Курс механики сплошных сред

* Несмотря Иа всю полезность формулировки принципов, которым должны удовлетворять законы поведения, в рамках данного курса они не могут быть из­ ложены во всей ИХ полноте.

ai P i j — PDkk<

откуда следует, что

ст; / = — л б,7 , 2 = — р\.

Таким образом, тензор напряжений определяется с точностью до гидростати­ ческого давления.

Следует четко уяснить, что такая неопределенность в отношении тензора 2 предполагает формулирование закона поведения для окрестности данной частицы.

системы S (см. 1.4.1), и эти силы являются внутренними для системы. В случае дви­ жущейся несжимаемой жидкости давление р определяется, как правило, с точно­

в отсчетной конфигурации от частицы.

Ниже, если только не будет оговорено обратное, все изучаемые среды счита­

становится функционалом §.

Говорят, что среда является изотропной относительно исходной конфигурации, если функционал, определяющий 2, не меняется при переходе от одного репера к другому (7).

Таковы принципы, которым должны удовлетворять законы по­ ведения, рассматриваемые далее и, возможно, используемые далее общие определения.

VI.2. ЖИДКОСТИ

Здесь не стоит задача дать самое общее определение жидкой среды — ограничимся лишь классическими или ньютоновскими, жид­ костями, законы поведения которых будут подробно рассмотрены

в V 1.2.2. Сначала дадим общую формулировку закона поведения одного весьма широкого класса жидкостей, которые называются собственно жидкостями *.

VI.2.1. Жидкости. Так называют простые среды, о которых образно можно сказать, что «их память бесконечно коротка». Это означает, что в формуле (6), например, функционал %зависит только от значений Ф(Ь, t — s) в интервале 0 < s ^ e , где е—сколь угодно малое число. Иными словами, тензор напряжений зависит фактически только от непосредственно близкого прошлого. Сформулируем более строго и более конкретно.

Определение. Жидкостью называется среда, закон поведения ко-

Очевидно, что закон (8) удовлетворяет принципу причинности и

2* = Р2Рт, D* = PDPT

С другой стороны, в соответствии с указанным принципом должны иметь место соотношения

2* = /( (D*), 2 = /((D),

где /( — функция из уравнения (8), которая должна удовлетворять тождеству РК (D) Рт = К (PDPT) какова бы ни была матрица Р в любой фиксированный момент/. Иным словами, функция /((D) — изотропная функция симметричной матрицы D. В соответствии с из­ вестной теоремой, приведенной в П1.4.5, формула (8) обязательно должна иметь следующий частный вид:

2 = tf„(D„ D,„ Du|) I + K A D U Dn, Dlu)D + K2(Dt, Du, Dm)D\ (10)

где Dj, Du, Dlu—элементарные инварианты тензора D, a Klt Кг, K3—

их скалярные функции.

Этот вывод очевиден, он отражает тот факт, что тензор 2 —объ­ ективная функция Тензора D.

* Для краткости зтот класс сред в V.2.1 называют жидкостями.— Прим. ред.

Теорема 1. В любом репере закон поведения жидкости дается

в общем случае удобнее изучать в эйлеровых переменных.

Если, как это обычно предполагается, среда однородна, то функ­ ции Ко, К» К2 не зависят от частицы, т. е. от переменной х. Если среда неоднородна, то такая зависимость может иметь место. И на­ конец, если имеем дело с несжимаемой жидкостью, то можно при­ менить результат, приведенный в VI.1.4. Так как, кроме того, первый

где p —неизвестное (скаляр) давление.

Заметим, что при ограничениях, применяемых в данной главе, для сжимаемых жидкостей функции К в формуле (10) зависят (если не считать уже перечислен­ ных аргументов) только от плотности р частицы. Но с физической точки зрения изменение р влечет изменение температур, которое в очень частных случаях не окажет никакого влияния на закон поведения. Кроме этих частных случаев, все установленные здесь законы применимы в основном ко всем несжимаемым жидко­ стям.

трица скорости вращения, не может быть использован. Такой закон удовлетворяет принципам причинности и пространственной локали­ зации, но не удовлетворяет принципу независимости от системы отсчета.

Проще всего это можно доказать, если обратить внимание, что при изучении движения в другом репере Э1* с сохранением записи

* Так называют обычно движения жидких сред.

Этот закон может быть записан в более удобной форме, если обратиться к матрице дилатации С (V,18) или к матрице Грина — Лагранжа L (V.26):

Функции Ж и Ж (как и функция $) —характеристические функ­ ции среды, значения и аргументы которых —симметричные матрицы.

Значение такого вывода заключается в следующем. Если известно значение $, когда аргумент—симметричная матрица, то становятся известными и значения $ для любой невырожденной матрицы F = RW:

Доказательство не представляет труда. Рассмотрим в фиксирован­ ный момент времени R * такую систему отсчета R*, в которой матрица

так как 5 и -тензоры в векторном пространстве, соответствующие данной частице в исходной конфигурации, которые не меняются при переходе от одной системы координат к другой (чего нельзя сказать об F, R, 2). Согласно фор­ муле (V.81)

I= /- iR W g (W ) WRT,

итак как / = det(W ), приходим к формуле типа (18).

VI.3.2. Изотропные упругие среды. В соответствии с VI. 1.6 для среды, изотропной относительно исходной конфигурации (в нашем случае—естественного состояния), имеет место равенство

5 Кв 1473

в котором F —матрица-градиент в новой системе координат аа, задаваемой формулой (7). С другой стороны, в силу (V,15) имеет

место равенство F = FAT, где А— ортогональная матрица, следова­ тельно, для любой ортогональной матрицы А должно выполняться новое функциональное тождество

AS (W) АТ = » (AW) = S (AWAT),

так что S(V) — изотропная функция от V. Кроме того, Va*=£ (V,25) и 2Е = 1 — В" 1 [(V,28) и (V,29)], где Е— матрица тензора Альманси — Эйлера. Теперь можно сформулировать теорему.

Теорема. Закон поведения упругой среды, изотропной относи­

где S, SK и k —некоторые изотропные функции симметричных матриц. Можно, например, написать следующее выражение закона поведения через тензор деформаций Альманси —Эйлера:

S = fe0(£’h £ п, £щ) 1 + (Еь Е1Ь Eul) Е-\- k2(£,, Е п, ЕШ)Е а, (26)

где kp= (р = 0, 1 , 2) —некоторые скалярные функции трех скалярных переменных £,, Е и и Еш—элементарных инвариантов тензора Е.

Заметим, что для упругой изотропной среды характерен тот факт, что законы поведения оперируют с тензорами, определенными в касательном векторном про­ странстве частицы в момент t.

VI.3.3. Классическая теория упругости. Гипотезы теории упру­ гости хорошо согласуются с поведением металлических элементов конструкций под нагрузкой. Это и понятно, ибо в повседневной практике металлические конструкции испытывают небольшие дефор­ мации. Представляется целесообразным использовать этот факт для некоторых упрощений, вполне допустимых для приложений, кото­ рые будем изучать. Такие задачи стоят перед классической теорией упругости.

Таким образом, классическая теория упругости представляет собой теорию упругих сред, линеаризованную около естественного состояния в смысле определений V.45. Кроме того, предполагается, что среда однородна и изотропна относительно своего естественного состояния, а это последнее, в свою очередь, свободно от напряже­

н о