Курс механики сплошных сред

найденная формула записывается в следующем виде:

симметричного движения позволяет выразить неизвестные составляющие скорости

в каждой точке которой скорость лежит в касательной плоскости). Во всех обла­

связывающая дифференциалы функций к, а, с. Таким образом, к является

Р^/ = «//*«./ btk.

Само собой разумеется, что поверхности b (хъ ха, x8)=»const являются по­ верхностями тока.

ГЛАВА III

СОХРАНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ

СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ

В данной главе речь будет идти в основном о применимости к механике сплошных сред основного закона классической механики. Классическая механика выявляет существование особых систем отсчета (галилеевых систем), в которых описание явлений представляется исключительно простым. Всюду в этой книге (если только не будет

Будем обозначать через х{ координаты точки М в ортонормирован-

в настоящее время терминологии, последние называются внутрен­ ними силами в системе S, тогда как первые —внешние силы, дей­ ствующие на систему S.

Для конкретизации формулировок основных закономерностей

можно представить в любой момент времени t некоторым объемным распределением сил /(х , t). И наконец, примем фундаментальную гипотезу (на которой основаны все повледующие выводы) относи­ тельно внутренних сил.

кривизны поверхности дЗУ в точке М, однако будем придерживаться более простой гипотезы (3°). Вектор* Т (М9 п) называется векто­ ром напряжений в точке М для направления п\ Т(М , п) представ­ ляет собой некоторую поверхностную плотность сил, действующих на элемент поверхности, нормальный к единичному вектору п.

Это утверждение, вообще говоря, равносильно следующему: на каждую элементарную площадку da вокруг М с нормалью п дей­ ствует элементарная сила Tdo (рис. 1) со стороны элементов S, ле­ жащих в области, в сторону которой направлен вектор п.

С позиций физики введенные усилия обусловлены молекулярными взаимо­ действиями между областью ЗУ и ее дополнением. Эти силы весьма значительны вблизи дЗУ* но их действие проявляется только в непосредственной близости к этой поверхности (внутри ЗУ силы молекулярного взаимодействия заметны только на очень малых расстояниях). Именно поэтому рациональной с позиций механики сплошных сред является схематизация этих взаимодействий поверх­ ностными силами, что и сделано.

Введенные выше определения накладывают, безусловно, опреде­ ленные ограничения, но вместе с тем они позволяют описать с хо­ рошим приближением довольно широкий класс разделов механики сплошных сред и дают возможность сформулировать основной закон.

* Для простоты переменная t не будет фигурировать явно, новее равенства настоящей главы будут, разумеется, справедливы для любого фиксированного момента t.

например, в форме

Замечание. Следует заметить, что уравнения (8) могут быть выведены из уравнений равновесия (6) на основании общеизвестного результата общей механики, согласно которому уравнения движения получаются путем прибавления к торсору внешних сил торсора, противоположного динамическому. Тогда в нашем случае для полу­ чения уравнений (8) в уравнениях (6) нужно заменить /, на/,- —ру,-.

111.1.3. Симметрия тензора напряжений. Используем снова урав­ нение сохранения (2). Согласно сделанному выше замечанию рас­ смотрим сначала случай равновесия. Прежде всего можно конста­ тировать, что с учетом (4) теорема 3 (И.З) не даст никакого нового результата. Кроме того, теорема 2 (И.З) или формула (11,31) по­ зволяют написать, выразив в явном виде компоненты векторных произведений:

не используются. Следовательно, этот вывод остается справедливым для случая, когда система находится в движении. Непосредствен­ ную проверку справедливости данного утверждения предоставляем читателю (задача 11).

111.1.4. Условия на разрывах. Если применить теперь теорему 5 (11.3) к уравнению (1), то для любой точки М поверхности разрыва 2

где N — единичный вектор, нормальный к поверхности 2 в точке М, а V —нормальная составляющая скорости среды относительно поверх­

ности 2.

Заметим сразу же, что применение этой теоремы к уравнению (2) не дает нового результата. Уравнение (12) заключает в себе всю информацию, которую дает закон сохранения количества движения в случае, когда мы имеем дело с поверхностью разрыва.

Вернемся к двум случаям, рассмотренным в II.4.2. Для кон­

в виде

В случае если на какой-то части площадки dS компоненты /*’, = О, принято говорить, что эта часть свободна от нагрузок.

Заметим, что если все //, как правило, известны, то этого нельзя сказать относительно F[.

В качестве примера рассмотрим случай упругого цилиндрического тела, один торец которого заделан в жесткий массив (рис. 3). Предполагаем, что тело

развиваемой теории, что эти усилия могут быть определены через заданную поверхностную плотность F. Таким образом, равенство (15) определяет на всем незакрепленном торце детали условия, которым должен удовлетворять тензор

ные гипотезы, справедливость которых обоснована тем или иным способом и

ствуют друг на друга на расстоянии. Как правило, эти силы известны, они как

внесения корректив в уравнение (10), которое в этом случае принимает вид

eHk0Л*+Г7 = О.

Тензор напряжений уже не будет симметричным; другие выводы остаются справедливыми, и предложенная теория не теряет значения, так как считается, что поверхностная плотность F хорошо представляет внешние контактные силы. Если такое представление окажется недостаточным и возникнет необходимость учесть, например, поверхностную плотность моментов, то описание внутренних воздействий посредством векторов напряжений Т(М , я), определенных на гра­ нице д@), оказывается слишком грубым— оно должно быть дополнено. Внутрен­ ние силы системы 5 при этом не будут достаточно точно выражаться полем тен­ зоров напряжений 2.

* Однако на заделанном торце тела можно выписать условия, связанные со скоростью. Например, всюду на заделанной поверхности U равно нулю.

Отметим, что предложенная модель страдает известными ограничениями, которые преодолены лишь в новейших теориях. Эти теории в рамках данной книги рассмотрены быть не могут.

III .1.7. Теорема об изменении количества движения. Теорема об изменении количества движения представляет собой лишь ре­ зультат общей механики, послужившей отправной точкой для данной

где согласно принятым обозначениям \f\sb —торсор, определяемый объемной плотностью / в области SD, а \Т\аз>~торсор, определяе­ мый поверхностной плотностью Т на границах дЗ).

С другой стороны, можно написать, что

В самом деле согласно (11,7) главные векторы справа и слева равны. То же можно сказать и о главных моментах относительно точки О, если учесть, что

§f(OM ApU) = OM A-fripU),

так как компонентами вектора ОМ являются составляющие вместе со временем t систему из четырех независимых переменных, фигурирующих в записи частных производных. Теорема об измене­

Эта теорема особенно важна при решении некоторых задач об определении торсора сил воздействия на твердые стенки.

В качестве примера рассмотрим жидкость (или газ), заполняющую все про­ странство, в которую погружено неподвижное твердое тело В (рис. 4), и предпо­ ложим, что жидкость находится в стационарном движении, иными словами, будем считать, что все частные производные по времени от функций, описывающих движение среды, равны нулю.

Пусть S ) — объем среды, заключенный с одной стороны между поверхностью тела дВ, и с дру­ гой — некоторой поверхностью 2, окружающей тело В. Согласно 111.1.5 торсор [gf] воздействия среды на В, противоположный по знаку торсорУ воздействий тела В на непосредственно приле­ гающую среду, может быть записан в виде*