Курс механики сплошных сред

т. е. согласно уравнению (31)

Эта мощность пропорциональна коэффициенту вязкости и квад­ рату разности скоростей вращения и обратно пропорциональна раз­ ности обратных квадратов радиусов. Если, например, Q&=Q a, ^ = 0 , fi(r) = Qa = Qft, то жидкость вращается совместно с цилиндрами как жесткое тело.

течениях. Рассмотренные элементарные примеры дают возможность сделать первый важный вывод. Чтобы вязкая жидкость продолжала оставаться в стационарном режиме, необходим подвод определенной внешней энергии, компенсирующей энергию, затрачиваемую на не­

рами). Второй —при неподвижных стенках (течение в трубе) необ­ ходимо создавать перепад давления по всей трубе (например, с по­ мощью насосов). Без подвода энергии вязкая диссипация ведет, очевидно, к уменьшению скоростей и, в конечном счете, к оста­ новке течения.

Идеальная жидкость в этом отношении ведет себя совершенно иначе. Если вернуться к примеру течения в трубе (IX.2.3), то легко видеть, что течение, задаваемое уравнением (23), удовлетво­

тельное скольжение стенок сосуда не оказывает никакого влияния на течение. Это является следствием и новым доказательством того, что отдельные струи не оказывают друг на друга никакого влияния. Однажды начавшись, течение будет продолжаться бесконечно без внешнего вмешательства. То же можно сказать и о течении внутри двух цилиндров (IX.2.4). Скорость вращения Й(г) может быть вы­ брана произвольно, и давление определяется тогда первым уравне­ нием (28). Это различие между течениями вязкой и идеальной жидкости (или газами) необходимо хорошо усвоить.

Чтобы подкрепить примерами сделанные выше замечания, рас­ смотрим неустановившиеся течения, в которых проявляются вязкая диссипация и вязкие диффузионные эффекты. Ограничимся тече­ ниями с параллельными траекториями при постоянном давлении.

IX.3.1. Предварительные замечания об уравнении теплопровод­ ности. Рассмотрим течение, задаваемое полем скоростей:

Уравнение неразрывности (17), очевидно, выполнено. Так как давление постоянно, то нетождественным будет лишь первое из уравнений (18), которое дает

где v—коэффициент, называемый кинематическим коэффициентом вязкости, равный

Название кинематический связано с тем, что размерность коэф­ фициента L2T~l равна квадрату единицы длины, деленному на время, и не содержит единицы массы.

Для реализации таких течений достаточно знать решения урав­ нения (33) (уравнения теплопроводности, описывающего теплопере­ дачу плоскопараллельными слоями). Отсюда следует, что процесс диффузии вязких эффектов аналогичен процессу распространения теплоты. Найдем решения (33) для / > 0, удовлетворяющие неко­ торым заданным частным начальным условиям при <= 0.

Уравнение (33) инвариантно относительно группы аффинных

решение этого уравнения, что очевидно.

Найдем среди решений уравнения (33) инвариантные относительно

(33), если

откуда после интегрирования имеем

и => / (0) = А + В J о exp (— s2) ds,

где А и В —две константы.

Применение найденного решения может быть различным, но, очевидно, это будут только частные случаи. Из решения (38) сле­ дует, что А и В имеют размерность скорости, и, таким образом, можно использовать решение (38) только в задачах, где задаются одни лишь скорости. В частности, стенки сосудов и труб не могут иметь никаких характерных длин, именно поэтому решение (38) будет применено лишь в задачах, где граничными поверхностями будут плоскости, параллельные плоскости лг8 = 0.

будет решением уравнения (33). Если t стремится к нулю со стороны положи­ тельных значений, то v (*3, t) равномерно стремится к нулю в любом замкнутом интервале оси Оха> который не содержит начало координат (экспонента стремится

к нулю быстрее, нежели t1^2 ). С другой стороны, для любого / > О

ф(^)=S- 00 ^ (ЛГЗ’ 0 ^ 3 = 5 ^ .

с постоянной скоростью V вдоль оси хг

Легко проверить, что соответствующим подбором постоянных А и В можно найти решение уравнения (38), при котором выполня­ лись бы все условия данной задачи. Заметим прежде всего, что при фиксированном ха величина 0 стремится к бесконечности, если t

стремится к нулю со стороны положительных значений. Так как имеет место равенство

2 5 " e - s,ds = Krjt)

то функция, определяемая формулой (38), стремится к (Л + 1/2В^л). Кроме того, при фиксированном t и х3—-0 0 —<-0, а и —* А. Усло­ вия прилипания и начальные условия выполняются, если принять

A = V, В V n * * — 2V,

т. е.

,з9>

Из этого результата следуют важные выводы.

1°. В фиксированный момент / > 0 и—убывающая функция пере­ менной х,, на бесконечности стремящаяся к нулю. Для любых сколь угодно малых значений t скорость любой частицы жидкости отли­ чается от нуля, т. е. благодаря наличию вязкости движение стенки

отличные от нуля. Рассмотрим течения, определяемые формулой (39) при убывающих до нуля значениях v. Значения 0 тогда бесконечно растут, вследствие чего и стремится к нулю. При таком предельном переходе в любой фиксированной точке с координатной х3 Ф 0 тече­ ние приближается к течению идеальной жидкости, когда v = 0. В самом деле, равновесие идеальной жидкости не нарушается дви­

происходит неравномерно.

Здесь впервые встретилось очень важное свойство, присущее

Рис. 7. Жидкость приводится в движение движущейся плоской стенкой.

Профиль скоростей для двух различных значений V/ (а); произведение vt

очень мало (б)

заключения: при фиксированном значении^/ и стремлении v к нулю

толщина слоя б стремится к нулю как j/*v (рис. 7).

IX.3.3. Торможение равномерного течения неподвижным препят­

чальные, так и граничные условия выполняются.

Впрочем, наблюдаемое течение совпадает с рассмотренным выше течением, но изучается оно в системе отсчета, движущейся прямо­ линейно и равномерно относительно ранее использованной системы ZA со скоростью — V параллельно оси xv Таким образом, нет надобности рассматривать более подробно свойства данного течения, которые могут быть получены из предыдущих выводов (рис. 8). Заметим лишь, что вдали от стенки течение остается практически равномер­ ным. При малом v толщина пограничного слоя 6, вне которого

течение практически равномерно, имеет порядок Vvx/V, где*—рас­ стояние, пройденное с момента / = 0 достаточно удаленной от пло­ скости частицей, продолжающей двигаться с прежней скоростью V. При тех же условиях касательное напряжение, создаваемое жид­ костью на плоскости:

атаки). Коэффициент'трения имеет вид

чем, подтверждается результатами строгих исследований пограничного слоя. Ока зывается, что для плоскости с= 0,664.

IX.3.4. Диффузия через контактную поверхность. Рассмотрим движение двух жидкостей, занимающих области х3> 0 и х3< 0 и разделенных поверхностью контакта х3 = 0. Пусть р и р '— коэффи­ циенты вязкости, а р и р'— соответствующие плотности.

В момент £ = 0 жидкости находятся в равномерном и прямоли­ нейном движении:

Применим результаты, полученные в IX.3.1, для изучения во­ проса о том, каким будет последующее течение, предполагая, что при любом t давление остается постоянным. Заметим, что это пред­ положение совместимо с существованием контактной поверхности.

Найдем для t > 0 в областях х3> 0 и х3< 0 течение, описываемое формулой (38):

и = А + В j% x p (— s2)ds, *3 = 0, 0 = р Д = , v = ^-;

и = А' + В’ ехр (— s2)ds, х3 = 0, Ъ = у = = , v ' = - ^ - .

При t —>-0 должны выполняться начальные условия (43). Имеем, следовательно,

Далее, при t > 0 должно выполняться условие непрерывности скорости и касательного напряжения на поверхности контакта (нормальное напряжение непрерывно в силу предположения о по­ стоянстве давления):

Следует заметить, что в изучаемых вискозиметрических течениях

стые функции одной переменной—вискозиметрические функции

Матрицы D и D2 здесь таковы:

т (k) = \ik + Q(k).

Здесь |ы— константа, называемая коэффициентом вязкости жидко­ сти при нулевой скорости сдвига, а 0 (k)— бесконечно малая вели­ чина относительно k (порядок малости больше единицы).

Из очевидных соображений значение производной т' (k) при про­ извольном, но фиксированном k называют локальным коэффициентом вязкости.

Функцию, обратную функции S = T (£), будем обозначать k = X{S)9