Курс механики сплошных сред

Рис. 5. Изгиб стержня:

а-штриховой линией показано деформированное положение стержня; б-прямое сече­ ние; e -схематизация внешних усилий, создающих изгибающие моменты М и —М

которой, называемый изгибающим, параллелен главной оси инерции е2.

Силы, действующие на части поверхности 2 0, эквивалентны паре

удовлетворяет условиям рассматриваемой задачи (для упрощения обозначений момент инерции / а будем далее обозначать через /).

Так как используется линейная теория упругости, то. кривизна дуги пара­ болы будет бесконечно малой, главная ее часть (в предположении, что / ограни­ чено) равна

_1__М_

(26)

Этот результат известен как закон Эйлера — Бернулли: изгибающий момент пропорционален кривизне балки. Коэффициент пропорциональности EI называют жесткостью балки на изгиб (относительно оси Ох2).

в) Сечение £Dat которое в естественном состоянии находится в плоскости хъ — а, после деформации переходит в плоскость

Е1 для фиксированного материала, необходимо увеличить момент инерции /. Так

как масса балки определяется площадью ее поперечного сечения, то целесооб­ разно использовать такие формы сечения, которые при данной площади сечения дают большие значения моментов /. Отсюда ясно, почему на практике исполь­ зуют балки, сечения которых имеют вид 7\ L, Я.

Х.1.7. Равновесие сферического резервуара под внутренним дав­ лением. Речь здесь снова пойдет о регулярной задаче типа II. Область S на этот раз шаровой слой, ограниченный двумя концент­ рическими сферами, радиусы которых г и R (г < R). Снова считаем,

что / = 0 и что внешняя поверхность свободна от нагрузок (F = 0). Внутренняя полость наполнена газом под давлением, которое равно­

мерно распределено по внутренней поверхности малой сферы (F = = —рп), п — единичный вектор нормали, внешний относительно ре­ зервуара, т. е. направленный к центру сфер О (рис. 7).

Так как область обладает сферической симметрией, заданные ве­ личины инвариантны относительно преобразования поворота вокруг любой оси, проходящей через О, то в любой точке М тензор напря­ жений не меняется при преобразованиях поворота относительно прямой ОМ. Обозначим через ог главное нормальное напряжение в направлении ОМ, а через а2—главное нормальное напряжение для любого ортогонального направления. Точно так же, без ограничения

Далее, тензор напряжений можно представить в виде суммы ша­ рового тензора аа6^ и одноосного тензора напряжений в направле­

величина, равная

S ' + f - З . .

Граничные условия здесь имеют вид

a1(R) = 0, а1(г) = —р,

так что

Рис. 9. Кручение цилиндрического вала:

а-приложенные усилия; б - вращение прямого_ сечения; в-определение функции напряжений в =дв

некоторый поворот, например, относительно торца 2 о. пропор­ циональный расстоянию до т0. Так, если а —угол закручивания на единицу длины вала (по предположению бесконечно малый), то мо­ жно предположить, что поле перемещений (в обозначениях рис. 9,6) таково:

Этому полю соответствует тензор деформаций

Иными словами, в любой точке М тензор деформаций является тензором чистого сдвига в ортогональных направлениях j и е3. В соответствии с определяющими уравнениями тензор напряжений равен:

которые, впрочем, можно установить с помощью уравнений (2). Торсор усилий, создаваемых поверхностной плотностью (41) на St,

По определению, D называется жесткостью вала на кручение.

Она равна произведению модуля сдвига на некоторый множитель, зависящий от геометрии сечения, с размерностью четвертой степени длины, равный моменту инерции кругового сечения относительно центра (поверхностная плотность массы предполагается постоянной

не должна зависеть от переменной ха, т. е. должна быть функцией только xi и хг, а с другой —что

Если положить

то эти уравнения примут такой вид:

Таким образом, функция (ср + i4p) является аналитической функ­ цией f (г) комплексной переменной z = xi Jr ix2, ф и ф—гармониче­ ские функции xt и хг, а 0 удовлетворяет уравнению в частных про­ изводных

Функция напряжений 0 является, таким образом, решением

уравнения (50) в области 3>\ значения 0 на границе области дЗ> равны нулю.

Задачу можно решить непосредственно, определяя f (г) в пред­ положении, что мнимая часть этой функции на границе дЗ> прини­ мает заданные значения

Ф = 4-(*1 + *1) = Г -

Это классическая задача теории функций комплексного перемен­ ного. Мнимая часть искомой функции, очевидно, известна и равна ф, стало быть, известна функция 0 и, следовательно, поле напря­ жений; действительная часть, определяемая с точностью до адди­ тивной постоянной, дает ф и, следовательно, поле перемещений.

Крутящий момент М равен [см. формулу (43)]:

Жесткость вала D на кручение и здесь равна произведению мо­ дуля сдвига ц на геометрический множитель, размерность которого равна четвертой степени длины.

Некоторые приложения полученных результатов будут рассмот­ рены в задачах (2, 3, 4, 5).

Другая интерпретация решения. Если длина вала велика по сравнению с по­ перечными размерами» то решение, определяемое формулами (45), (48), (50) (при 0 = 0 на границе д&>) и (51), можно интерпретировать (в свете замечаний Х.1.3) цак поле напряжений вала со свободной боковой поверхностью, заделанного тор­ цом 2 0 в жесткий монолит; на торец 2 * действует пара сил с моментом, направ­

ленным по оси вала. В самом деле, к найденному полю перемещений всегда мож-

Перемещение центра тяжести торца 2 0 равно нулю, а вращение в этой точке задается ненулевыми компонентами матрицы вращения (которые обозначены здесь через со/у):

со21 = ахя= 0, (о31 = -^ (ф i + x 2) = aa, со32 = у (Ф. *—*i) = —ab.

Если компоненты матрицы вращения рассматривать как элементы приведения торсора бесконечно малых перемещений, то поле перемещений этого тензора оп­ ределяется формулой

[ - ( ш 8, аЪхъ%а(ахх —Ьх2)].

* 1 = — а*з(*2— a), Xi = ax2(x1 — b)t Х 8= а(<р+bx2— ax1)t

для которого, по построению, перемещение и вращение начала координат отсут­ ствуют.

X. 1.9. Обобщение результатов на квазистатические задачи. Рассмотрим для простоты задачу второго типа, когда массовыми силами можно пренебречь (/= 0 ). В этом разделе исследуем приме­ нимость равновесных решений в случае, когда приложенные силы

F/ некоторыми функциями времени, будем иметь хорошую аппрок­ симацию точного решения задачи о движении среды под действием переменных во времени сил. В этом случае полученное таким об­ разом приближение является квазистатическим решением постав- ленной задачи.

по гармоническому закону с частотой со, и будем для простоты