Курс механики сплошных сред

ламинарное течение неустойчиво. Точно так же течение с торои­ дальными вихрями теряет свою устойчивость, если Re/ достигает достаточно больших значений при фиксированном Ree.

Итак, если теоретически найдено некоторое течение, удовлетво­ ряющее всем уравнениям и условиям задачи, то для того, чтобы убедиться, что данное течение соответствует действительности, сле­ дует изучить вопросы 7 СТ0ЙЧИВ0СТИ. Это ведет к довольно сложным математическим задачам, важность решения которых видна из ска­ занного выше.

В качестве примера скажем, что изменение одного из геометри­ ческих или механических параметров может привести к превраще­ нию ламинарно.го течения в турбулентное. Возникновение турбу­ лентности было и остается одним из основных вопросов механики жидкости и можно сказать, что сегодня, несмотря на самые тонкие исследования, многое остается неясным.

Из этой главы, где на простых примерах показаны особенности поведения жидкостей, видно то исключительное разнообразие фун­ даментальных проблем, которые стоят перед наукой о течениях.

ГЛАВА X

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ, ИЛЛЮСТРИРУЮЩИЕ ПОВЕДЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ

Назначение и содержание настоящей главы были определены уже в начале предыдущей главы, и теперь остается указать структуру и содержание ее разделов.

Уточним сразу же, что для простоты рассмотрим только вопро­ сы равновесия или, в крайнем случае, квазиравновесия, когда пол­ ностью отбрасываются все инерционные эффекты. Поэтому исполь­ зуемые здесь основные уравнения будут уравнениями статики. Далее, все примеры будут рассматриваться в рамках гипотезы о малых воз­ мущениях, т. е. деформированные конфигурации системы будут близки к исходной. Иными словами, всегда можно воспользоваться упрощениями, о которых шла речь в V.4.5. И наконец, будем пред­ полагать деформации изотермическими, а исходную конфигурацию — естественным состоянием среды. Все эти предположения вполне допустимы, если только иметь в виду такие важные задачи, как задачи равновесия конструкций.

Классическая теория упругости является основополагающей дис­ циплиной механики твердых тел*. Все другие дисциплины (которые,

* Напомним, что понятие «твердого тела» здесь данов общепринятом смысле (т. е. разрешены некоторые деформации), ане в смысле «абсолютно твердоготела», принятого в общей механике, где это понятие обозначает недеформируемую жест­ кую систему.

как правило, рассматривают вторичные эффекты) являются как бы надстройкой над зданием теории упругости. В связи с этим пред­ ставляется уместным рассмотреть, прежде всего, несколько тради­ ционных задач теории упругости. Не углубляясь далеко в задачи эластостатики, которые будут изучены во второй части настоящего курса, рассмотрим несколько простых (но имеющих важное значение) примеров, которые подводят к таким важным понятиям, как жест­ кость на кручение или изгиб.

Во втором и третьем разделах вновь вернемся к рассмотрению тех же проблем, когда материал будет упруго-идеально-пластической или вязкоупругой средой. На этих простых примерах можно будет легко оценить влияние новых эффектов, учитываемых данными за­ конами поведения.

X.I. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Х.1.1. Основные уравнения. Напомним, что классическая теория упругости является линейной теорией; невозмущенное состояние системы есть естественное состояние материала, предполагаемого по­

в ортонормированном базисе этой конфигурации), граничные условия также должны быть выписаны для поверхности dS исходной области. В такой линеаризованной теории переменные xt играют одновременно роль лагранжевых и эйлеровых переменных.

сительно своего исходного естественного состояния хк на величину перемещения Х( хк), компоненты которого X,- (хк).

Прежде всего выпишем уравнения, которые следуют из законов сохранения. С учетом предположений нужно записать только те из уравнений, которые отражают закон сохранения количества движе­

Эти уравнения должны выполняться в любой точке 5; соответству­ ющие граничные условия (111,15) здесь таковы:

в уже использованных ранее обозначениях:

К этим уравнениям следует добавить уравнения, отражающие законы поведения. Если ограничиться случаем однородных изотроп­ ных сред, то можно воспользоваться соотношениями, сформулиро­ ванными в явном виде в VI.3.3. Здесь приведены только две из возможных форм этих законов. Обозначив через е,у компоненты тен­ зора деформаций (при малых возмущениях):

Х.1.2. Понятие о регулярных задачах. В задаче эластостатики, как и в любой математической задаче, имеются заданные и неизве­ стные величины. В данном случае неизвестными всегда являются поле перемещений Xi(xk) и поле тензоров напряжений ст,у(хл) в об­ ласти 5. Как заданные, так и неизвестные величины должны удов­ летворять всем уравнениям задачи [и уравнениям (1), (4) и (5)] и дополнительным или граничным условиям, которые должны выпол­ няться на граничной поверхности dS (так как изучаются только задачи равновесия, то можно не учитывать начальные условия).

Любая задача должна быть прежде всего корректно поставлена; это означает, в частности, что решение должно существовать и что оно должно быть единственным; кроме того, оно должно быть не­ прерывной функцией заданных величин.

Найдем условия, которым в задаче эластостатики должны удов­

тензоров скоростей возможных деформаций, то в силу (IV,9) имеем

квадратичную форму оу(е/у). По определению, интеграл от w по области S называется энергией деформации системы S в рассматри­ ваемом состоянии равновесия. Левая часть равенства отражает ра­ боту внешних сил на поле перемещений' X t. Итак, можно сформу­ лировать следующую теорему.

Теорема (о работе). Работа внешних сил, приложенных к упру­ гой системе, в состоянии равновесия на перемещениях от естествен­

равны нулю. Поле напряжений и поле деформаций тождественно равны нулю, поле перемещений, как это было показано в V.4.4, является полем моментов некоторого торсора, т. е. полем бесконечно малых перемещений абсолютно твердого тела. Такое решение назы­ вается тривиальным, так как внутренние силы и деформации равны нулю. Итак, можно сформулировать следующую лемму.

Лемма. Если данные некоторой задачи таковы, что tlX i = 0 в любой точке в S,

F(X/ = 0 в любой точке на dS,

то единственным является тривиальное решение задачи.

Так, в частности, обстоит дело в случае регулярных однородных задач.

Определение 1 . Задача называется однородной, если заданные величины тождественно равны нулю. Кроме того, она называется локально регулярной, если данные задачи таковы, что в любой точке М из области S /(Л4) = 0 и, с другой стороны, в любой точке Р гра­

ничной поверхности dS величины F (Р) и X (Р) принадлежат двум ортогональным * векторным пространствам (в трехмерном евклидовом пространстве, в котором они определены).

граничной поверхности <35; по непрерывности решение должно, ра­

Определение 2 . Задача (Ph)t для которой заданные в задаче (Р) величины внутри S и на dS тождественно равны нулю, называется однородной задачей, ассоциированной с (Р).

Так, ассоциированной задачей типа I будет также задача типа I, в которой

/ 1= о, х , = о .

Определение 3. Задача (Р) называется регулярной, если ассо­ циированная с ней однородная задача (Ph) также регулярна **, а из задаваемых в задаче (Р) условий для задачи (Рн) следуют только ***

те условия, которые даны в определении 1 .

Приведенные выше примеры а), б) и в) являются примерами регулярных задач.

Теперь нетрудно сформулировать следующий результат, условив­

Таким образом, сг/у и е/у определяются однозначно. Поле пере­ мещений определяется, возможно, с точностью до поля перемеще­ ний абсолютно твердого тела.

Для приложений, которые будут рассматриваться, этой теоремы вполне достаточно. Отметим (хотя в настоящем курсе это не най­ дет применения), что даже при самых общих условиях регулярно­ сти всякая регулярная задача на самом деле имеет единственное решение и что такая задача является корректно поставленной. Уточним, однако, что в случае задач типа II заданные величины должны удовлетворять необходимому условию (3). Если же это не так, то рассматриваемая задача о равновесии не имеет решения вообще.

Х.1.3. Принцип Сен-Венана. Положения, рассмотренные выше, показывают, что сложность задач теории упругости такова, что найти математическое решение в явном виде, как правило, не пред­ ставляется возможным. Действительно, искомые функции должны удовлетворять довольно сложной системе уравнений в частных произ­ водных, которая даже в сравнительно простых случаях может быть решена лишь для конкретных граничных условий. Вместе с тем из соображений физического характера ясно, что практически невоз­ можно реализовать в эксперименте заданное распределение поверх­ ностных сил F (Р) на тех участках поверхности dS тела, на которых это распределение предполагается известным (например, в случае задач типа II). Если даже математические трудности преодолены и построено точное решение, то точная Экспериментальная проверка всех теоретических выводов все равно остается невозможной. Таким образом,, как по математическим, так ц физическим соображениям теории упругости грозит опасность остаться слишком «тонкой» нау­ кой, практическая ценность которой весьма сомнительна.

Все эти замечания только подчеркивают важность следующего принципа, сформулированного впервые Сен-Венаном, согласно ко­

х2

б)

с плотностью F (F — постоянный вектор, параллельный оси х3, ком­

поненты которого О, О, F). На сечение 2 0 действуют силы с поверх­ ностной плотностью — F. Боковая поверхность бруса 2 2 свободна от нагрузок (111.1.5), т. е. силы F заданы и равны нулю всюду на 22 (рис. 1). Задача относится, таким образом, к задачам типа II и решается очень просто. Поле тензоров напряжений простого растя­ жения, определяемое равенствами

и, следовательно, это поле соответствует некоторому полю переме­

является искомым полем перемещений. Любое другое поле, которое может быть решением, получается прибавлением к полю (14) поля моментов торсора. Такое (бесконечно малое) геометрическое пере­ мещение, которое может быть сложено с полем (14), не дает нового решения, отличного от решения, даваемого формулами (12) и (14), так как последнее, удовлетворяя всем условиям задачи внутри S и всем граничным условиям на dS, является единственным, ибо речь идет о регулярной задаче.

Если длина бруса достаточно велика в сравнении с поперечными размерами, то, опираясь на принцип Сен-Венана, можно считать подученное решение одним из приближений к решениям других задач. Обозначим через & (0, 0, &) главный вектор одноосного тор-

сора, определяемого поверхностной плотностью F (Р) на 21; Л — площадь прямого сечения цилиндра. Ось л*8 будем полагать совпа­ дающей с центрами тяжести прямых сечений (при однородной по­ верхностной плотности). Тогда линия действия главного вектора S

будет всегда совпадать с осью х8, a S = A F .

Согласно принципу Сен-Венана можно допустить, что всякий раз, когда к торцам 2 * и 2 Фприложены усилия, торсоры которых

соотношения (12) и (14) определяют поле напряжений и поле пере­ мещений. Разумеется, это решение представляет собой хорошее приближение к искомому решению для тех частей бруса, которые достаточно удалены от торцов 2 „ и 2 ,.

Предположим теперь, что торец 2 0 бруса заделан в жесткий монолит, а остальные условия задачи остаются неизменными (/ = О внутри S, [Г (/>)]£, = f/1"], F ( P ) = 0 на 2 ,). Строго говоря, это озна­ чает, что перемещения X (Р) на 2 0 тождественно равны нулю на плоскости х8= 0. Решение задачи по формулам (12) и (14) не будет строгим, так как перемещения на х8= 0 не будут везде тождественно равны нулю. Нов соответствии с результатами, полученными в Х.1.3, можно допустить, что формулы (12) и (14) дадут одно из прибли­ женных решений, так как ось х„ является геометрическим местом центров тяжести прямых сечений. В самом деле, и смещение начала координат и вращение в этой точке будут тождественно равными нулю, что приблизительно соответствуют условиям жестко заделан­ ного торца 2 0 (Х.1.3).

Экспериментальные проверки. Приведенные результаты легко проверить экспе­ риментально. Поскольку невозможно осуществить строгую реализацию граничных условий на торцах 2 0 и 2 lf будем проводить измерения на малом участке бруса,

достаточно удаленном от торцов, например изучая деформацию малого прямоуголь­ ника длины А, начерченного до деформации на боковой поверхности бруса (рис. 2). После приложения нагрузки прямоугольник деформируется. Для обычных мате­

(где для простоты относительное удлинение е88 обозначено через е), хорошо вы­

полняется при условии, когда F не выходит за пределы отрезка * [— k, + k] [А, называется пределом пропорциональности при растяжении материала (рис. 3)].

Если F выходит за пределы этого интервала, закон Гука (15) перестает выпол­ няться по двум причинам. С одной стороны, при увеличении растягивающего усилия относительное удлинение е уже не будет линейной функцией от о, а с дру­ гой-материал теряет свойство упругости, так как после снятия нагрузки в точке В состояния среды будут соответствовать кривой ВС (совпадающей практически