Курс механики сплошных сред
..pdfВ базисе 3L это может |
быть |
записано следующим образом: |
|||||
|
|
|
F = RW = VR. |
|
(24) |
||
Напомним, что W и V—две |
известные симметричные положи |
||||||
тельные |
матрицы, R — ортогональная матрица |
и, кроме того, соглас |
|||||
но (6) и |
(24) det (R) = 1. |
|
|
|
|
|
|
Формула (24) дает два полярных разложения матрицы F. |
такого |
||||||
Приведенное |
рассуждение |
обнаруживает |
существование |
||||
разложения и, более того, |
его |
единственность |
в том случае, |
когда |
|||
тензор С имеет |
различные |
собственные значения. |
|
||||
Этот вопрос можно поставить прямо. Если существует некоторая ортогональ ная матрица R и заданная положительная симметричная матрица W, такая, что F = RW (F не вырождена), тогда
|
С = FT F = WRT R W = W2. |
|
|
|
|
|
Следовательно, W будет матрицей тензора IV, для которого |
ИР = С. Любой |
|||||
главный базис тензора W является также главным базисом |
С и собственные зна |
|||||
чения С (положительные) |
суть |
квадраты собственных значений IV. Так |
как эти |
|||
последние— положительны |
(w , |
по определению, положительно определен), |
то они |
|||
определяются однозначно. |
|
|
|
|
|
|
Тензор IV и матрица |
W, если только они существуют, |
определяются |
одноз |
|||
начно. Но тогда матрица R (если она существует) равна FW -1 и, таким образом, |
||||||
определяется также однозначно. Это утверждение будет доказано, |
если |
R — орто |
||||
гональна. С другой стороны, имеют место следующие равенства: |
|
|
|
|||
(F W -1) (F W -1)T = |
FW ~lW - 1FT = FC- 1 FT = F F -1 (FT) - i FT = |
1, |
|
|||
к тому же |
|
|
|
|
|
|
(F W -i)T (FW -1 ) = |
W - l FT F W -1= W _1C W -1 = W - 1WaW _ l = |
l 1 |
|
|||
откуда и следует справедливость высказанного утверждения.
6°. Из (24) можно получить транспонированием FT = WRT = RTV,
и так как R —ортогональная матрица, то
FTF = W2 = С, FFT = V2 = В. |
(25) |
Выражать компоненты W и V по формулам (1) неудобно. Ком поненты С и В, напротив, легко выразить через частные производные F/a, как это следует из (17), и из формулы, полученной на осно вании уравнений (25):
&ij — F ia.Fja-
Тензоры W и V иногда называют (из очевидных соображений) соответственно левым и правым тензорами чистой деформации.
V.2 . ТЕНЗОРЫ ДЕФОРМАЦИИ
V.2.I. Тензор деформаций Грина — Лагранжа. Определение. Тен зор деформаций Грина—Лагранжа L (М, t) частицы М с мо мента V до момента t определяется в пространстве Т' равенством
2L(M, t \ /) = С(М, |
/ ) - / . |
(26) |
Такое |
определение |
основано |
на |
том, |
что когда |
преобразование |
||||||
$~(М, V , t) соответствует |
перемещению |
абсолютно твердого |
тела, |
|||||||||
\(и') = 1 |
для любого единичного вектора |
и' из Т \ |
а |
С= I и L = 0. |
||||||||
Тензор L имеет те же главные базисы, что и тензор С. |
|
|
||||||||||
V.2.2. |
Тензор |
деформаций |
Альманси — Эйлера. |
Определение. |
||||||||
Тензор деформаций |
Альманси— Эйлера Е{М , |
t) частицы |
М от |
|||||||||
момента V до момента t |
определяется в пространстве Т равенством |
|||||||||||
|
|
Е(М, |
t \ t) = L(M , |
t, V). |
|
|
|
(27) |
||||
Обозначив G(M, |
t \ |
t) |
матрицу, |
обратную F (M, |
t \ |
t)y имеем ра |
||||||
венство |
С(М, |
t, |
t') = GT (М, |
t \ t)G(M, |
t \ |
o; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||||
и, следовательно (опуская |
для |
краткости |
переменные М у V , /), |
|
||||||||
|
|
|
|
2Е = |
1- |
GTQ. |
|
|
|
|
(28) |
|
Переходя к обратным величинам в (24), можем написать |
|
|
||||||||||
тогда |
|
|
G = W -ART = RTV -\ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
GTG = V -2 = B -\ |
|
|
|
(29) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тензор |
Е [который, |
очевидно, |
равен |
нулю, |
когда |
ST (М, |
V, |
t) |
||||
соответствует перемещению абсолютно твердого |
тела] |
имеет |
те |
же |
||||||||
главные базисы, что |
и симметричные тензоры В и V |
|
||
V.2.3. Деформации относительно одной особой конфигурации. |
||||
Иногда полезно, как |
это видно в 1.1.3, индивидуализировать |
частицы |
||
М с помощью их координат аа в некоторой |
особой |
конфигурации |
||
S0, соответствующей |
моменту времени / = 0 |
или (в |
общем |
случае) |
конфигурации Sa. Введенные выше обозначения остаются в этом случае справедливыми, но представляется возможным внести упрощения в
записи, опустив переменную t'. Если соответствие Sa —*St задается формулами
х = ф (a, t), а = Чг(х, /),
в которых Ф и ¥ обозначают пару взаимно обратных функций, то элементы матриц F и G будут таковы:
р . |
— ф . |
= дву |
Gai |
a, i |
dja |
г ,а |
V,,а |
да |
dxi • |
Отсюда сразу же следуют [с учетом формул (26), (18) и (28)] выражения для компонентов тензоров деформаций L (М, t) и Е (М, t):
2£а0 = Ф,-, а Ф|, р — ^ар, 2 £ |7 = 6,7 - ¥ а ,, .¥ Р л . |
(30) |
V.3. ДРУГОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ
Новое определение следует из теоремы.
Теорема. Пусть L (х, t, т) — матрица тензора деформаций Грина — Лагранжа частицы, в момент t находящейся в точке х, от момента
t до т в системе отсчета 91\ тогда имеем |
|
|
|
|||
|
D(x, |
0 = ^{L (x, t, |
t)\ = lim - ^ jL |
(x, t, T ), |
|
|
где D (x, |
/) —матрица скоростей |
деформаций частицы М в момент Л |
||||
Подчеркнем, |
что L зависит от пяти независимых скалярных |
пе |
||||
ременных |
т', |
т и что частная производная |
берется по |
перемен |
||
ной т. |
|
|
|
|
нулевым, |
|
Смысл этой теоремы ясен: тензор L(x, t , t) является |
||||||
что и объясняет |
последнее из |
равенств (31). |
Следовательно, |
(31) |
||
полностью подтверждает название, данное тензору D.
Для доказательства теоремы напомним [см. формулу (1.13)], что
составляющая |
U( вектора |
скорости |
в 91 дается выражением |
|||||
|
|
и, |
(71, |
0 = ^ ( Х . t, |
О- |
|
|
|
Отсюда |
следует [в силу (3)]: |
|
|
|
|
|||
|
|
dUj |
|
|
|
|
|
|
|
|
dxj |
|
|
|
|
|
|
что дает |
новое выражение |
для тензора |
grad U. Но согласно (26), |
|||||
(18) и (10), имеют место |
следующие равенства: |
|
|
|||||
§ f(x. |
* ) = 4 l f ( x- |
0 = 4 |
( F T (X, /, |
и |
0 + |
|||
+ 5 f(x* |
')F (x , 1> |
|
|
U 0 + ^ |
( х. *, |
О )- |
||
Откуда |
|
dLU _ 1 (dUi |
дил |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
дх ~~ 2 |
\ dxj |
ад:,- ) ~ UV' |
|
|
||
что и требовалось доказать.
Можно рассуждать по-другому. Дифференцируя равенство F = RW по пере менной т, получаем
|
|
^ { F ( x , I, |
0} = |
^ { W (x , t, /)} = |
£ { R (x. /. |
0». |
||||
так |
как W (х, |
/, |
/) = R (x, |
/, /) = 1 . |
Левая |
часть — градиент-матрица поля скоро |
||||
стей; правая часть представляет собой разложение |
ее на симметричную и антисим |
|||||||||
метричную составляющие. В самом деле, первый член правой |
части — симметрич |
|||||||||
ная |
матрица, |
а второй — антисимметричная, |
что видно из дифференцирования ра |
|||||||
венства R R ^ = 1 |
по последней |
переменной. |
Тогда |
|
|
|||||
|
|
dLit |
I |
дСи |
|
|
dW(j |
|
||
|
|
ТЯГ (х* |
|
"Эт” **' |
t%^ |
^Х’ ** |
|
|||
|
|
|
|
|
dRjj |
(х, |
t%t)=Qij. |
|
(32) |
|
|
|
|
|
|
дт |
|
|
|||
V.4. МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
V.4.I. Упрощение полученных формул для случаев малых воз мущений. Во многих задачах механики сплошных сред матрица-
юз
градиент F(7W, t \ t) мало отличается от единичной. Положим
F (Л*, f , |
0 = l + h ( A f e |
t) |
||
и зададим норму ||h|| элементов |
в точке Mf по формуле |
|||
|
||hp = tr{hhT}, |
(34) |
||
где tr {hhT} —след или |
первый |
инвариант |
симметричной матрицы |
|
hhT или, иначе, сумма квадратов элементов |
h. Если при любых I и |
|||
М в системе S норма |
||h|| всегда меньше некоторого числа т], малого |
|||
по сравнению с единицей, то |
принято говорить, что деформация |
|||
системы изучается в рамках гипотезы малых возмущений (Г М. В.), если условиться отбрасывать в формулах члены порядка 0 (rj2).
Смысл такого упрощения будет выявлен ниже. Здесь же огра ничимся систематическим изучением следствий, касающихся введен
ных |
выше понятий. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10), |
преобразо |
|||
Установленные выше групповые свойства (9) и |
|||||||||||||||
вания F приводят, в рамках принятой |
гипотезы, к |
групповым адди |
|||||||||||||
тивным свойствам |
преобразования |
|
(если |
заменить |
F на |
1 + h , пре |
|||||||||
небрегая произведениями |
двух матриц h): |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
h(f, 0 = |
0, |
h (Г, |
t) = - h |
(t, |
Г), |
|
|
(35) |
||||
|
|
|
h (Г, |
t) = h (t\ |
0 |
+ h ( /\ |
t). |
|
|
|
|||||
Выделим симметричную |
и антисимметричную |
составляющие h: |
|||||||||||||
|
|
|
е = 1 |
(h + hT), |
Ф = 1 |
(h -h T ). |
|
|
(36) |
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С (Г, |
f) = F T (f't t)F(t\ |
t) = (l+ h T )(l+ h ) |
|
|
|||||||||
и, следовательно, |
в рамках Г.М. В. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
С (/', 0 = 1 + h T (/', t) + h(t\ |
t) = \+2 e(t 'y t). |
(37) |
|||||||||||
Тогда |
из уравнений |
(26), |
(27) |
и (35) |
следует, что |
|
|
||||||||
|
|
L (М, t \ |
t) = e(M, |
t \ |
t) = E(M, t \ |
t). |
|
(38) |
|||||||
При использовании Г.М. В. матрицы, задающие тензоры Грина^ |
|||||||||||||||
Лагранжа |
и Альманси—Эйлера, равны |
матрице е. Эта |
матрица на> |
||||||||||||
зывается матрицей малых деформаций. Тензор, задаваемый |
матрц* |
||||||||||||||
цей е в базисе 5$, есть тензор малых деформаций. |
|
|
|
||||||||||||
Групповые свойства (35) в приложении |
к г показывают, что есдц |
||||||||||||||
известна |
матрица е для какого-либо |
частного преобразования |
(напри, |
||||||||||||
мер, |
П(0, |
/), то она известна для любого |
преобразования |
П(Г, t). |
|||||||||||
Если |
условимся писать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
е = |
(УИ, 0, |
t) = z(M, |
t), |
|
|
|
|
|||||
то будем |
иметь, |
например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
&— (М, |
t \ |
0 = e(M, |
|
|
|
V). |
|
(39) |
|||||
записано |
в виде |
V = V , + q>AV' + b(V'). |
|
|
(45) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Последняя формула выгодна с точки зрения Г.М.В., так как |
||||||||||||
порядок |
компонентов вектора |
ср и матрицы |
е в этом случае равен |
|||||||||
0 ( т |) , |
и, |
как |
уже |
отмечалось в V.4.1, |
в рамках Г.М.В. |
членами |
||||||
порядка |
0 (т ]2) |
следует пренебрегать. |
Выпишем |
формулу |
(45) |
для |
||||||
векторов |
V |
и |
W' |
и составим скалярное произведение V W левых |
||||||||
частей |
равенств. В |
правых частях появляются два смешанных |
про |
|||||||||
изведения, сумма которых равна нулю, |
и билинейная форма *, со |
|||||||||||
ответствующая |
тензору деформаций |
(Г.М.В) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
33 (V", |
W') = e/yl / ^ . |
|
|
|
(46) |
||
Итак, |
имеем строгое равенство |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
V W = V ' |
W ' + % ( V \ |
W'). |
|
|
(47) |
||
В |
случае |
когда |
33 = 0, т. е. е/у = 0, |
касательное линейное |
пре |
|||||||
образование |
будет |
изометрией, |
что полностью |
соответствует назва |
||||||||
нию, данному тензору деформаций и вектору вращения ф (в рамках Г. М. В.), определяемому по формуле (45).
Если принять векторы V и W' равными единичному вектору и то уравнение (47) позволяет интерпретировать квадратичную форму
Q(tf') = 33(tf', |
и') |
как |
единичное удлинение Q(u') = 8(u') в направ |
||||
лении и' (см. рис. 1). |
|
|
|
6 как |
|||
В самом деле, |
согласно Г.М.В. 1+ 26 = (1 + 6 )а, a J i= l + |
||||||
раз есть длина преобразованного единичного вектора и' |
|
||||||
Таким образом, |
имеем |
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
|
|
(48) |
В частности, величина еп равна относительному удлинению в на |
|||||||
правлении хг. |
|
V |
и W' равными соответственно двум ортогональ |
||||
Если принять |
|||||||
ным единичным |
векторам с/ и w> и обозначить |
угол между |
преоб |
||||
разованными |
векторами через у — 0, то |
в силу |
того, что 0 |
имеет |
|||
порядок 0 (г|), |
можно |
написать |
|
|
|
||
|
у 0 = |
33 ( v \ w') = ziJv'iw'j |
(v'{w'i= 0). |
(49) |
|||
Согласно (20) величина 233 (у', W') равна изменению угла между |
|||||||
двумя первоначально |
ортогональными направлениями v' и w' В част |
||||||
ности, е12 равно половине изменения угла между первыми двумя ортогональными осями. Очевидно, что квадратичная Q(a) и били нейная 233 (v , w) формы, соответствующие тензору D скоростей деформаций, равны соответственно скорости относительного удлине ния в направлении и и скорости сдвига между ортогональными на правлениями v и w. Эта терминология основана на результатах раздела V.3.
* Связь между билинейной формой и симметричным тензором рассмотрена
в II 1.2.2:
Замечание. Само собой разумеется, что все |
определения |
применимы в слу |
||||||||
чае, если конфигурация системы сравнивается |
с некоторой |
особой |
конфигура |
|||||||
цией S0 (в момент |
t = 0) или даже с некоторой |
абстрактной |
конфигурацией Sa |
|||||||
(тогда эта последняя должна быть также определена в 5£). |
|
|
|
|||||||
Предоставляем |
читателю возможность |
самому установить свойство аддитив |
||||||||
ности (39), |
а также |
аналогичное |
свойство |
для вращения ср. Для этого |
достаточно |
|||||
сделать замены в уравнении (45) |
с учетом |
того, |
что |
компоненты ф/ и е,у |
имеют |
|||||
порядок 0 (т|), а членами порядка 0(ц2) можно пренебречь. |
|
|
|
|||||||
V.4.3. Некоторые определения. Для тензоров |
или |
е,у могут |
||||||||
быть применены |
те |
же рассуждения, что |
и для тензора о |
в |
II 1.2 |
|||||
и II 1.3. |
Достаточно |
просто |
воспользоваться |
соответствующей |
тер |
|||||
минологией. |
значения е,у, обозначаемые |
г19 е2, |
е3, равны |
глав |
||||||
Собственные |
||||||||||
ным относительным удлинениям. Три элементарных инварианта да
ются следующими |
формулами: |
|
|
|
|
|
ei = |
елл> |
|
|
| |
|
еП= |
"2 (8“ 8// |
8i/8//)» |
(50) |
|
Полагаем |
e,„ = |
det(ef/). |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е, = |
3е. |
|
(51) |
где е, —объемное |
расширение в |
М. |
Такое |
название согласуется |
|
с введенным выше: первый инвариант тензора D D\ = Dkk = Uk>k = div (J
является скоростью объемного расширения в точке М в соответствии с определениями в параграфе 11.10.
Тензор е£у может быть канонически разложен на шаровую часть
и девиатор |
|
е = е5 + е^, |
|
или |
|
e// = efi,7 + <V |
(52) |
Если eD = 0, то говорят, что е—тензор равномерного |
расшире |
ния; относительные удлинения равны, квадрика деформаций (опре
деляемая, |
как |
в |
Ш.2.1) — сфера |
(рис. 3, а). |
|
||||
Если |
|
е— главное |
на |
|
|
|
|||
правление, |
а |
соответству |
|
|
|
||||
ющее |
ему |
главное значе |
|
|
|
||||
ние |
является |
единствен |
|
|
|
||||
ным |
ненулевым |
главным |
|
|
|
||||
значением, |
то |
принято го |
|
|
|
||||
ворить, |
что е |
определяет |
|
|
|
||||
простое |
растяжение |
в на |
|
|
|
||||
правлении |
и |
(рис. |
3,6). |
Рис. |
3. Деформация элементарного |
квадрата: |
|||
(Можно также сказать, что |
а - однородное расширение; б-чистое |
расширение |
|||||||
тензор |
е |
является |
одно |
в направлении /; e-чистый сдвиг в ортогональных |
|||||
|
направлениях / и 2 |
|
|||||||
осным с осью и.) Длины элементарных векторов, перпенди кулярных направлению и , не меняются. Само собой разумеется, что термин растяжение (или расширение) должен пониматься в широком (алгебраическом) смысле. Если скорость главного ненулевого удли нения отрицательна, то растяжение на обиходном языке будет оз начать сжатие.
Говорят, что тензор е определяет простой сдвиг двух ортого нальных направлений кг и ft2 (оба вектора единичные), если все элементы выписанной в ортогональном базисе ft,, ft2, ft3 матрицы деформаций е,.у равны нулю, кроме двух —е12 = е21 (рис. 3,в). Необ ходимым и достаточным признаком того, что тензор е— тензор про стого сдвига в точке УИ, является равенство нулю одного из глав ных удлинений и равенство нулю суммы двух других главных удли нений.
Если одно из главных относительных удлинений тензора равно нулю, то тензор е называют тензором плоских деформаций. Пло скость деформаций задается двумя главными направлениями, соот ветствующими двум ненулевым главным значениям. Длины элемен тарных векторов, перпендикулярных плоскости деформаций, оста ются без изменений.
V.4.4. Уравнения совместности. Несмотря на то что выкладки будут относиться только к тензору скоростей деформаций D(M, t)% они могут быть применены и к тензору деформации е(УИ, t) (при соответствующей терминологии и обозначениях).
В каждый фиксированный момент времени скорости деформаций системы S определяются полем тензора D,-y(x). Зададимся шестью произвольными скалярными функциями D/y(x) и выясним, могут ли они быть компонентами поля скоростей деформаций. Совершенно
очевидно, |
что нет, |
так как из формул |
(IV, 17) |
|
|
|
|
^/у= |
2'(^/.у + |
^у./) |
(53) |
следует, |
что нужно |
найти три |
функции Uh удовлетворяющие шести |
||
уравнениям в частных производных (53). Последнее возможно только при выполнении некоторых условий, накладываемых на заданные в левых частях равенств функции. Соотношения, связывающие между собой эти условия, и являются уравнениями совместности, которые необходимо рассмотреть.
Рассмотрим сначала вопрос о единственности решения. Согласно теореме, приведенной в IV.2.2, если существуют два поля скоростей,
являющихся решением системы (53), то их разность —поле движения некоторого абсолютно твердого тела или, другими словами, поле
торсора скоростей. Если решение существует, то, |
следовательно, |
оно должно зависеть от шести скалярных постоянных |
величин. Этот |
вывод очевиден, так как наложение движения абсолютно твердого тела не влияет на деформацию.
Зная Djy, найдем теперь U |
Прежде всего нужно рассчитать Я у |
Из формулы (IV, 19) известны |
все производные от Я,у. Для выпол- |
нения расчета необходимо и достаточно, чтобы величина
(A /,/ |
Djlti) dxi |
|
или, что одно и то же, |
|
|
^kpqDpitqdXi |
(55) |
|
была полным дифференциалом. Известно, что величина |
At dxt будет |
|
полным дифференциалом тогда |
и только тогда, когда |
A£tm = Amtlf |
что может быть |
также записано в виде erstAst = 0. Переписывая |
(54) |
|
и (55) с учетом |
двух последних |
равенств, получаем |
|
|
+ А//я, и |
А/*. /от Аот. JI — |
(56) |
|
brstZkpqDpS'qt — Q- |
(57) |
|
Системы соотношений (56) и (57) эквивалентны. Формула (57) указывает, что каждая из систем состоит из шести независимых уравнений, так как левая часть —симметричная по индексам г и k матрица Mrk в силу симметрии DpStQi относительно двух пар ин дексов р, s и q9 t. Формула (56) дает возможность легко написать эти шесть уравнений. Связь двух формул [(56) и (57)] становится очевидной, если записать (56) в виде
^ k i j ^ r i n f i r s f i k p q D p s i q t = 0 * |
(5 8 ) |
что может быть получено и прямым путем (см. задачу 3). Выпол нение условий совместности (56) дает возможность рассчитать все величины QUl и, таким образом, существование поля (Уу, являющегося решением (53), возможно тогда и только тогда, когда величина
(A / + A /)d*/ |
(59) |
является дифференциалом поля Ut. Это последнее требование будет необходимым и достаточным, если выполняется равенство [опять используем формулу (IV, 19)]:
0 == Ek/t (Ay, t + Ay, [) = &kfi (Ay, i + A /,/ D/l%(), |
(60) |
в котором выражение в последней скобке симметрично относительно / и /, вследствие чего условие (60) тождественно выполнено.
Таким образом, можно сформулировать следующую теорему. Теорема. Для того чтобы шесть скалярных функций Di7 = Суб
компоненты некоторого тензорного поля—были полем тензоров скоростей деформаций сплошной среды, необходимо и достаточно выполнение шести уравнений совместности (56). При этом поле скоростей определяется лишь с точностью до поля скоростей неко торого абсолютно твердого тела.
Замечание. Подчеркнем, что данный вывод локальный. Если об ласть S односвязная, то результат становится глобальным. В случае же, когда S —многосвязная область, необходимо дополнительно убе диться, что поле Ui однозначно в S.
V.4.5. Линеаризация относительно отсчетной конфигурации. Рассмотрим частный случай применения гипотезы малых возмуще-
ний, когда все состояния системы остаются геометрически близки. В этом случае возможен выбор отсчетной лагранжевой конфигура ции Sa, близкой к любой текущей. Состояние 5 “ называется невоз мущенной конфигурацией. Для четкой формулировки гипотезы, ко
торую требуется ввести, |
и вытекающих |
из нее |
следствий исполь |
||
зуем |
обозначения |
|
|
|
|
|
f (Мг) = f (М, t) = fB(xu *2, xs, t) = fL (аи |
аг, а3, t) |
(61) |
||
для |
функции, связанной |
с движущейся |
точкой, |
в зависимости |
от |
того, |
определяется она эйлеровыми или лагранжевыми переменными. |
||||
Если представить формулы, описывающие движение, аналогично (42)
|
|
х, = а£+ Х,(Л*в /), |
(62) |
||||
то |
переменные |
Х ( будут |
равны |
перемещениям относительно Sa. |
|||
Предположим, что существует малое число г], для которого |
|||||||
|
*,- = 0(т|/), |
& |
= |
0(Л), ^ |
= 0(т)(о), |
(63) |
|
|
|
|
ииа |
|
|
|
|
где |
I и со—-некоторые ограниченные длина и частота. |
|
|||||
|
Первое соотношение означает малость смещений, второе—малость |
||||||
деформаций и, наконец, третье— малость |
скоростей или ограничен |
||||||
ность частот. Величины / и со введены из |
соображений |
размерности |
|||||
и представляют собой характерные длину и частоту |
движущейся |
||||||
системы. Если, |
например, |
S —шар (или |
заполненная |
сфера), то / |
|||
будет обозначать |
радиус или |
диаметр. Если поверхность совершает |
|||||
колебательное синусоидальное движение в радиальном направлении, то со будет частотой этого движения.
Формализм линеаризации заключается в том, |
что в |
уравнениях, |
|
описывающих движение |
системы, удерживаются |
при |
разложениях |
по бесконечно малому |
параметру к\ только первые члены. Постро |
||
енная таким путем теория и задачи, к которым она приводит, назы
ваются линейными |
или линеаризованными. |
|
имеют |
ограничен |
||||||
Предположим, |
что в |
уравнениях |
(61) |
и fL |
||||||
ные частные производные. В силу (63) можем написать |
|
|||||||||
h (ai> а2 >аз> 0 = Ы * 1. X* X*. О = fe (Qi. аг, |
а„, *) + 0(т|); |
|||||||||
|
|
|
даа |
dXi |
даа |
да |
|
|
|
|
|
|
д{L _ dI |
д1Ё |
, df t |
dJt,- |
dfE n |
, |
|
|
|
|
|
S T - Ж = dT + W i Ж = а Г + 0 w)- |
|
|||||||
Отсюда |
видно, |
что в линеаризованной |
теории, |
пренебрегая чле |
||||||
нами 0 (г|), |
можно |
в случае малых возмущений не делать |
различия |
|||||||
между эйлеровыми и лагранжевыми |
переменными |
при вычислении |
||||||||
функций |
и их производных. Ниже не будем делать различия между |
|||||||||
f i и /£, |
обозначая |
их просто / (л^, х2, х3, t). |
|
|
|
|||||
Важное |
следствие линеаризованной теории |
заключается в том, |
||||||||
что уравнения и граничные условия для движущейся системы могут быть снесены непосредственно на «начальную» конфигурацию.
ПО