Курс механики сплошных сред

допустимые термодинамические процессы. Ограничимся иллюстрацией

только изотермическими процессами, то, очевидно, для упругой

так как в соответствии с методом линеаризации отношение р/р0 можно заменить на 1.

где г", — по определению, упругая составляющая деформаций; efy — вязкая составляющая. Диссипация (VII.13) при этом

Так как напряжения oif определяют предысторию среды до мо­ мента t, то в соответствии с общей теорией можно написать, что Ф = <=D*(Pij). Точнее, предположим, что @>* положительно опреде­ ленная квадратичная форма, которую обозначим через Ь; в соот­ ветствии с общей теорией будем полагать

Очевидно, эти зависимости определяют величины е)) лишь с точ­ ностью до постоянного слагаемого. Чтобы устранить неопределен­ ность, предположим, что существует момент времени /0, для кото­ рого о,7 (0 будут равны нулю при t < t 0, е^(/) = 0 при t ^ . t 0.

Таким образом, можно на основании уравнений (61) и (62) написать законы поведения в дифференциальном виде, предполагая

при этом, что Beij(t) дифференцируема по времени t :

к этим зависимостям необходимо добавить начальные условия: если

Развернем полученные результаты для частного случая изотроп­ ных сред, когда функция <р задается в форме (44). По аналогии с этой формулой имеем (тс и xg константы):

Константы тс и rg имеют, очевидно, размерность времени; они положительны, так как уже известно, что положительны следующие величины:

и, кроме того, квадратичная форма (65) должна быть положительно определенной. Если тс и xg— бесконечно большие величины, то зако­ ны (66) и (67) совпадают с законами классической теории упруго­ сти.

Рассуждая, как в предыдущем параграфе, можно разрешить законы поведения (66) относительно о5 и получить с учетом началь­ ных условий (67) первое уравнение в следующем виде (полагая /о = 0):

os (t) = ЗК (е5)0ехр +

ному закону, так что для больших t величина os (t) будет стремиться к нулю. Это явление типично для вязкоупругих сред и называется

релаксацией напряжений.

—«'«') exp ( - £ = ! ! ) d/',

Эта зависимость представляет собой частный случай общей фор­ мулы (VI, 37). Среда Максвелла в изотермическом процессе входит в класс вязкоупругих сред, определение которых дано в главе VI, когда модуль объемной релаксации

К(К) = Кехр ( - £ ) .

Очевидно, что такие же результаты могут быть получены на базе второго из законов (66); в частности, можно показать, что

Максвелла были определены с использованием первого из обобще­ ний метода локального состояния, который представляет собой двой­ ственную формулировку теории, развитой в главе VII. Сейчас полу­ чим те же результаты и дадим их обобщения, вводя в термодинами­ ческий потенциал новые параметры, называемые скрытыми. Сущность такого обобщения заключается в новой формулировке исходной гипотезы (VII.2) метода локального состояния. Допустим, что термо­

называемых «Iскрытыми». В любом обратимом термостатическом про­ цессе эти параметры остаются постоянными и, следовательно, не участвуют в выражении элементарной обратимой работы со. В термо­

динамическом же процессе они, очевидно, меняются и должны при­

ниматься в расчет при вычислении со.

Плотность свободной энергии, например, запишется в такой форме:

Р = 1

Чтобы не усложнять выкладок, не будем выходить за рамки линейной теории, полагая, что все рассматриваемые процессы —изо­ термические. Переменные %it %2, . . . , %„ будут, как и в теории упру­ гости, компонентами тензора деформаций при малых возмуще­ ниях, иначе говоря (и это несколько облегчает расчеты), компонен­ тами шаровой составляющей и девиатора этого тензора е4, eg, при этом е& равны нулю. Рассмотрим выражение (72) и, используя (42), запишем (предполагая для простоты, что в состоянии отсчета плотность равна 1):

ляет интерпретировать эти параметры как компоненты тензора дефор­

На базе этого выражения сформулируем дополнительные законы. Предположим, что имеем дело с нормальным диссипативным меха­ низмом и что диссипативная функция является неотрицательной квадратичной формой, зависящей только от производных от скрытых

параметров, точнее:

Следовательно,

а* = 3/С (е'-6), а?1 = 2ц(г?,-1иу,

Итак, вновь приходим к уравнениям вида (66), характеризую­ щим вязкоупругую среду Максвелла; К и р, являются мгновенными модулями релаксации, хс и xg— время релаксации. Этот результат поясняет выбор переменных в выражениях (74) и (76) для свобод­ ной энергии и функции внутренних диссипаций.

VIII.7.2. Трехпараметрическая модель. Очевидно, что метод скры­ тых параметров позволяет строить, с хорошим приближением, все более и более сложные модели вязкоупругих сред. Модель Макс­ велла, описываемая уравнениями (77), соответствует функциям ре­ лаксации, зависящим от двух параметров: К, хе и р, xg. В прило­ жениях часто допускают, что объемной релаксацией можно прене­ бречь и считать, что хс бесконечно велико.

Модель, которую необходимо построить, будет обладать этим

где /(—-константа, аналогичная той, которая употребляется в теории упругости.

Явление релаксации при сдвиге будет рассмотрено более под­ робно.

С этой целью возьмем за основу следующее выражение для сво­ бодной 'энергии, предполагая, как и выше, что плотность в исход­ ном состоянии равна единице:

Оперируя, как и выше, образуем диссипацию

+2Ml (efj — g/y) -gj

ипримем в качестве диссипативной функции

d£// d1и dt di '

так что закон поведения шаровых составляющих совпадает с соот­ ношением (80). Кроме того, получаем

°и = 2p„eg + 2|Xj (eg— £,7 ),

Исключая скрытые параметры, получаем закон поведения для девиаторов

новится законом поведения для среды Максвелла (0? в этом случае равно бесконечности). Если же нулю равно xg (р0 стремится к бес­ конечности), то уравнение (84) дает закон поведения среды Кель­ вина— Фойхта (55).

Как и в случае (67), этот закон, выраженный дифференциальным уравнением, должен быть дополнен начальными условиями, в ка­ честве которых можно применить условия, оговоренные в VI11.6.2.

откуда видно, что определенная таким образом среда действительно

ведения вязкоупругих сред. Формулы (88), (89) и рис. 1 и 2 отра­ жают общее поведение вязкоупругой среды при сдвиге. Трехпара­ метрическая модель представляет собой частный случай общей тео­ рии, когда модули релаксации и функция запаздывания определя­ ются соответственно уравнениями (86) и (87). Модель Кельвина — Фойхта и модель Максвелла являются еще более специальными слу­ чаями, вырожденными по сравнению с общим случаем (бесконечный

уравнениям £$ = 0.

Выражение вида (90) хорошо описывает изотропные среды; более того, обобщение на случай анизотропных сред не представляет за­ труднений. Возможна также экстраполяция моделей на неизотерми­ ческие процессы.

Ниже описывается метод, который позволяет, отбросив предпо­ ложение о линеаризации, построить более общие модели нелиней­ ных вязкоупругих сред.

V III.8. УПРУГО-ИДЕАЛЬНО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ СРЕДЫ

Ниже покажем, каким образом может быть использован метод локального состояния с целью введения законов пластичности в наи­ более простых случаях. Будем рассматривать для простоты только малые возмущения, считая при этом, что остаются справедливыми предположения метода линеаризации. Кроме того, будем рассмат­ ривать только изотермические процессы.

V III.8.1. Качественный подход к построению моделей. В любой теории пластичности предполагается, что существует предел напря­ жений (предел текучести) и поведение среды различается в зависи­ мости от того, находятся ли напряжения ниже предела текучести или же на этом пределе. Ниже предела текучести среда считается

упругой, на пределе текучести движение среды происходит по новым законам, которые и предстоит сформулировать.

Ограничимся случаем идеально пластических сред. Для таких сред предел текучести остается неизменным, определенным раз и навсегда заданием среды, иными словами, для каждой частицы этот предел не зависит от предыстории. Если же (что будет всегда пред­ полагаться) среда однородна, предел текучести будет одинаковым для всех частиц рассматриваемой системы.

Для рассуждений удобно использовать вспомогательное ортонормированное пространство девяти измерений, называемое простран­ ством напряжений. Точка 2 такого пространства изображает тензор напряжений 2, координаты ее равны компонентам оiJ. Обозначим через ду множество точек 2 , изображающих напряженные состоя­ ния на пределе текучести. Будем считать, что ду—замкнутая поверх­ ность, ограничивающая открытую связную область внутри которой находится начало координат. Множество точек 2 из ^ представляет собой совокупность состояний ниже предела текучести. Рассмотрим частицу М системы, в которой тензор напряжений 2 непрерывно меняется во времени. Изображение напряженного состояния в этой частице в пространстве напряжений представляет собой дугу непре­ рывной кривой Г, причем положение частицы на кривой опреде­ ляется временем t. Предполагаем также, что каковы бы ни были воздействия на частицу М, дуга Г всегда принадлежит замкнутой области ^ (именно в этом основной смысл понятия предела текучести).

ориентированная в сторону возрастающих t (рис. 3). Во всех точках полуоткрытой дуги [АгА3[ (т. е. кроме А3) или полуоткрытой дуги ]Л5Л7] (т. е. кроме Л5) частица находится в упругом режиме. Во всех точках открытой дуги ]А3АЬ[ (иными словами, кроме точек А3 и Л5) частица находится в пластическом режиме, и локальный про­ цесс в частице является процессом нейтрального нагружения. В точке

А3 локальный процесс есть процесс нагружения (Л8—точка нагру­ жения). В точке Аъ локальный процесс представляет собой раз­ грузку (Л5—точка разгрузки).

Закончим качественную характеристику описанием поведения деформаций в одном частном случае. Предположим, что с течением времени тензор напряжений в рассматриваемой частице остается одноосным тензором простого растяжения и лишь один из компо­ нентов ац отличен от нуля. Будем изучать поведение компонента е1( тензора деформаций (рис. 4). Обозначим через ft и — ft' значения компонента ап, в которых достигается предел текучести (ft и ft' по­ ложительные величины): ft—предел упругости (текучести) среды при простом растяжении, ft'—предел упругости при простом сжатии. Предположим, что в начальный момент и напряжения и деформации равны нулю. Если в течение процесса ап остается в интервале ]—ft', +ft[, то материал ведет себя как упругая среда и в каждый момент имеет место равенство

аи — £ eii>

где постоянный коэффициент Е является модулем Юнга. Предполо­ жим теперь, что в некоторый данный момент времени компонент olt достигает значения k и сохраняет это значение в течение интер­ вала времени (/lt /2). (Напомним, что, по предположению, alf не может быть больше k.) В течение этой фазы (tiy t2) частица оста­ ется в пластическом режиме. Опыт показывает, что в этом режиме в изучаемых средах, модель которых необходимо построить, дефор­ мация % растет. В плоскости (е^, an) точка В2 изображает состоя­ ние в момент /2. Предположим затем, что точка В2 является точкой разгрузки, иными словами, в течение времени t2< t < t3 компонент <% принимает значения, лежащие между —k' и k. Начиная с точки В2

где Е —все тот же модуль Юнга. В точке типа В3 деформация пред­

соответствующей моменту tb, деформация равна нулю, а компонент сг^