Курс механики сплошных сред

делим пределы и оценим справедливость принятой схемы. Но даже с учетом критических замечаний по поводу формулируемой здесь теории следует признать, что именно эта теория является первой теоретической схемой явлений пластичности, играющих очень важ­ ную роль в механике твердых тел.

VIII.8.2. Законы поведения. В этом разделе стоит задача сфор­ мулировать законы поведения сред, обладающих указанными выше свойствами. Рассмотрение этих свойств приводит к мысли принять компоненты сг,7 в качестве термодинамических переменных (напом­ ним, что движения предполагаются изотермическими). Обозначим через ф(<т,-у), как и в (60), термодинамический потенциал среды, который будет, таким образом, аналогичен термодинамическому по­

где Aijkk, как и в (39), компоненты тензора модулей податливости среды, удовлетворяющие обычным соотношениям симметрии:

^ ijhk = ^ jihk ^ Aijkh Afifaj.

Если положить, как это сделано в уравнении (61),

то получим тензор упругих деформаций гец и тензор пластических деформаций е?/—- зависимости, вполне аналогичные (92). Рассчитав внутреннюю диссипацию, получаем (см. в VIII.6.2)

где, как и в линеаризованной теории,

Здесь Detj—тензор скоростей упругих деформаций; Dfj — тензор скоростей пластических деформаций; Dtj — тензор скоростей дефор­ маций.

Сформулируем теперь дополнительные законы. Предполагая ме­ ханизм диссипации нормальным, нужно выбрать диссипативную функ­ цию, как в VIII.6.2. В соответствии с данными выше пояснениями

Приведенная выше качественная характеристика идеально пласти­

ний, изображение напряженных состояний частиц с ненулевой дис­ сипацией сводится к замкнутой выпуклой поверхности, содержащей начало координат. Допустим временно, что эта поверхность, кото­

с границей ду. Говорят, что ¥ (о{/)—поверхность текучести среды.

тот же знак, что и производная от IF вдоль радиуса-вектора (в дан­ ном случае «+»). а диссипация

Принято говорить, что функция JF определяет пластический * потенциал среды.

Резюмируя полученные результаты, мы можем—с учетом сде­ ланных предположений — заключить, что закон поведения всегда можно записать в виде (101), уточнив при этом, что в упругом ре­

в точке нагружения ( f = 0, ,Г = 0) коэффициент X положителен или в крайнем случае равен нулю.

Укажем коротко, каким образом строится двойственная формулировка. Ком­

поненты е\f являются сопряженными с Оц термодинамическими переменными. За основу берется потенциал

Диссипация по-прежнему задается в форме (95). В упругом режиме D? = 0 . Дополнительные законы в пластическом режиме строятся с использованием дис­ сипативной функции 3 ) i { p Pij) — положительной и положительно однородной пер­

вой степени однородности, удовлетворяющей требованию выпуклости. Если эта функция непрерывно дифференцируема, то

пени и, следовательно, не являются независимыми (они зависят только от взаимо­ связей между D?y). Таким образом, в пластическом режиме точка, изображаю­ щая напряженное состояние частицы, находится на поверхности, и снова прихо­ дим к понятию поверхности текучести др. Соотношения (101) могли бы быть

Вероятно, читатель обратил внимание на то, что для законов пове­ дения (101) упруго-идеально-пластических сред общие принципы,

до некоторой степени интригующим.

Покажем, что в действительности законы поведения (101) удов­ летворяют только ослабленной форме этих принципов, которая на­

зывается инкрементальной. С этой целью докажем следующую теорему.

* Заметим, что любая функций ^ такая, что ^ = /i(<jF)> где^/*—возрастающая функция действительной переменной( определяет пластический потенциал, веду­ щий к тому же закону (101).

Теорема. Если в некоторой данной точке и в некоторый данный

момент известны компоненты е(/ и и величина ё,у, то для этого же момента времени значения aif могут быть определены с по­ мощью законов поведения и это определение однозначно.

Известно, что функция ¥ (а,у) не может быть положительной. Если она отрицательна, то изучаемая частица находится в упругом

режиме, Я = 0, е?/ = 0 и в соответствии с (101) и (102) имеем

a ij = aiJhkBhk-

Если ¥ ( o (j) = 0, то частица может находиться в состоянии нейтрального нагружения или в состоянии разгрузки. Для выясне­ ния возможных ситуаций необходимо вычислить

¥ = 4 ^ - Oij.

до,7 'J

Изучим вопрос о том, является ли данное состояние состоянием разгрузки. Если это так, то

причем 3* должно быть отрицательным. Величина 3s нам известна; если она отрицательна, данное состояние может находиться на по­ верхности текучести в состоянии разгрузки.

Рассмотрим теперь возможность состояния нейтрального нагружения. В соответствии с уравнением (101) имеем

ное предположение неприемлемо, если 3* отрицательно; если же $

взаимно исключаются и в целом дают исчерпывающую картину. Теорема, таким образом, доказана.

Итак, закон поведения не позволяет получить для частицы зна­

Однако в случае, когда Dff —второй элементарный инвариант тензора скоростей пластических деформаций со знаком «—», можно написать

Df1= = №,ys,y = 2X2g2= X2g2= 2D;?, (£>tf)1/2 = X (S'n)v*, так что

касательное напряжение в любой точке для любого направления должно быть по модулю меньше некоторой заданной величины. Если обозначить через k предельное напряжение, ниже которого при одноосном растяжении материал не переходит в пластическое со­ стояние, то данное условие текучести легко выражается посредством

нии сформулированного выше принципа (ортогональности относи­ тельно опорной плоскости) (задача 16) можно построить закон поведения.

Критерий Треска может быть использован только в том случае,

если известны главные направления. Предположим для определен­ ности, что в каждой точке среды координатные оси совпадают с главными направлениями напряжений и деформаций. В этом случае можно показать (задача 15), что диссипативная функция имеет вид

^ ,= 4 { |£ > ? 1|+ |П й !ж е д

и является положительно однородной первой степени однородности, так что это определение корректно. Разумеется, область определе­ ния этой функции должна быть ограничена значениями перемен­ ных, для которых выполняется условие пластической несжимае­

величины), тогда упругие деформации eeif, определяемые по фор­

кон поведения полностью определяется выбором поверхности теку­

сипативной функции, характеризующей явление идеальной плас­ тичности. Из этого следует, что рассматриваемая предельная схема не вписывается в рамки гипотез о малых возмущениях, которые принимались за основу при построении законов поведения упруго- идеально-пластических сред.

Физический смысл этой дополнительной гипотезы можно понять из следую щих замечаний. Если внешние воздействия недостаточно «велики» и не могут вызвать внутри среды внутренние напряжения, описываемые тензором напряже­ ний на поверхности текучести, т. е. ^ (о/у) < 0, то среда остается в равновесии (если она была в равновесии в начальный момент). Если, напротив, поверхность текучести достигается и такое состояние поддерживается, по меньшей мере, в не­ которых частях системы, то имеет место пластическое течение, несколько похо­ жее на течение жидкости, и деформации в собственном значении этого понятия могут стать относительно большими.

Такая предельная схема оказывается весьма полезной либо при изучении поведения металлов при обработке давлением, прокатке, прессовании, волочении, ковке, штамповке, либо для определения условий разрушения металлических конструкций (теория предель­ ного равновесия). Очевидно, что в обоих случаях упругие дефор­ мации малы в сравнении с пластическими деформациями и ими можно пренебречь.

V III.9. ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИЕ СРЕДЫ

В заключение настоящей главы приведем пример, когда дисси­ пативный механизм представляет собой сумму двух нормальных диссипативных механизмов (VI 1.3.5). Последнее обстоятельство пред­ ставляется естественным, ибо уже в предыдущих разделах выявлено существование двух различных механизмов диссипации—диссипация вязкая и диссипация пластическая. И в самом деле существуют среды (битумы, смазки, тяжелые масла), в которых обнаруживается присутствие обоих упомянутых эффектов.

Ограничимся для простоты случаем жестко-вязко-пластической несжимаемой среды, причем процессы, происходящие в среде, будем считать изотермическими. Понятие термодинамического потенциала (как и в VIП.8.6) в данном случае теряет смысл; деформация пол­ ностью описывается тензором скоростей деформаций Dt)\ диссипа­ ция сводится к величине Q>= oiJDl/.

Для простоты будем полагать, что диссипативный механизм представляет собой сумму двух нормальных диссипативных меха­ низмов, один из которых—пластический, определяемый диссипатив­ ной функцией (ИЗ):

S>l (D,/) = 2«*g(Dt/DlJy fit

другой—механизм вязкости, описываемый функцией

(DI/) — i/Dij,

где g и (х—две постоянные величины.

Учитывая, что среда несжимаема, и принимая во внимание общий

где Dn —второй инвариант тензора скоростей деформаций (со зна­ ком «—»),

(117)

а давление р — произвольная величина.

Если течение на самом деле имеет место, то закон поведения (116) остается справедливым; к тому же в этих условиях

у т.ут/у = у Dz/D/y^ -^T r + 2p,^ = (g + 2pDn/2)2 = S[U (118)

и материал ведет себя как жесткое тело. Среда, определяемая соотношениями (116) и (119), называется жидкостью Бингама.

ГЛАВА IX

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ

СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ

Последующие главы этого курса будут посвящены рассмотрению задач, связанных с равновесием и движением сплошных сред с за­ данными законами поведения. В нашем распоряжении имеются общие уравнения законов сохранения и уравнения, описывающие механическое или термическое поведение материала. С учетом гра­ ничных условий (которые, возможно, придется уточнить или до­ полнить) задача о движении среды, свойства которой заданы, ре­ шается чисто математическим путем. На практике из-за огромного множества состояний и ситуаций, которые могут представиться даже в том случае, если свойства среды полностью определены, и боль­ шого разнообразия задач, возникающих в физических и технических приложениях, в каждом разделе механики сплошных сред возникает большое количество задач, которые приходится решать либо ана­ литически, либо числовыми методами. Каждый из этих разделов имеет обширные области приложения (теория упругости, механика жидкостей, теория пластичности, вязкоупругости и т. п.), им по­ священы последующие главы данного курса.

Однако прежде чем приступить к изложению этих разделов, представляется необходимым подвести итог рассмотрению фунда­ ментальных понятий механики сплошных сред, построив решения некоторых элементарных и хорошо известных задач. Из этих реше­

из этих теорий, опишем несколько простых случаев, когда воз­ можно сравнение с экспериментом и определение (хотя бы в прин­ ципе) значений констант, фигурирующих в формулировках законов поведения.

Настоящая глава посвящена механике жидкостей. Сначала рас­ сматриваются задачи о равновесии и затем изучается различие между сжимаемыми и несжимаемыми жидкостями. В двух первых пара­ графах рассмотрены простые течения (стационарные и нестационар­ ные), что позволяет ощутить различие между вязкими жидкостями и идеальными—как предельный случай вязких. В последнем пара­ графе эти же течения изучаются в предположении, что жидкости — неньютоновские.

1Х.1. СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ

IX.1.1. Общие уравнения. Рассмотрим жидкость, находящуюся в покое относительно системы отсчета Э1\ на жидкость действуют заданные объемные силы f. Очевидно, что если 31 не являются галилеевой системой отсчета, то в f следует включить переносные силы инерции. Даламберовы силы инерции равны нулю, так как, по предположению, частицы покоятся относительно системы 31. По определению (VI.2.1), тензор напряжений шаровой и в любой точке (которую обозначим М) можно положить 2 = — р1, где ска­ лярная величина р задает давление жидкости в данной точке. Для внутренних точек жидкости уравнения запишутся в такой форме:

Из этих уравнений уже можно извлечь некоторые результаты. Жидкость может быть в равновесии только в том случае, когда

объемные силы потенциальны, т. е.

Давление р = — %(М) (с точностью до аддитивной постоянной), причем поверхности равного давления —изобары—являются поверх­ ностями уровня поля f{M ).

Если объемными силами можно пренебречь, то давление в жид­ кости постоянно.

Жидкость обычно занимает некоторый объем S, граница кото­ рого dS образована либо стенками сосуда, либо поверхностью раз­ дела с другой жидкостью. Типичный случай—жидкость в сосуде

,.. (рис. 1), граница dS здесь состоит из смо-