Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4609 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Курс механики сплошных сред

..pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
20.58 Mб
Скачать
☆

момент времени имеет место равенство

 

5 (й>) = Ь р5С,у-

0 )

Отсюда следует, что s — массовая плотность 5. Практически функ­ ция s(M, t) определяется на 3 только с точностью до аддитивной постоянной. То же можно сказать и об аддитивной функции мно­ жеств S(©). В дальнейшем видно, что это является следствием того факта, что в фундаментальных уравнениях s представлена только через свою субстанциональную производную, и выбор любого (про­ извольного) значения s некоторой частицы в фиксированный момент устраняет немедленно всякую неопределенность.

Неравенство, к которому переходим, показывает, что единица измерения энтропии (или, точнее, разности энтропий) Дж/К.

VI1.1.2. Основное неравенство термодинамики. Второе начало

термодинамики выражается

неравенством, которое

связывает

суб­

станциональную производную энтропии области ©

движущейся

си­

стемы, абсолютную температуру точек этой области

и количество

теплоты,

получаемой

областью © — оно обобщает

неравенства

 

(30),

(31) и (32) из П Ш . Напомним, что в IV.3

предположили, что

коли­

чество теплоты, получаемой

областью ©

в единицу

времени, равно

 

 

S a '-d t'-S a a f

пйа>

 

 

 

 

 

где г —количество теплоты

в единицу времени, поступающей

в еди­

ницу объема S извне

(считаем его известным);

<7—вектор

потока

теплоты,

определяющий количество

теплоты в

единицу

времени

(—q я), поступающей через поверхность 5© из других частей си­

стемы S, внешних относительно © .

 

 

что в любой

момент

Основное неравенство заключается в том,

t для любой области © системы имеем

 

 

 

d S ^ С rdv С

q-n

,

 

/оч

 

 

 

 

<2 >

Отсюда видно, что при фиксированных

d»S

из

соотношения (2)

следует

Т и ^

априорное ограничение на количество теплоты, которое может получать область S> в единицу времени. Если в момент t температура Т равномерна, то неравен­ ство (2) определяет точный верхний предел количества теплоты, которое может

получать область gfr в единицу времени — этот предел равен Т ^ .

Если применить правило дифференцирования интеграла и теоре­ му Гаусса —Остроградского, то неравенство (2) может быть пере­ писано в виде

{ р 37 + div f f l — f } dv> °-

Если предположить, что подынтегральное выражение непрерыв­ но внутри $, то можно написать основное неравенство в «локальной» форме:

p £ + d l v ( f ) - f > ° -

<3>

Иногда выгодно исключить из этого неравенства величину г, используя уравнение энергии (IV.31), которое имеет вид

Р & ==<JiJD V + r

Так как Т положительно, можно переписать неравенство (3) в форме

Р {Т T t - %

) + a ‘JD u ~ r

• grad т

> °-

W

Введение свободной удельной энергии

 

 

 

ф = е—Ts

 

 

(5)

иногда также оказывается

полезным и позволяет записать (4) в виде

следующего неравенства:

 

 

 

 

р $ <

- Р* J r - f

•grad Т ,

(6)

часто называемого неравенством Клаузиуса—Дюгема.

Формулировка

VI 1.1.3. Задачи термодинамики сплошных

сред.

второго начала термодинамики позволила завершить введение поня­ тий и законов, управляющих термомеханическим поведением изу­ чаемой среды. Перед тем как приступить к подробному исследова­ нию среды, представляется полезным поставить задачу в общем виде.

Допустим, что имеется система, задаваемая некоторой абстракт­

ной конфигурацией

с объемным

распределением

массы

р0. Знать

движение системы —это значит знать функцию

 

 

 

 

 

 

х = Ф (a, t),

 

 

 

 

которая

полностью описывает движение частиц данной системы. Зна­

ние функции Ф позволяет определить в любой

момент

скорость,

матрицу

градиента F и деформации. Закон сохранения

Массы пол­

ностью определяет

плотность (pdetF = p0).

 

 

 

 

С другой стороны, закон сохранения количества движения в при­

менении

к части

области 3) вводит поле /

внешних объемных сил

и неизвестное поле тензоров напряжений 2.

Кроме того, закон сох­

ранения

энергии

вводит, с одной

стороны,

известную

величину —

скорость

притока

теплоты г в единицу объема и

с другой — новые

неизвестные—удельную внутреннюю энергию е и поле потоков теп­ лоты q. И наконец, второе начало термодинамики вводит в рассмот­ рение две новые неизвестные величины s и Т. Итак, Получается следующий список параметров:

неизвестные величины — Ф; 2, е, q, s, Т ; заданные величины — /, г.

Шесть неизвестных величин должны быть известны в любой мо­ мент времени t для любой частицы и, кроме того, должны удов­ летворять уравнениям сохранения количества движения, сохранения энергии и неравенству энтропии. Очевидно, что для определения неизвестных нужно знать законы термомеханического поведения, в которые входят некоторые из этих неизвестных, описывающие внут­

реннее поведение среды. Если с этой целью выписать основное нера­

венство в виде (4) или (6), то заданные величины

/ и г

войдут в

уравнения количества движения и энергетическое.

Таким

образом,

совокупность законов поведения определяет допустимый термодина­

мический процесс при условии, что при любом движении

системы,

т. е. при любом Ф, выполнено неравенство

(4). В самом деле,

всег­

да можно допустить, что известные величины /

и г ,

выражающие

внешнее воздействие, можно взять такими, чтобы уравнения

коли­

чества движения и энергетическое уравнение были выполнены.

 

за­

Предмет термодинамики сплошных сред—-построение

таких

конов поведения, которые

приводят

к

термодинамически

допусти­

мым процессам. Эти законы

являются

определенным

обобщением

законов, рассмотренных в главе VI для чисто механических эффек­

тов, и должны удовлетворять, в частности,

принципу независимости

от выбора системы отсчета.

 

прежде

всего необходимо выбрать

пе­

Для каждого класса сред

ременные, посредством которых можно описать

их поведение.

На­

пример, к величинам, определяющим значения

деформаций на осно­

ве тензора F, которые уже использованы в

главе

VI

в случае

простых

сред,

следует добавить в некоторых случаях

температуру

и иногда

поле

градиентов

температуры.

Если

совокупность

 

этих

величин известна до момента t, то говорят, что известна предысто­

рия среды до

этого момента. Термодинамический процесс будет

описываться тогда посредством функций или

(в более общем случае)

функционалов,

дающих значение 2 , е%s, q

в момент

t через вы­

бранные переменные (т. е. в зависимости от

предыстории до момен­

та t). Остается теперь проверить допустимость процесса.

Эти

законы

в сочетании с уравнениями сохранения позволят

найти

движение (Ф) с учетом заданных внешних воздействий на сис­

тему начальных и граничных условий.

 

 

Приведенная выше схема, слишком общая и несколько расплыв­

чатая,

будет уточнена в последующих параграфах.

 

 

 

VII.2. МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ.

 

 

 

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ

 

VII .2.1. Отправная гипотеза. Рассмотрим среду,

термостатиче­

ское поведение которой полностью известно. Отсюда следует, что

любое равновесное состояние среды

полностью определяется

зада­

нием (п+1) параметров Хо» Xi» •••»

Хп и что термостатические

вели­

чины в этом состоянии, например

удельная внутренняя энергия,

удельная энтропия, абсолютная температура и т. д., известные

функции параметров

%0, %и

%п:

 

 

*(Хо. Xi.

Xn).

«(Xо. Xi.

Xn),T(x0,Xt,

I n )

(7)

Предположим теперь, что среда находится в движении. Аксиома локального состояния может быть сформулирована следующим обра­ зом.

Аксиома локального состояния. Состояние частицы в любой фи­

ксированный

момент времени

t характеризуется (п +

1) параметрами

5Со» Xi> • ••Лш

Для которых внутренняя удельная энергия

еу удель­

ная энтропия

s, абсолютная

температура Т данной

частицы будут

определяться в момент t теми

же функциями от %0,

Хц

%п (7),

что и в термостатике.

 

 

 

Другими словами, всякой частице можно поставить в соответст­

вие в фиксированный момент

t определенное равновесное состояние

некоторой

термостатической

системы,

определяемой

параметрами

Хо. Xi. •••,

Хл. и любая функция от х 0.

Xi. •••, Хл»

описывающая

какое-либо

термостатическое

свойство

сопоставляемой системы,

описывает также в момент t соответствующее термодинамическое

свойство частицы движущейся

среды

 

 

 

 

 

Один из способов полного описания свойств термостатической

системы

заключается

в задании

потенциала. Если,

например, %о = s,

Xi» • ••»

Хп составляют для системы

множество нормальных

экстен­

сивных переменных, то функция e(sy

Xi» . . . ,

Хл).

выражающая

удельную внутреннюю энергию, является потенциалом, причем

 

 

 

 

 

de = Tds + 2

Л/Хя*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р = 1

 

 

 

 

 

 

гг,

де

/

v

Л/»

де .

 

 

 

 

 

^

^

Xi»

Хл).

dfy

 

 

 

 

 

Таким

образом, абсолютная

температура Т равна частной прс-

изводной

дв ,

а к)р— функция

состояния системы. Из аксиомы

ло­

кального

состояния

следует,

что

эта

функция

e(s,

Xi»

. .. ,

%п)

описывает в любой момент времени термодинамическое состояние

частицы. Ее численное значение равно удельной внутренней

энер­

гии, и соотношения (8) позволяют вычислить

.,

абсолютную

темпера­

туру Т и значения г\р как функции s, %1У

%п.

удельной сво­

Система

может

быть описана

также посредством

бодной

энергии ф = е— 7s, которая,

если ее

 

выразить

через

Т и

Xj,

Хл»

определяет

потенциал ф(7\ Xi,

 

Хл)-

В

самом

деле,

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d^ = — sdT + 5 J r\pd%p,

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

Р=1

 

 

 

 

 

 

 

s =

- ^ ( 7 \

х„

Хп).

'Цр = ^ ( Т ,

Xi,

“»Хл)’

 

 

 

 

Функция

ф позволяет рассчитать

удельную

энтропию

и

значе­

ния х\р

через

функции

7\ Хх»

Хл-

 

 

 

 

 

 

По формулам (9) легко установить физический смысл этой аксиомы: из нее следует, что несмотря на движение системы в целом, состояние каждой частицы можно считать с термодинамической точки зрения примерно равновесным. Ины­ ми словами, время перехода термостатической системы (какой является слегка возмущенная движением частица) из одного равновесного состояния в другое равновесное термостатическое состояние пренебрежимо мало по сравнению с продолжительностью кинематических и динамических процессов в среде. Таким образом, формулировка является весьма схематичной и по всей вероятности

неверной, если эволюция движущейся системы в целом очень быстрая. Выполни­ мость аксиомы должна исследоваться и оцениваться в зависимости от природы изучаемых движений. Но в то же время следует подчеркнуть, что выводы, ко­ торые можно сделать в большинстве случаев, рассматриваемых в механике сплошных сред, находятся в согласии с практикой, и этот факт подтверждает эмпирически (пусть временно) обоснованность аксиомы.

С другой стороны, очевидно, что именно в равновесии легче всего произво­ дить эксперименты для выявления свойств среды. Аксиома в той мере, в какой она применима, позволяет экстраполировать на случай движения определения и отношения, установленные для равновесных состояний. При построении более общих теорий, когда термодинамические свойства не совпадают с термостатичес­ кими, сталкиваются с весьма серьезными трудностями при экспериментальном определении термодинамических характеристик движущейся среды, которые в большинстве своем не преодолены в настоящее время.

VII.2.2. Диссипация. Полные производные от е и ф для движу­ щейся частицы могут быть записаны в соответствии с выражениями (8) и (9) следующим образом:

de

d-ф

dT

,

-

 

( 10)

37 тш + “> И

s dF+

“ '

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

® =

 

 

 

 

(П)

 

 

V - 1

 

 

 

 

 

По аналогии с принятой в термостатике терминологией*

со

назы­

вают полученной обратимой

удельной

мощностью. Преимущества

такого определения

будут показаны ниже. Если выписать

основное

неравенство, отражающее второй закон термодинамики в

одной из

форм (4) или (6), то получим

 

 

 

 

 

ip tp tj — рю)— у,q■grad Т ^

 

0,

 

(12)

или полагая**

 

 

 

 

 

 

 

ф 1 = ст,7 ^ /у - Р “ . Ф2= — jq-gradT,

Ф, + Ф2= Ф,

 

(13)

приходим к неравенству

Ф > 0.

 

 

 

 

(Н)

 

 

 

 

 

 

По определению,

Ф1 — собственная

объемная диссипация,

Ф « -

объемная тепловая

диссипация, Ф —полная

объемная диссипация.

Возможна также следующая

интерпретация. В рамках приведенного

определения условия (3) и (2) могут быть записаны в виде ра­ венств***

* Как уже отмечалось, это означает, что s, Хь .... Хп образуют систему нор­

мальных

переменных. Величина Tds— подведенное

элементарное

количество обра­

тимой теплоты, а со (элементарная

работа)— дифференциальная

форма, не

зави­

сящая от ds (ср. ПН 1.24).

 

 

 

 

**

В конце данной главы Ф имеет тот же смысл, что и в уравнениях (13), и

не совпадает с функцией Ф, использованной для

обозначения

переменных

Лаг­

ранжа.

 

 

 

 

 

***

Фактически эти равенства

являются новой записью законов сохранения

энер!ии.

 

 

 

 

 

В правых частях фигурируют соответственно скорость необра­ тимого производства объемной энтропии и скорость необратимого производства энтропии в объеме &). Эти уравнения не должны рас­

сматриваться как

законы сохранения, так как отражая некоторый

баланс,

скорости

необратимого

производства энтропии

в

них

не

являются

заданными

величинами.

дополнительные законы.

Теперь

V II.2.3. Законы состояния

и

остается

 

показать,

каким образом

можно

использовать

полученные

выше результаты

для

определения допустимых термодинамических

процессов.

 

 

 

 

 

.

%п в качестве

системы

Для определенности выберем Т, %i»

(п+ 1) термодинамических переменных.

Аксиома локального

состоя­

ния дала возможность выразить через

эти переменные функции

ф,

s и

е и сопряженные с %р

переменные

г\р:

 

 

 

 

 

 

 

 

Л/, =

'М Г ’

Xi.

 

Хп)-

 

(17)

ции

Уравнения (17) называются законами состояния среды. Функ­

г\р

в

правых

частях не являются,

очевидно, независимыми, так

как

они

 

должны

удовлетворять

условиям интегрируемости, согласно

которым

—s d r +

п

Ля d%p является

полным дифференциалом,

и

2

р= 1

некоторым неравенствам, вытекающим из свойств выпуклости функ­ ции ф (см. П111.7.5). Законы состояния дают интересную инфор­ мацию о поведении среды, но для полного описания они недоста­ точны.

С учетом этих законов объемная диссипация Ф может быть записана в общем виде как сумма произведений

ф = 2

* ау в.

(18>

а= I

 

 

Принимая вновь соображения,

высказанные в VI 1.1.3,

будем

считать временно, что значения %р определяются матрицей-градиен­ том F (или соответствующим ей тензором деформаций).

Тогда Ya представляют либо компоненты qt либо, в общем слу­ чае, компоненты тензора скоростей деформаций.

На уровне настоящего изложения такое утверждение может, очевидно, пока­

заться

несколько расплывчатым и бесполезным. Формула (18), в частности, должна

рассматриваться здесь как временная рабочая гипотеза до тех пор,

пока

в каж­

дом

случае не подтвердится, что Ф записывается именно в этом

виде.

 

 

В

отношении

Ф2 это очевидно — компоненты q

определяют

три

из

значений

Ка ,

а

компоненты

у- gradТ ^ —соответствующие

значения Ха. В

выражении

рить, что правила, позволяющие формулировать дополнительные законы в соответствии с этими принципами, определяют соответст­ вующий ему диссипативный механизм. Таким образом, термомеха­ ническое поведение среды является функцией некоторого потенци­ ала и связанного с ним диссипативного механизма.

В последующих выражениях зависимость Х а от Y a будет выра­ жена явно, что позволит для упрощения записи обойтись без термо­ динамических переменных. При этом не следует упускать из виду, что такая, например, запись, как h (Ya)y означает зависимость h (Ya) от термодинамических переменных, рассматриваемых как параметры. Свойства, установленные для h(Ya) как функции от Yay будут предполагаться справедливыми для любой системы фиксированных

значений термодинамических переменных Т у

•••* Хл*

Полезно ввести следующие обозначения:

Yly Y2y

. . . , будем

считать декартовыми координатами точки Y евклидова пространства

Ет\ У —вектором этого пространства с компонентами

Ya .

Величины Ха можно рассматривать как составляющие вектора Х а в этом же пространстве или, иначе, координаты точки X сопря­ женного пространства Е*т. Тогда Ф совпадает со скалярным произ­ ведением X Y.

VI 1.3.2. Нормальный диссипативный механизм, а) Диссипатив­ ная функция 3>(Y). Если бы были известны дополнительные зако­ ны, то можно было бы в принципе рассчитать для частицы М не­ которой среды при действии на нее заданных внешних усилий зна­

чение вектора X в точке М в данный

момент t

и,

следовательно,

величину скалярного произведения Х -Y в этот же момент как

функционал от

функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%р(П, Ya (('), i ' < t ,

 

 

 

 

 

 

определяющий предысторию частиц среды до момента t.

параграфе,

Гипотезы, которые будут выдвинуты в настоящем

 

значительно

ограничат

универсальность

возможных

диссипативных

механизмов. Прежде всего примем, что в любой

точке

М

в

любой

момент времени t скалярное произведение X

Y

может

быть

выра­

жено в виде функции @>(Y), зависящей

только

от

значений

пере­

менных Ya и значений

термодинамических переменных

в

точке М

в момент t.

Если такая

функция существует,

ее

называют диссипа­

тивной. Допустим, кроме того, что функция

 

(Y)

удовлетворяет

определенным

условиям. Приведенные

выше

гипотезы

могут

быть

объединены в следующем положении.

Существует функция

 

2)(Y) = ® { Y ly Y 2,

Ym) = ® ( Y a)

скалярных переменных Уа, зависящая также от (я + 1) термодина­ мических параметров Т, х1У %2У .., хЛ»определенная для любого У, непрерывная, неотрицательная, выпуклая, квазиоднородная и равная нулю при У =*0. Такая функция определяет нормальный диссипа­ тивный механизм.

Прокомментируем и уточним приведенное выше положение.

Г* Существование 3>(Y). Прежде всего заметим, что функция 3> зависит только от переменных, описывающих «историю», и, кро­ ме того, от мгновенных значений этих пере­ менных. Функция 3>, таким образом, не зави­ сит от частных форм движения среды при за­ дании внешних воздействий и начальных ус­ ловий—об этом важном факте было сказано выше.

2°. Выпуклость* (Y). Выпуклость фун­ кции 3> означает, что если К(1) и К*2) — два каких-либо значения К, а Хг и Х2 —два поло­ жительных числа, равных в сумме единице, то всегда выполняется неравенство

ххз> ( г (1)) + х2з> (У{2))—в> ( ^ г (1) +

+ ЯаГ (2)) > 0.

(19)

Рис. 1. Надграфик функции 3) в простран­ стве Ет + 1 и вложенные

друг в друга в простран­ стве Ет выпуклые об­ ласти Ль

Один из

интуитивных

способов

определения

выпуклости функ­

ции 3)(Y) состоит в рассмотрении

в_пространстве Ет+1

(т + 1)

измерений

(У\,

Y тл г)

области

3), определяемой неравенст­

вом z —3)(Ya) ^

0, которую иногда

называют

надграфиком функ­

ции 3). Если область 3> выпуклая,

то функция

3> также

выпук­

лая. Более

того,

предположим, что

область 3> замкнута,

откуда

будут вытекать некоторые

 

свойства

регулярности функции

ЗУу ко­

торые

здесь

всегда имеют

место. Если рассечь область 3) плоскос­

тями

z = b (6 —постоянная)

и спроецировать их на £ от, то

получим

выпуклые множества Аь с размерностью ту включающие начало

координат и вложенные друг в друга

(ДЬ1с Д Ь2, если 6Х< 62).

3° 3> (У) —квазиоднородная функция.

 

 

 

 

 

Функция 3)(Y) называется квазиоднородной, если области Д*

подобны (рис. 1). Если обозначить через

У0 точку

границы <ЗДХ, то

уравнение Y = АУ°,

где X — положительное число,

определяет при

переменном Y0 и при постоянном X границу

дАь

области

Аь. Та­

ким образом, если Л (К) —положительно однородная

функция** пер­

вой степени от К, равная

1

на

замкнутом контуре dAlt то из этого

следует, что fi(Y)

принимает

значение X на дАь и функция

3>(У),

следовательно, может быть определена по формулам

 

 

S>(Y) = b(\),

X = h(Y),

Х>0,

 

6(0) = 0,

6 (1) = 1.

(20)

Более того, если функция 3>(Y) выпуклая,

то

b (X)— также

выпуклая функция

 

от X.

В

частности,

Л”1^

) —неотрицательная

и неубывающая функция

X.

Будем считать

(если

не оговорено

* Основные свойства выпуклых функций,

которые могут понадобиться при

чтении данного курса,

описаны

в разделе ПИ.

Последующие

параграфы могут,

однако, быть изучены без обращения к разделу

ПП, если принять без

доказа­

тельства некоторые интуитивные представления о выпуклости множеств.

 

** h (Y) представляет собой

положительно

однородную функцию первой сте­

пени, если для любого

положительного X h(XY) = Xh(Y).

 

 

 

 

обратное), что

она возрастает, равна нулю при Х = 0

и принимает

сколь

угодно

большие

значения,

когда К бесконечно

растет.

Это

не

помешает исследовать важный частный случай, когда Х~гЬ(Х)=*

=

1 .

 

 

 

закон. Нормальный диссипативный механизм

 

б) Дополнительный

определяется выпуклой

и квазиоднородной диссипативной функцией

S)(Y)

и

аксиомой ортогональности, уточняющей условие, которому

должен

удовлетворять

любой вектор X , поставленный

в соответст­

вие некоторому заданному (дополнительными законами) вектору Y

 

4°

Аксиома ортогональности. «Любой вектор X , соответствую­

щий вектору К, ортогонален и направлен вне области

А, граница

которой дД проходит через точку Y

в этой

фор­

 

Все

геометрические

понятия,

о которых идет речь

мулировке, относятся к пространству Ет. Напомним, что нормаль­ ный вектор, внешний относительно выпуклой области Аь в точке У(1)

границы области дАъ, совпадает с вектором

N, нормальным к опор­

ной плоскости в точке Y

и направленным

вне области

Аь.

Дру­

гими словами,

 

 

 

 

 

 

 

Л Г -(К -Г (1)Х

О

 

 

 

 

для любого К, такого, что SD(Y)^b.

этим свойством,

образуют

Множество векторов N,

обладающих

непустое выпуклое множество

пространства

Ет (рассматриваемого

как векторное пространство).

Если в окрестности точки К(1) об­

ласть Аь имеет непрерывно вращающуюся касательную

плоскость,

вектор N коллинеарен единичному вектору нормали,

направлен­

ному вне Аь.

 

следующий случай. Функция S) (Y)

Рассмотрим прежде всего

непрерывно дифференцируема;

то же можно

сказать

относительно

b(k) и h(Y). Вектор X тогда

необходимо коллинеарен

gradS)

или

grad Л. Можно, например,

написать

 

 

 

 

 

А-= с grad h, Xk= c - ^ - ,

где с —скаляр.

С другой стороны, X Y должно быть равно £D(Y). Следова­

тельно (так как Л —однородная

функция первой степени),

 

cY gradh = ch(Y) = cX= X

Г «= ® (К )-= 6 (Л),

 

откуда следует, что X определяется однозначно по формуле

 

 

X = ^ g r a d h.

(21)

Заметим к тому же, что

 

 

 

grad

grad h,

Y ■grad

= f (S>),

(22)

где /(S>)—функция

S), по меньшей

мере равная <Z>, так

как

Я_16 ( Я ) ^ ^ в силу выпуклости функции b(k). Следовательно, ра­

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности