Курс механики сплошных сред

ний. Речь идет об асимтотической теории малых возмущений, когда деформации описываются тензором е, введенным в V,41. Учитывая формулу (V,38), можно применить результат (26) с соответствую­ щими упрощениями. Тензор Е заменяется на е и в правой части удерживается только основной член. При е = 0 тензор 2 должен быть равен нулю, так как напряжений в естественном состоянии нет. Отсюда следует, что сг/у — линейные функции е/у и, следовательно, как и в (15), можно написать, что

в этой формуле коэффициенты 1 и fi, называемые коэффициентами Ламе и являющиеся характеристиками среды,— постоянные ве­ личины.

Результат (27) можно получить, не прибегая к общему выводу (26), найденному для случая нелинейной упругости, если принять, что <т/у —линейные функции от е/у, а тензор 2 —изотропная * функ­ ция матрицы е. В этом случае для построения зависимости (27) достаточно применить упрощенную формулу для линейных изотроп­ ных функций (П1.7.8). Заметим, что формула (27) может быть пере­ писана в виде

использовав каноническое разложение на шаровую и девиаторную составляющие:

В самом деле, для получения равенств (28) достаточно подста­ вить разложения (30) в уравнение (27) и отделить в обеих частях шаровые составляющие от девиаторных. И наконец, очевидно, что е,-у можно выразить аналогичным образом через а/у. Используя, например, зависимости (28), имеем

коэффициент Е называется модулем Юнга упругой среды, a v —

коэффициентом Пуассона. Из уравнения (31) следуют зависимости:

по отношению к этому преобразованию.

модулем сопротивления удлинению от простого растяжения. Он положителен, ибо

VI.4. ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ ЗАКОНОВ ПОВЕДЕНИЯ

Своими сравнительно недавними успехами механика сплошных

ций и для того, чтобы подчеркнуть все разнообразие возможных моделей, рассмотрим кратко несколько примеров.

VI.4.1. Классическая вязкоупругость. В обоих рассмотренных выше общих случаях тензор напряжений был фактически функцией тензора, выбранного для описания деформации, а отнюдь не тем функционалом, который постулировался в обшем виде в VI. 1. Это следует, как было указано, из особого характера памяти данных сред.

Сейчас стоит задача установить (в качестве примера) закон пове­ дения среды с непрерывной памятью. Рассмотрим случай, когда функционал может быть выражен в виде одного интеграла. Огра­ ничимся системами, совершающими малые движения около некото­ рой, принятой за исходную в момент / = 0 конфигурации, являю­ щейся, кроме того, естественным состоянием, свободным от напря­ жений. Будем использовать линеаризованную теорию (V.4,5; V.7)

Деформацию будем описывать тензором малых деформаций е; через е(х, t) и £iy(x, t) будем по-прежнему обозначать шаровую составляющую и девиатор. Закон поведения дает значения тензора напряжений и, в частности, шаровую составляющую s(x, t) и девиа-

*См. раздел Х.1.4.

**См. там же.

тор sty(x, /) в зависимости от деформаций в предшествующие мо­ менты, влияние которых учитывается с помощью двух функций

Прежде всего исследуем природу данного закона. Принципы причинности и пространственной локализации выполняются. Среда является материально простой и однородной. Так как остаемся в рамках линеаризованной теории, то принцип независимости от выбора системы отсчета выполняется автоматически, ибо величины, входящие в закон поведения, выписаны для исходной конфигура­ ции. Среда —изотропная, так как замена отсчетной конфигурации сводится здесь к замене репера (например, в исходной конфигура­ ции) и приводит к формулам

2» = Р2РТ, е* = РеРТ,

в которых Р —постоянная ортогональная матрица. Зависимости (37) в новой системе сохраняют свой вид с теми же функциями К и р.

Таким образом, напряжения s и sty убывают с течением времени пропорционально К (t) и ц (t). В этом случае говорят, что в среде происходит явление релаксации напряжений, и в силу очевидных причин К (t) и ц(/) называют соответственно модулем релаксации рас­ ширения и модулем релаксации сдвига (рис. 3). Можно сказать, что деформация, мгновенно достигаемая в момент / = 0 и поддержи­ ваемая затем постоянной, вызывает также мгновенно некоторые на­ пряжения, которые, однако, с течением времени уменьшаются, де­ монстрируя, таким образом, непрерывную память, присущую дан­ ному материалу. Если состояние постоянной деформации (38) дости­ гнуто в момент t = т(т > 0, предшествующее состояние — естествен­ ное), то интегралы в формулах (37) берутся по отрезку [0, t —т],

а напряжения при t~^ т будут такими:

s (х, t) = 3к ( t - X) е° (х), sf/ (X, /) = 2ц (t - т) (х).

Таким образом (и это естественно), основное значение имеет интервал времени между действием и реакцией (независимость зако­ нов поведения от начала отсчета времени).

Рис. 3. Модули релаксации вязкоупругой среды:

Описанные среды называются вязкоупругими; термин «упругость» здесь определяет тот факт, что под действием нагрузки материал первоначально ведет себя как упругая среда с коэффициентами

Ко и (V

Далее, если % возрастает до бесконечности, то /С (Я) и р (К) стремятся к положительным значениям К«, и JV после длительного промежутка времени; материал ведет себя как упругая среда —имеет место остаточная упругость с коэффициентами К„ и \1 Ж. Термин «вязкость» говорит о том, что время играет существенную роль в законе поведения и, следовательно, состояние напряжений зависит не от мгновенно достигаемой деформации, а от «предыстории», т. е. от способа и, в частности, от скорости, с которой была достигнута деформация. Эти замечания будут уточнены в Х.З.

VI.4.2. Гипоупругость. Принято говорить, что некоторая сплош­ ная среда относится к классу гипоупругих сред или, короче, явля­ ется гипоупругой, если в каждой точке и в любой момент времени производная относительно собственного вращения тензора напряже­ ний—линейная функция тензора скоростей деформаций, причем эта

где CiJkl —компоненты тензора четвертого ранга, которые в общем случае являются функциями от a{J, удовлетворяющими соотноше­ ниям симметрии

Приведенное определение требует некоторых пояснений, а) Прежде всего для таких сред скорость напряжений — линейная функция

скорости деформаций. Но для построения закона, удовлетворяющего принципу независимости от выбора системы отсчета для производной тензора напряжений, необходимо найти такое определение, которое вело бы к объективному тензору. Зависимости (40) содержат производную относительно собственного вращения или производную Яуманна (см. V,91):

(42)

С таким же успехом можно взять конвективную производную (V.88), свя­ занную с производной Яуманна соотношением

DcOi/= DJOij—Dikakj —Djkoki.

В самом деле, согласно (40) имеем

D c O i j = C i j klD k[— O k j D i k — o kiD j k

и, следовательно,

^с0/у= Гijkfikb

да инкрементальным, подразумевая, что если состояние системы (включая напря­

Из принципа независимости от выбора системы отсчета следует, что составляющие CiJkl не могут быть произвольными функциями

виде (44). Остается изучить левую часть; т. е. выражение (42). Известно, что при

* Здесь а>и— компоненты тензора вращения, которые в V.4.1 обозначены че­ рез Ф/у.

Если же исходное состояние является естественным, то 2° = 0 и (46) совпа­ дает с законом поведения классической упругой среды (изотропные среды).

с начальными напряжениями) в выражении для закона поведения участвует мат­ рица ш— это следует из формулы (46).

ГЛАВА VII

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ

Деформация сплошной среды не всегда представляет собой чисто механическое явление.

Простой физический опыт показывает, например, что при на­ гревании металлический брус удлиняется. Деформация, таким об­ разом, может быть вызвана подводом к системе некоторого коли­ чества теплоты или изменением температуры. Точно так же, любая деформация сопровождается обычно термическими эффектами, и по­ этому попытка описать поведение сплошной среды по чисто меха­ нической схеме, игнорируя термомеханические взаимодействия внут­ ри среды, неосуществима.

Очевидно, что учет таких явлений не может не сопровождаться введением новых понятий, которые дополнят изученные ранее. Формально уже введено при записи закона сохранения энергии понятие внутренней энергии и поглощенной системой теплоты. Для описания же термомеханического поведения среды придется опери­ ровать двумя другими, также основными понятиями —абсолютной температуры и энтропии.

Раздел физики, в котором изучаются эти понятия и формулиру­ ются связывающие их законы, получил название термодинамики.

Классическая термодинамика рассматривала фактически лишь состояния равновесия или движения системы, близкие к состоянию равновесия, и только сравнительно недавно внимание ученых было привлечено к проблеме изучения конечных деформаций движущих­ ся систем. Поэтому желательно отнести проблему равновесных со­ стояний к термостатике, сохранив буквальный смысл термина «тер­ модинамика», применяя ее методы к общей задаче изучения конеч­ ных деформаций, происходящих в движущихся телах.

Решать эту задачу можно двумя путями. Первый путь —вполне логичный—дать с самого начала определение новых понятий и на основе большого числа физических опытов сформулировать фунда­ ментальные законы в качестве руководства к действию. Из этих законов математически выводятся все следствия и сопоставляются с экспериментом с целью выдвинуть доктрину, позволяющую предска­ зать новые явления. Именно этот путь был избран при изложении механики сплошных сред, а также при формулировке первого нача­

ла термодинамики — закона сохранения энергии, составившего основ­ ное содержание четвертой главы. Однако такой метод принесет пользу в полной мере лишь тогда, когда ему будет предшествовать интуитивное понимание систематизируемых понятий и лежащих в их основе физических процессов. В динамике, например, такой путь впол­ не возможен, если имеется определенный навык оперирования с поня­ тием силы, представление о которой в основных чертах дается при

стоящего курса, изучению термодинамики может быть отведено лишь довольно ограниченное место, недостаточное для последовательного изложения дедуктивной и аксиоматической теории, о которой ска­ зано выше и которую можно назвать теорией совместности законов поведения, сформулированных a priori.

Поэтому здесь будет использован другой путь (более ограничен­ ный), основанный на понятиях термостатики. Чтобы позволить чи­ тателю приступить к изучению теории на базе исходных определе­ ний, в настоящем курсе приведена глава (R III), дающая сводку основных формул термостатики, где сделана попытка согласовать аксиомы и результаты., которые могут быть показаны для первона­ чального восприятия термодинамики. Однако эта глава отнесена в приложения для того, чтобы не навязывать этот материал тем чи­ тателям, которые с ним знакомы или желают быстрее перейти к изучению термомеханики обычных сплошных сред.

Настоящая глава начинается с формулировки второго начала тер­ модинамики; основная задача термодинамики заключается, как изве­ стно, в том, чтобы изучить допустимые термодинамические процес­ сы. Далее приводится изложение теории или метода локального со­ стояния.

Здесь сделана (без подробных обоснований) попытка найти общие принципы, позволяющие сформулировать законы поведения с учетом

венным образом законы термодинамики необратимых процессов. Выявлены основные свойства двойственности, которая является од­ ним из теоретических аргументов в пользу предлагаемой теории. Вкратце поведение сплошной среды описывается в основном двумя действительными функциями, обладающими свойством выпуклости: с одной стороны, термодинамический потенциал и с другой —диссипа­ тивная функция или, в более общем виде, диссипативный квазипотен­ циал.

В четвертом разделе данной главы введена дополнительная ги­ потеза об отсутствии связи между термической и внутренней дис­ сипациями. Это дает возможность сформулировать (по крайней мере, для изотропных процессов) общий закон теплопроводности.

Излагаемая теория не претендует ни на строгую систематизацию,

достаточно проста и основана на хорошо подтвержденных экспери­ ментальных данных, она «выдает» результаты, которые— насколько это вообще возможно — легче всего поддаются сравнению с опытом.

V II.1. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

V II.1 .1 . Температура и энтропия. В изложенном в IV,3.1 пер­ вом законе участвуют два новых понятия, входящих в определяю­ щее их уравнение,—количество поглощенной теплоты и внутрен­ няя энергия. Второй закон термодинамики выражается неравенст­ вом, которое оперирует с двумя другими новыми понятиями. Не­ смотря на то что определение этих понятий будет дано немедленно, их физический смысл станет ясным либо из следствий, выводимых из установленных законов, либо из рассмотрения их исходного зна­ чения в термостатике. Это абсолютная температура и энтропия.

Пусть 3 —некоторая движущаяся система*.* Будем предполагать, что в любой момент времени существует скалярное поле Т (х, /), определенное в каждой точке конфигурации %1 системы в момент t. Величина Т называется абсолютной температурой или просто тем­ пературой частицы Af, которая в момент времени t находится в точке х. Абсолютная температура никогда не может быть отрица­ тельной.

Повседневная практика дает представление о том, что такое шка­ ла температур. Приведенное выше утверждение говорит о сущест­ вовании возможности приписать каждой частице в любой заданный момент вполне определенное число. Единица термодинамической температуры —Кельвин. Это новая величина, которую нельзя связать естественным образом с фундаментальными единицами массы, длины и времени, как это было проведено с введенными ра­ нее величинами.

Понятие энтропии более абстрактно. Каждой части S) системы S в любой момент времени t можно поставить в соответствие некото­

мой удельной •• энтропией частицы М %которая в момент t находится в точке х, и определенной на Р, для которой в фиксированный

• Чтобы не менять общепринятого обозначения 5 для энтропии, будем обоз­ начать систему через

** В термодинамике «удельная» значит отнесенная к единице массы (т. е. эквивалентная «массовой» единице). В самом деле, из формулы (1) видно, что s— массовая плотность энтропии.