Курс механики сплошных сред

Доказательство нетрудно. Прежде всего из неравенства (28) следует, что вектор Л41* представляет собой в пространстве Ет вектор нормали, направленный вне области Д, граница которой дК

Еще более специальный, но очень важный случай, когда функ­ ция 3> (Y) является квадратичной формой, которую можно записать (принимая соглашение о суммировании по повторяющимся индексам):

нейной функцией от К, так как матрица С симметрична. Историче­ ски это один из первых законов, который часто называют законом

(дополнительным) термодинамики необратимых процессов. Свойство симметрии матрицы С постулировано Онзагером. Первоначально этот закон был получен методами статистической механики. Приведенные здесь принципы приводят к естественному обобщению на случай, когда дополнительные законы строятся на основе квазиоднородной диссипативной функции. В самом деле, они позволяют сформули­ ровать свойства сопряженности значения X и К, что представляет собой расширение упомянутого ранее принципа на новую область.

рому данному вектору Y в нормальном диссипативном механизме. Теперь поставим задачу: для заданного вектора X найти множество векторов К, одному из элементов которого поставлен в соответствие вектор X. В этом случае будем говорить, что такой вектор Y ассо­

циирован Х.тИспользуем снова область ср в пространстве Ет+1% определяемую неравенством г ^ ф (К). Для произвольного вектора X

плоскость области в любой точке, кроме начала координат, содержит образующую конуса. Таким образом, всем этим точкам

векторов К, ассоциированных соответствующему вектору Х у представ­

рывно вращающуюся касательную плоскость, а ¥ (А)—непрерывно дифференцируемая функция Х у равная нулю на границе ду и отри­ цательная внутри то

У= 0;

(44)

Х£д/р—►У = jxgrad ¥ у (х ^

Установленное таким образом соответствие между X и Уу оче­ видно, многозначно, тем не менее оно представляет собой предел соответствия в общем случае, когда Х~1Ь (к) — строго возрастающая функция. Полученные результаты будут использованы далее при изучении пластичности.

VI 1.3.5. Обобщения. Изучен достаточно полно нормальный дис­ сипативный механизм, для которого, используя две основные аксио­ мы— выпуклости и ортогональности, можно определить дополнитель­ ные законы через диссипативную функцию, которая может быть выра­ жена как через переменные Ya— £D(Ya), так и через переменные Ха—Й>*(Ха). Для приложений этот случай наиболее интересен. Тем

вания диссипативной функции, и отдадим предпочтение гипотезе (правда, более абстрактной) существования квазипотенциальной функции.

Итак, для любого диссипативного механизма существует неко­

Заметим, что такое определение не затрагивает основных свойств

или более общей линейной комбинацией функций ф(^ с постоян­ ными неотрицательными коэффициентами. Если Х { —вектор, соот­ ветствующий некоторому заданному вектору У через механизм ф(^ (К), то вектор

ассоциируется с У через у (У).

Обратим внимание на то, что двойственный псевдопотенциал Ф*(Л) не равен сумме двойственных псевдопотенциалов у{р)*(Х).

В общем случае не представляется возможным найти диссипативные функции @)(Y) или gfr* (X), которые зависели бы только от Y или только от АТ, т. е. были бы независимы от эволюции среды, вызванной внешними воздействиями или начальными условиями. Таким образом, рассмотренный здесь случай выходит за рамки гипотез, введенных в начале раздела VI 1.3.2.

В дальнейшем будем иметь дело с такими случаями, когда диссипативный механизм можно рассматривать как сумму двух (или нескольких) нормальных диссипативных механизмов, определяемых диссипативными функциями &>п) (У) и S)'2' (У). Тогда будет суще­ ствовать диссипативная функция Я) (У):

3>(У) = д>'"(У) + 3>"'(У).

Псевдопотенциал определяется, как и в (25), равенством

Очевидно, что формула (46) остается в силе.

Рассмотрим подробно еще один частный случай, важность кото­ рого видна из следующего определения.

Говорят, что два нормальных механизма @)1(У) и 3>%(У) не

Легко видеть, что в этом случае

ф* (Я )= Ф]* (Я )+ Ф (Я )

и что существует сопряженная диссипативная функция @>* (Я), для которой

£>• (X) = S>i(X) + S>; (Я).

VI 1.4. НЕЗАВИСИМОСТЬ ТЕРМИЧЕСКОЙ И ВНУТРЕННЕЙ ДИССИПАЦИИ. ЗАКОН ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

VII.4.1. Гипотезы независимости. Ограничимся случаями, в ко­ торых диссипативный механизм можно рассматривать как сумму нормальных механизмов, определяемых через соответствующие дис­ сипативные функции.

Между тем было показано, что среди переменных Ух, Уг, . . . , У,„ фигурируют, в частности, три компонента вектора q, которые обо­ значим так:

диссипации Ф на внутреннюю диссипацию Ф* и термическую дис­ сипацию Фг:

Будем говорить, что термическая и внутренняя диссипации не­ зависимы (в соответствии с данным выше определением), если имеет место равенство

в котором функции й), и @)2 называют соответственно внутренней диссипативной и термической диссипативной функциями, причем для любого процесса в системе

=ф * = £>2.

По предположению, @)2 — всегда квазиоднородная функция, a может представлять собой сумму нескольких квазиоднородных функций.

Таким образом, данная гипотеза позволяет рассматривать внут­ реннюю диссипацию независимо от термической. Изучим более подробно последнюю.

VII.4.2. Закон теплопроводности. Так называют дополнительный закон, вытекающий из существования функции S>2. Этот закон должен удовлетворять правилам, сформулированным выше для нор­

мальных механизмов, и, кроме того, как было уже отмечено, прин­ ципу независимости от выбора системы отсчета.

Начнем с очень важного частного случая, где эти требования выполняются. Предположим, что функция S>2 (q) (или <р2 (q)) зависит только от модуля q вектора q и что она непрерывно дифференци­ руема. В этом случае говорят, что теплопроводность изотропная. Тогда Q и q обязательно коллинеарны, и закон, о котором идет речь, может быть записан в виде

=* Q ■Я= f -1 grad Т\г= - ^ д л,

и функция <2), (У), очевидно, квазиоднородна.

Величину k называют коэффициентом теплопроводности. Обычно ограничиваются предположением о том, что k зависит лишь от тем­

показывает, что этот закон весьма удовлетворительно описывает

в уравненин (50) коэффициент k стремится к нулю.

Процесс называется изотермическим, если в любой момент вре­ мени температура всюду в изучаемой системе распределена равно­ мерно и равна заданной температуре Т0. В этом случае на перемен­ ные gt налагается ограничение g*=*0— обычно эти переменные слу­ жат для определения предыстории. Это ограничение играет роль

с помощью законов поведения. Этот случай можно рассматривать

как предельный, когда коэффициент k (50) бесконечно возрастает. Иными словами, предположение об изотермичности процесса рав­ носильно утверждению о том, что среда обладает идеальной тепло­ проводностью. В каждой отдельной задаче, относящейся к конкрет­ ной системе, неопределенность в отношении q исчезает, по крайней мере частично, в результате решения уравнений движения и, в част­ ности, уравнения сохранения энергии.

На практике редко встречаются случаи, когда процесс является строго адиабатным или строго изотермическим,—встречаются лишь

положении, что упомянутые выше условия выполнены точно. Такая

избрана, метод локального состояния полностью описывает поведе­ ние среды с помощью двух функций, обладающих свойствами вы­ пуклости: термодинамического потенциала, диссипативной функции или, в более общей форме, диссипативного псевдопотенциала.

Выбор переменных, описывающих предысторию, неоднозначен:

жат для формулировки дополнительных законов, которые могут быть записаны согласно приведенному выше общему методу (см. пример в VIII.5).

Подчеркнем, что общий метод позволяет лишь найти схему за­ писи законов поведения и оставляет, таким образом, широкое поле