||
оси х3, реализуется данное поле напряжений. В любой точке 22 |
вектор напря |
||
жений в направлении нормали (nlf я2, 0 ) коллинеарен оси х3 и |
|
||
Т3= <*13^1”{-023^2 ^ 0,2^1--0дП2.
Обозначим через Ф |
прямое сечение цилиндра, а через |
|
его границу. Если |
||||||
0 постоянно на д<2 ), Т° бга<* 0 |
и я коллннеарны в любой точке на 2 2, и, следо |
||||||||
вательно, согласно уравнению (14) F = 0, т. е. боковая поверхность S2 является |
|||||||||
свободной. |
|
|
|
|
выполняются |
равенства п1 = п2 = О, |
|||
В одной из точек на поверхности Si |
|||||||||
п3= I; тогда компоненты вектора напряжений |
|
|
|
|
|||||
|
= |
013= |
0,2*, |
^ 2 = 023== |
0,1*» |
Т'з= |
0. |
|
|
Поверхностная плотность |
F |
внешних |
сил, |
приложенных к 2Ь направлена |
|||||
по касательной к торпу %i- Предположим для |
конкретности, что 0 = 0 на гра |
||||||||
нице д&) |
(такое преДп°л°жение не ограничивает общности, |
так как функция 0 |
|||||||
определена |
лишь с точностью до постоянной). Легко видеть, |
что момент опреде |
|||||||
ляемого таким образом торсора коллинеарен оси х3 и |
равен |
Ме3, где |
|||||||
|
|
|
M = 2$a 0do. |
|
|
|
(47) |
||
♦ Более общий выД°Д будет дан в упражнениях (задача 24).
В самом деле, в отношении главного вектора можно сказать, что его компо ненты равны нулю, так как *
|
|
|
$ * 0. . d*’ “ - S a e e d ** |
$ * 0-i d a = |
|
L |
0djc” |
|
|
|||||||||
согласно |
предположению |
0 |
равно нулю на дЗ>> являющейся границей 3 ). |
Что |
||||||||||||||
же касается главного момента в точке |
(xi = x2 = 0 , *8 = 0 » то его компоненты по |
|||||||||||||||||
осям х1 и ха равны нулю, |
а по оси х8 имеем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
м = |
|
( x i a M — х аа , з ) |
d a = — J д (xiO.i+x,©.,) da. |
|
|
||||||||||
Так как |
|
|
* 10,1 ”Ь *2 0 (2 = |
(*10),1 “Ь (^20),2 |
2 0 , |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
то имеет место равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
М = 2 J ^ |
0da — J ^ {(*i9),i“Ь (*2®),2} da = |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
= 2 |
^ |
0 do + |
|
|
0 |
(* 2 djcj—дежd*2), |
|
|
|||||
что и дает нам приведенную выше формулу (с учетом, |
что 0 равно 0 вдоль дЗ>)- |
|||||||||||||||||
Понятно, |
что для |
поверхности 20 получим такие же |
результаты, |
так как |
уси |
|||||||||||||
лия |
F |
противоположны усилиям, |
приложенным к поверхности 2j |
(на поверхно |
||||||||||||||
сти 2 0 |
имеем я1 = л2 = 0 , па= —1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
В |
заключение |
можно |
сказать, что в случае, когда объемные силы / равны |
||||||||||||||
нулю, |
функция 0 (*i, |
* 2), |
определенная |
в области 3> |
и равная нулю на грани |
|||||||||||||
це |
diZ), |
позволяет |
построить в теле 5 |
поле напряжений, находящееся в равно |
||||||||||||||
весии |
с |
внешними |
силами, |
приложенными к плоским торцам 2 Х и 2 0. Внешние |
||||||||||||||
силы характеризуются |
моментами |
Ме3 и —Меа (боковая |
поверхность является |
|||||||||||||||
свободной). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Из очевидных соображений в этом случае говорят, что к основаниям цилиндра |
|||||||||||||||||
приложены два крутящих |
момента, причем значение М дается выражением |
(4 7 ). |
||||||||||||||||
|
II 1.5.2. Функция напряжений Эри. По-прежнему будем считать, что объемные |
|||||||||||||||||
силы / = |
0 . Кроме того, допускаем, что O/у зависят только от хг и х2. Докажем, |
|||||||||||||||||
что существует функция напряжений х |
(*i» |
* 2)* |
называемая функцией Эри и опре |
|||||||||||||||
деленная с точностью до полинома |
первой степени, такая, |
что ** |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0Ц = |
Х,22*. |
а 12 = |
— Х,12» а 22 = |
Х,11* |
|
|
(48) |
||||||
|
Если |
в каждой |
точке тела 5 |
тензор |
напряжений |
является тензором напря |
||||||||||||
жений, |
параллельных |
плоскости |
* 3 = 0 , |
и |
это |
поле инвариантно относительно |
||||||||||||
поступательного перемещения |
параллельно оси х3, то приведенные формулы пол |
|||||||||||||||||
ностью определяют поле напряжений в точке 5 |
через функцию напряжений Эри. |
|||||||||||||||||
В этом случае говорят, что |
поле действующих |
на тело напряжений —плоское. |
||||||||||||||||
|
Доказательство |
строится |
по тому |
же |
принципу, |
что и выше. Два первых |
||||||||||||
уравнения равновесия запишутся следующим образом: |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0Ц,1+ 012,2 = 0; |
021,1+ а22,2 = 0- |
|
|
|
|||||||||
Из первого уравнения вытекает существование некоторой функции ф (*lf * 2), определенной с точностью до постоянного слагаемого, для которой
Оц d* 2 —Oi2 d*i = dф;
из второго—существование функции ф (хъ х2), определенной с точностью до постоянного слагаемого, для которой
|
—0 i2 d*2+ o 22 dx\ = |
d\|); |
|
|
|
* Здесь используется тождество ^ |
Р ckj + |
Q dxt = |
^ |
(Q,i — Я ,) do, являю- |
|
щееся частным случаем формулы Стокса. |
|
|
|
||
** Очевидно что а 18 |
и о28 могут |
быть выражены, |
как |
и в уравнении (46), |
|
через некоторую функцию |
напряжений |
кручения |
0. |
|
|
°11 = ф,2^ 022 = Ф.Ь —а12 = фд= ‘ф>2.
Последнее же равенство, в свою очередь, требует, чтобы существовала неко торая функция %(*ъ * 2)» определяемая с точностью до полинома первой степени
(так как ф и ф определены, в свою очередь, с точностью до постоянного слагае мого), для которой
i|>d*i+<pd* 2 = dx; |
<р = х,«. |
что и требовалось доказать. |
|
111.6. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ |
КОМПОНЕНТОВ |
ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ
Для простоты проведем наши рассуждения относительно некоторой системы S, находящейся в равновесии под действием объемных / и поверхностных сил F , определенных на границе dS системы.
Отправной точкой послужит следующее простое замечание: если ф (*ь х2, * 3) — скалярная функция, непрерывно дифференцируемая в 5 , то
/ “ 'I’. ;af/+'Pai/./’=s'P,/0 ,7 - t / / .
причем последнее равенство является следствием уравнения равновесия. Проин тегрировав по S первую и последнюю части этих равенств и применив теорему Гаусса—Остроградского к левой части с учетом граничного условия (15), получим
Ч>./о<7dtl=$s 'M'du+ $ asyFj da. |
(49) |
Если, например, принять ф = х*, ф, у= 6 *у, то будем иметь
$s o , 7 , = 5s |
dy+ Sas XkFi d0- |
(50) |
Таким образом, интеграл от компонентов тензора напряжений в системе 5 можно вычислить непосредственно через внешние силы fi и F,*, причем результат остается справедливым независимо от свойств среды. Поделив найденные вели чины на объем тела, получим среднее значение компонентов alft. Ниже в реше ниях задач, будут даны некоторые конкретные примеры.
Если теперь принять ф = *&*/, то
и получим
5s ( * ! < * , dv= 5s x*xdi dy+ 5as XkX‘Fi dCT> |
(5I) |
Из этих равенств легко найти значение моментов первого порядка компонен тов тензора напряжений в начале координат, иными словами,
r * » - J s W * fe
В самом деле, обозначив через Акц правую часть уравнения (51), можем написать следующее равенство:
Гцк+Гш = Аки*
атакже путем перестановки индексов равенства
Г/£ £ -{ -Г Ани> ^kii~\~^*nk= AIM*
Складывая |
два первых уравнения и вычитая из их сумм третье, получаем |
с учетом того, |
что Г//*э= |
2Гцк= А м (+ А ц к— AIM
|
2 jjs Xflik dt»= |
(ДWtfi+XtXifk—XiXkfi) dv+ |
|||||
|
|
+ |
J ds {XkXiFt+xtXiFb—XiXtFi) da. |
(52) |
|||
Читатель |
может без труда проверить, что, принимая в качестве значений t|) |
||||||
одночлены степени |
(я + |
1) по |
xlt х2, |
х3, можно получить определенные зависи |
|||
мости между |
моментами |
компонентов |
тензора |
напряжений |
в начале координат |
||
и некоторыми |
интегралами от внешних сил fi и Г,-. Но тогда уже нельзя будет |
||||||
выразить, как |
это |
было сделано |
для п = 0 и л = |
1, значения |
всех моментов л-го |
||
порядка только через интегралы от внешних воздействий. Впрочем, это и понятно, так как в противном случае можно произвести такие вычисления независимо от законов поведения среды, а это, в свою очередь, означает, что уравнения равно весия достаточны для изучения равновесия любой среды. Выше, однако, было показано, что в общем случае это не так.
ГЛАВА IV
МОЩНОСТЬ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ. ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ
Сформулируем теперь третий закон, описывающий движение
сплошной среды,— закон сохранения энергии. |
Чтобы сформулиро |
вать и в дальнейшем использовать этот закон, |
необходимо прежде |
всего определить мощность и работу внутренних сил. Причем опре деление должно быть сформулировано таким образом, чтобы обеспе чивалась эквивалентность фундаментального закона динамики и прин ципа возможных мощностей. Таково содержание первого параграфа.
Здесь встречаемся с тензором, называемым тензором скоростей деформации, который представляет собой одну из характеристик деформаций системы в окрестности каждой точки. Основные свой ства такого тензора даются во втором параграфе.
Третий параграф посвящен закону сохранения энергии. Сначала вводятся новые понятия, такие, например, как внутренняя энергия или теплота, полученная частью системы. После этого можно дать формулировку данного закона, а затем для получения главных след ствий применить результаты главы II.
IV.1. ВОЗМОЖНАЯ МОЩНОСТЬ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ
IV.1.1. Определение. |
Естественный путь построения строгого |
|
определения |
возможной |
мощности заключается в определении ее |
как разности |
между возможной мощностью количества ускорения |
|
и возможной |
мощностью внешних сил. |
|
Пусть (как и в главе II) S —система, движущаяся относительно репера 9t под действием внешних сил с объемной плотностью / и с поверхностной плотностью F на границе dS. Обозначим через
ри у соответственно объемную плотность массы и ускорение частицы.
Внекоторый фиксированный момент времени t возможное движение системы S в 5i задается определением на 5 поля возможных скоро
стей U, производные которого кусочно-непрерывны. Мощность вну тренних сил 5s,,-, в таком движении должна быть
^ ) = S s P V ^ - S s / ^ du- S a s ^ - ^ dCT-
Выражение в правой части не может быть принято в качестве
точного определения |
величины |
так |
как в него входят вели |
чины, отличные от внутренних усилий. |
Однако его легко преобра |
||
зовать. Введем в 51 |
ортонормированный |
декартов базис. Граничное |
|
условие (111,15) дает нам возможность представить интеграл по поверхности в виде потока
S dS F i U i dcr = S as a l f i i nj d<1* |
|
|
С другой стороны, согласно (III, 7) |
PYi = /; + cr//,/ |
и, следова |
тельно, |
|
|
£<й = Ss ° и , A d f - S a s |
inj to- |
(1) |
Формула (1) дает искомое выражение для &и) через поля тензо
ров напряжений |
<т,у и поле |
скоростей возможного движения 0 {. |
Однако имеется |
возможность |
найти более интересное решение. |
Прежде всего предположим, что Оц и Ut непрерывны и кусочно дифференцируемы в 5. К интегралу по поверхности может быть применена теорема_Гаусса —Остроградского. В нашем случае это дает
— |
S s a * A . / d a |
(2) |
Кроме того, если положить |
|
|
* . / - 4 ( & ,./+ £ '/.< ) . |
Р) |
|
будем иметь |
|
|
= — SsCTiA /dy* |
<4) |
|
так как в силу симметрии величин о,у можно |
написать, что |
|
a ij U j , |
( U i,J + |
U / , l) = a i p i j - |
Отметим, что формулы (2) и (4) обладают тем преимуществом, что они выявляют аддитивность возможной мощности относительно рассматриваемой области, чего нельзя сказать о формуле (1). Таким образом, мы приходим к следующему определению.
Определение. Возможная |
мощность внутренних усилий области |
состав |
ляющей часть системы S, |
|
|
5*(й(Я» — |
otfii. j iv= ~ U а'А / dv’ |
(5) |
еде внутренние усилия задаются полем напряжений оу, а возможное движение —
полем скоростей 0{> причем как Оц, так и |
предполагаются непрерывно диффе |
|||
ренцируемыми в области &). |
0 ,• лишь кусочно-непрерывны, то система 5 раз |
|||
Если же производные а,у и |
||||
бивается на N подобластей |
Sp (p= 1, 2, |
N), где эти величины имеют непре |
||
рывные производные, и можно написать, |
применяя |
теорему Гаусса— Остроград |
||
ского к каждой части Sp: |
N |
|
N |
|
|
|
|||
S s ( ° < A ) . / dv= |
2 |
I s ' l ' l j O |
d . j t o - g |
) dSpaiJ°inJ da- |
Объединение областей |
интегрирования |
в последнем интеграле содержит гра |
||
ничную поверхность dS системы S и множество 2 поверхностей разрыва внутри 5. В каждой точке множества 2, в окрестности которой касательная плоскость вра
щается |
непрерывно, построим единичный вектор |
нормали N и обозначим через |
g + и |
значения функции g по разные стороны |
поверхности разрыва 2. Такая |
точка из 2 принадлежит двум поверхностям Sp. Вектор N — вектор внешней нор мали относительно dSpt соответствующий стороне 2" ; вектор — N относительно dSp
соответствует стороне 2 + .
Таким образом, можно написать
$s (а,7Ut),jd v = ^ ds CijOitij do+^2 {(о,7Л'/0,)-— (oi/NJ Ui)+} da,
или в другой форме, используя вектор напряжений:
$3sa'A rt/ da=$s (a‘A i / ‘fc+ JsCT’fM Oi)da.
Подставляя найденное выражение в (1), приходим к формуле, обобщающей формулу (4) на случай существования разрывов:
£<л— I s °и ъ и du- Jx (Ti w Ui) do. |
(6) |
Такова общая формула, определяющая возможную мощность внутренних уси лий системы 5.
Впрочем, при отсутствии ударной волны Т (N) не терпит разрыва |
при пере |
ходе через поверхность 2, и формула упрощается, т. е. |
|
5V> = — oijDij da — $2 Т ф ) da. |
(7) |
Случай возможного движения, сохраняющего часть Sp системы S абсолютно жесткой. В каждой точке х рассматриваемой части Sp поле скоростей U( в неко торый фиксированный момент t задается формулами вида
|
|
|
|
Ut = v\p)+ & r Х/, |
|
(8) |
||
где V\p) — компоненты |
вектора; |
— компоненты антисимметричной матрицы, |
||||||
определяемой для каждой подобласти Sp (1.1.5). Отсюда |
следует, что в любой |
|||||||
точке |
Sp D(j = Ot и объемный интеграл в (7) равен, таким образом, нулю. Это хорошо |
|||||||
согласуется с аксиомой, согласно которой возможная |
мощность внутренних уси |
|||||||
лий |
системы Sp |
при |
движении |
когда |
Sp не деформируется, равна нулю. Вну |
|||
тренние |
усилия |
для |
всей системы S, участвующие в расчете возможной мощно |
|||||
сти, |
являются, |
таким |
образом, силами соприкосновения между различными Sp, |
|||||
Для |
любой части Sp эти силы задаются поверхностной плотностью— т]Т (N) всякой |
|||||||
точке |
поверхности dSp, принадлежащей |
2, где т] = |
1 |
в зависимости от того, |
||||
является |
ли в данной точке поверхность |
dSp стороной |
2" |
или 2+ поверхности 2! |
||||
N
|
|
|
|
(М- |
2 |
|
|
Г (AT)-Oder, |
||
|
|
|
|
|
7 = 1 |
|
|
|
|
|
где {Ь р }— |
торсор |
скоростей |
0 |
на Sp, заданных формулой (8). |
||||||
Для |
получения полной |
эквивалентности между (6) и (I, 69) достаточно сло |
||||||||
жить обе части последнего равенства для всех значений р. |
|
|||||||||
Итак, приведенные выше рассуждения позволили: |
||||||||||
определить |
возможную мощность внутренних усилий движущейся |
|||||||||
сплошной |
среды; |
|
|
|
|
|
|
|||
установить |
соответствие данного |
определения |
ранее полученным |
|||||||
определениям; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
доказать |
соответствие |
принципа |
возможных |
мощностей в меха |
||||||
нике сплошных сред основному закону динамики. |
||||||||||
Будем |
предполагать, |
|
если только .не оговорено обратное, что |
|||||||
поле возможных скоростей £/, непрерывно, и |
ударные волны отсут |
|||||||||
ствуют. Тогда принцип возможных скоростей |
в применении к систе |
|||||||||
ме 5 запишется следующим образом: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
(9) |
Само собой |
разумеется, |
|
что аналогичное равенство остается спра |
|||||||
ведливым |
для |
любой части 3) системы S (при |
замене на границе |
|||||||
дЗ> Fi на |
7,). |
|
об |
изменении |
кинетической |
энергии. Теорема |
||||
I V . 1.2. |
|
Теорема |
||||||||
об изменении кинетической энергии доказывается применением прин
ципа |
возможных мощностей для действительного |
движения, |
т. е. |
|||
в (9) |
следует положить |
|
В левой |
части |
получаем |
тогда |
полную производную от кинетической энергии |
|
|
||||
|
* |
= Т j s P ^ i d0- |
|
|
(10) |
|
Полученное уравнение может быть также записано в виде |
|
|||||
|
ТГ = *«., + *„>. |
|
|
(11) |
||
где 5*{е) и 3* — соответственно |
мощность |
внешних и внутренних |
||||
усилий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
|
|
— |
I s a" D' / d0- |
|
|
(' 3) |
В изучаемом случае соотношение (11) представляет собой хорошо |
||||||
известную теорему общей |
механики. |
|
|
|
||
IV.2. ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ
1V.2.1. Градиент поля скоростей. В проведенных выше рассуж дениях появилась матрица DiJt необходимо выяснить ее механиче ский смысл.
Напомним следующее определение: векторное поле U (М) назы вается дифференцируемым в точке М, если существует некоторая линейная вектор-функция вектора М (ММ1), такая, что для всякой точки М' из окрестности М, где можно написать равенство
|
|
U(M ')-U (M ) = Z(MM') + \MM'\o(M, ЛГ), |
(14) |
||||||||
вектор |
о(М, М') |
стремится |
к |
нулю, |
когда М' стремится к М. |
|
|||||
Легко показать, что функция В единственная. Линейное отобра |
|||||||||||
жение |
X —<■В (X) |
определяет, |
таким |
образом, |
тензор второго |
по |
|||||
рядка, |
называемый |
градиентом |
поля |
U в точке М и обозначаемый |
|||||||
или grad U. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если М ’ стремится к М так, что |
у |
стремится к некоторому |
|||||||||
пределу и (который в этом |
случае |
будет единичным вектором), |
то |
||||||||
|
|
|
lim U-(M ')— U (M ) |
|
|
||||||
|
|
|
М’-*М |
\мм '| |
= 2(»), |
|
|
||||
так как форма В непрерывна. Таким |
образом, |
Z (и) является про |
|||||||||
изводной по направлению U поля |
U в точке М. В частном случае, |
||||||||||
если в |
уравнении |
(14) |
точку |
М' |
взять так, |
что М М ’= рв/, |
где |
||||
ej — ортонормированный |
базис, |
в |
котором определяются точки М, |
||||||||
то легко |
видеть, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2(е,) = |
dUt (х1г х2, |
*а) „ |
— UI. )eb |
|
|
||||
|
|
|
dxj |
|
|
|
|
|
|||
и в более |
общей форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
%(X) = XjZ{ej) = UL jX fr . |
(15) |
|||||||
Матрица U(>у, составленная из частных производных от компо нентов U, представляет в выбранной системе координат тензор grad i/.
IV.2.2. Скорость деформаций. Скорость вращения. Тензор gradi/ может быть каноническим образом разложен на симметричную со ставляющую D и антисимметричную составляющую й:
|
g ra d tf= 0 + Q. |
(16) |
Тогда в выбранном базисе имеют место равенства: |
||
|
Uи ) — &ij + ®i/> |
(17) |
|
|
|
Д |
7 = т ^ - . / +uhiy, Q ,y = 4 (t/,.y - £ /y .,) . |
|
Тензор D позволяет дать характеристику поля скоростей абсо |
||
лютно твердого тела. В самом деле, имеет место теорема. |
||
Теорема 1. |
Поле скоростей U в системе S |
в момент времени t |
будет полем скоростей |
некоторого абсолютно твердого тела 5 тогда |
||||
и только тогда, |
когда |
в этот |
же момент времени в любой |
точке 5 |
|
тензор |
D равен |
нулю. |
|
упомянутое условие необходимо, что |
|
Как |
было показано ранее, |
||||
проверяется с использованием |
разложения |
|
|||
|
|
|
Ui = Vi+ Qi/xJ, |
(18) |
|
где Vt и Qif—некоторые постоянные. Обратно, на основании фор мул (17) можно написать выражение производных от £2,у через про изводные от Dt/.
|
®1/, i = ~2 № i>]1 Ц/. ii) = |
|
— |
/< + ^ 1. а — Ui~ u~Uj* и) —&и. / ~ D j ty {. |
(19) |
Таким образом, если все DtJ равны нулю, то все Ц-у (вместе с £/,у)—
постоянные. Следовательно, |
Ut являются |
аффинными функциями |
от xh которые могут быть |
представлены в |
форме (18), где Vt и Q,-y — |
постоянные (Q;y—антисимметричная матрица), что и доказывает обратное утверждение.
Можно также написать уравнение (17)а:
|
|
D‘i j ==~ 2 ^'klj£ kp q U p , q~& kj№ k< |
(2 0 ) |
|||
полагая* |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
^k q p U р. q ~ ~ 2 |
p ^ p q • |
(2 0 ) |
|
Вектору о |
соответствует антисимметричная матрица, как и в слу |
|||||
чае (1,38) |
и (1,39), и, кроме того, |
|
|
|||
|
|
|
со = -^гоШ . |
(21) |
||
По аналогии с терминологией, |
используемой в теории абсолютно |
|||||
твердого |
тела, |
тензор Q |
называется тензором скорости вращения, |
|||
а вектор |
©—вектором скорости вращения. Что же касается тен |
|||||
зора D, то согласно теореме его |
можно выбрать таким образом, что |
|||||
он будет |
определять, насколько |
в окрестности точки М поле ско |
||||
ростей среды |
отличается |
от поля скоростей абсолютно твердого |
||||
тела. Его называют тензором скоростей деформации. |
опе |
|||||
Каноническому разложению (16) соответствует разложение |
||||||
ратора 2 (X): |
|
|
|
|
|
|
|
|
S( X ) = Bs (X) + |
Ba (X), |
|
||
в котором отображение Ша(Х) определяется** по формуле |
|
|||||
|
|
X — QX или Х ^ ( й / \ Х , |
|
|||
а отображение Bs (X) — по формуле |
|
|
||||
|
|
X —*■DX или X -+D (X ). |
|
|||
Уравнение (14) может |
быть теперь переписано в виде |
|
||||
и (М 1) = и(М) + и>/\ММ'+D(MM') + lMM'\o(M, М ’). |
(22) |
|||||
* Как обычно, 8/уй— функция |
индексов i, /, k, такая, что ej23= 1 (см. Г1 1.3.1). |
||
Для вывода первого уравнения (20) следует использовать тождество П I, 43. |
|||
** Напомним принятые обозначения: X — матрица-столбец из |
компонентов X; |
||
Q— матрица |
компонентов тензора |
Q; D (X )— линейная функция |
от X, задавае |
мая тензором |
D. |
|
|
Два первых слагаемых в первой части определяют движение
окрестности точки |
М как |
абсолютно твердого тела; Третий же Член |
|||
в правой части — основной |
в определении деформации. Более точно |
||||
вектор D (и) |
называют вектором скорости чистой деформации в на |
||||
правлении |
и, |
где и —единичный вектор. |
|||
Из формулы (22) непосредственно вытекает следующее важное |
|||||
замечание. Предположим, |
что движение изучается в системе отсчета |
||||
5i* и что |
U* (М)—поле |
скоростей в данной системе. Скорости точек, |
|||
связанных |
с |
системой |
Ш (относительно tA*) составляют в момент |
||
времени / |
поле торсора |
V0(Л-1), скорость вращения которого обозна |
|||
чим через |
й)0. Так |
как |
U*(M) — U(M) + V0(M), то для движения |
||
относительной* можно написать формулу, аналогичную формуле (22):
и т(М') = и*(М) + ((а + (й0)АМ М ' + О(ММ')+ |Л Ш '| о(М,ЛГ). (23)
Таким образом, тензор D не зависит от системы отсчета, в ко торой наблюдают движение; тензор D , следовательно, объективный. Что же касается скорости вращения, то это необъективная вели чина, так как G)* = (D4-G>0-
IV.2.3. Замечания относительно определения внутренних усилий. Если ограничиться по-прежнему движением, функции которого имеют непрерывные производные, то в соответствии с формулой (4) можно сказать, что объемная можность внутренних сил —-о ^ Д -у может быть выражена простой операцией (двойной сверткой) над двумя
симметричными тензорами, где 2 задает внутренние |
усилия, a D — |
|||||
скорости деформаций. |
Нетрудно заметить |
сходство |
с выражением |
|||
F Vy определяющее |
мощность |
силы F y точка приложения которой |
||||
движется со скоростью |
К, или |
сходство с выражением, описываю |
||||
щим мощность усилий в движении (1,59), |
когда |
тело по предполо |
||||
жению затвердевает. |
В |
дальнейшем еще |
не раз |
будем иметь воз |
||
можность подчеркнуть важность этого нового проявления двой
ственности силы |
и скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Это замечание дает возможность увидеть |
второй |
путь, |
по которому можно |
||||||||||
идти, чтобы исследовать внутренние усилия |
в сплошной |
среде,— для |
этого до |
||||||||||
статочно ввести эти |
усилия, |
как |
и в случае |
внешних сил, |
через |
их возможную |
|||||||
мощность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
этого |
при |
рассмотрении |
непрерывно |
дифференцируемого |
поля |
возмож |
||||||
ных скоростей U придется сначала ввести понятие поля тензора скоростей дефор |
|||||||||||||
маций, |
затем |
ввести |
внутренние |
силы |
через |
линейный |
функционал, |
который |
|||||
ставит в соответствие |
полю* |
возможную |
мощность |
Ограничиваясь, |
как |
это |
|||||||
принято |
в механике, |
случаем, |
когда такая мощность |
может |
быть |
определена |
че |
||||||
рез объемную |
мощность, должны написать эту последнюю в виде — a,yD/y. Теперь |
||||||||||||
можно показать, что о,у являются компонентами симметричного тензора 2, имею щего инвариантный характер. Тождество (1), примененное к какой-либо части
системы |
S, |
позволяет тогда |
интерпретировать |
эту |
мощность как |
разность мощ |
|||||||||
ностей некоторого |
распределения |
объемных |
сил о,у |
у в области |
S ) и распреде |
||||||||||
ления поверхностных сил о,-улу, |
заданных |
на |
dS>. |
В любом |
жестком движении |
||||||||||
(без деформаций) |
возможная |
мощность |
внутренних сил равна |
нулю, стало быть, |
|||||||||||
оба |
распределения сил |
равнозначны |
и |
определяют |
один |
и |
тот |
же торсор [Ь] |
|||||||
|
* Возможная |
мощность |
g*{i) |
должна |
рассматриваться |
именно как функцио |
|||||||||
нал |
D |
(а |
не grad £/), |
ибо |
& (i) |
должно |
равняться |
нулю для любого поля воз |
|||||||
можных |
жестких |
скоростей. |
(Ср. |
с приведенной |
выше теоремой |
1.) |
|||||||||