Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс механики сплошных сред

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

20.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 405 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

рестности точки		Я]. Точно так же элементарный объем III —
часть области	S),	внещняя относительно iZ>\ равен — n -Uda (/' — <).
Окончательно	получае^

Мы пришли к последнему из выражений (7), которое включает член, вызванный изменением С, и член, вызванный изменением 3>. Первый интеграл из (7) может быть получен применением теоремы Гаусса —Остроградского. Это же выражение выводится через пол ную (субстанциональную) производную от С:

		T ^	C d “		- I s ( w + c d i v £ , )	d»-	<9>
Используем полученный				результат для вычисления скорости			и объ
емного расширения.
При	С = 1	К равно	объему У0 (&)) области			@)у и в этом частном
случае	имеем
		^		^	(®) = J^div 17 di>.		(10)

Таким образом, div{7 есть скорость объемного расширения дви жущейся среды в точке х в момент ty так как интеграл от div U, взятый по движущейся области @> в момент времени /, равен про изводной от объема области.

Случай векторно-значных интегралов. Нетрудно найти выражение полной производной интеграла по объему от вектор-функции, исполь зуя для этой цели проекции на координатные оси. В частности,

	T	W		- J	» ¥	d ‘’ + L	c	<£' ' > > d<’ -	С	»
II.	1.3. Поток			вектора		через	поверхность. Теорема		2.	Пусть
Ф (t) —некоторый		поток, задаваемый функцией
				Ф = $		ЕДяс1а,			(12)
где /?(х, /) —векторное				консервативное			(соленоидальное) поле		(т. е.
div/? = 0); 2 —часть			связной		поверхности,			изучаемой в движении.
Полная	производная		потока		дается выражением *
		■ ^ = ^ { ^ + го4(Я /\£ 0 } -» й а .							(13)

Замечание. Если С —замкнутый контур, стягивающий поверх ность 2, а т da —элементарная дуга этого контура, направление которой ориентировано положительно относительно нормали л, то, применяя теорему Стокса, можем записать выражение (13) в виде

где (Bt U, а) — смешанное произведение трех векторов. Здесь опять

* Общий случай неконсервативного поля будет рассмотрен в приложениях.

				ограничимся лишь				очевидными соображ^
				ниями; строгое доказательство дано в nptf'
				ложениях.						рассмотрим	п0~
					Для вывода формулы
				верхность 2 ', совпадающую с 2 в мешен1,
					и найдем разность
				ф '_ ф		= $г,Я (х, t')-n' d o '-
								—		t)n d a .
					Отрезки траекторий,					по которым	двИ"
	Рис. з			гались		с момента		t	по	момент V точки
				контура С, стягивающего поверхность 2, обт
разуют	поверхность		2	Три	поверхности		2,	2 '	и	2Ь ограничиваю1*
замкнутую область				(рис. 3). Так как поле В						консервативно6
(соленоидальное), то, применяя теорему							Гаусса—			Остроградского»
можно написать		тождество для момента V
	П -п 1d		a ' - J ^		x , t')-n d o - J r			В(х, t')-Nda = 0,
где N —единичный			вектор,		нормальный		к	24	и	ориентированный
относительно 3> таким				же, как и п. Тогда
Ф '- Ф =		$s (fl(x, t') - B ( x ,				/) ) - « d a - J			Д(х, t')-Ndo.
Поделим равенство на ( /'—t) и перейдем к пределу при V —►
Первый	интеграл — V			• п da, во втором интеграле элемент							Ndo
поверхности		при	V,	близком к		t, равен (f/Д т) ds(f' — t), так					каК
триэдр направлений U, т,				N — правый *. Можно, таким образом, напи
сать вклад от второго интеграла:
	$c #-(<7Ax)ds =			^c (B/\U)-Tdo =				rot (ЯД/У)-я da,

тем самым формула (13) доказана.

Консервативные поля, вмороженные в движущуюся среду. Принято говорить, что поле вморожено в движущуюся среду, если в любой точке для каждого момента времени

			^	+	ro t(^ A t/) = 0,					(14)
где U (х, t) — поле скоростей		данной			среды.
Согласно (13)	поток вектора			В	через	произвольно выбранную				поверхность,
прослеживаемую	в движении,	остается постоянным					во времени. В		частности, если
в некоторый данный момент /0			поверхность 2 представляет собой поверхность поля,
т. е. поверхность, для которой			в каждой ее точке				вектор	В (х,	/0) служит каса
тельной, то можно утверждать, что 2 будет оставаться поверхностью										поля В (*, t).
Точно так же, если L представляет собой векторную линию поля В в момент
f0, то она останется таковой,		если			изучать	ее в движении		для	любого момента

* Знак смешанного произведения U, т, N не меняется при изменении направ ления вектора U относительно 2. Если в некоторой точке контура С принять V параллельным п} то можно убедиться, что имеет место знак плюс.


времени		t. Таким образом,	можно сказать, и это объясняет употребляемую терми
нологию,		что линии поля достаются вмороженными в движущуюся среду. Обратно,
если	поток соленоидального		(консервативного)		поля В через произвольно выбран
ную	поверхность остается		постоянным	при	движении	этой поверхности вместе
с полем, то применение фундаментальной				леммы* дает		немедленно уравнение (14).
Однако фиксация линий поля в среде еще не					подтверждает равенства (14).

II.1.4. Обобщения. Дифференцирование по произвольному полю скоростей. Полная (субстанциональная) производная позволяет изу чать (и в этом ее значение) изменение величин, характеризующих определенную частицу движущейся среды. Могут, однако, предста виться случаи, когда необходимо проследить эволюцию тех же ве личин в точках или частицах, имеющих собственное поле скоростей

W (х, /), отличающееся от поля скоростей U{xyt) частиц среды. Так обстоит дело, например, когда исследуется распространение волн в

непрерывной среде**

Через -убудем обозначать дифференцирование по времени, когда

наблюдатель движется вместе с точкой или		системой согласно полю
скоростей	W Очевидно, что с математической точки		зрения		нахож
дение этой	производной сводится к нахождению полной			производ-
ной, т. е. мы можем заменить операцию d		и поле	U на	б	и W.
Можно, например, написать для функции
	Ж = f - + W - g r a d /				(15)
и для интеграла по объему
					(16)

Необходимо иметь в виду, что в уравнении (16) участвует лишь одна нормальная составляющая w поля W на границе.

Представляет интерес рассмотрение скорости V среды относитель но собственного движения, задаваемого полем W, полагая

	U = v + W				(17)
Это позволяет найти связь между			операциями d и		б Например,
	1 = 1 - +		, л «га'11.		С»)
l t a	C d " “ - H	»	Cd‘’ + L	C ,' ' ' > d<’ -	< '°»
Очевидно, что если W = 0,		то	операция-убудет просто частным
дифференцированием	, что соответствует			случаю,	когда точка или

объем покоятся в системе отсчета, относительно которой описывается движение. Тогда V = [/> и уравнение (19) сводится к формуле (7).

*О фундаментальной лемме смотри ниже (11.2).

**Первый пример распространения волн дается в 1.1.3.

Замечание относительно области при менения. Полученные результаты и доказа тельство, даваемое в приложении, позво ляют определить достаточные условия


применимости			найденных формул.
Первое равенство				из (7) имеет место в
том случае,		когда функция С и поле U не
прерывны		и	ограничены в 3),			вместе	со
своими	первыми производными.					Для	по
лучения	уравнения (16), представляющего
собой общий			случай	второго		уравнения
(7), необходимо применить					теорему Гаус
са—Остроградского.				Будем	считать,		на
пример,	что граница дЗ> области 3> пред

ставляет собой кусочно-гладкую поверх ность и что С непрерывна вместе со своими частными производными * в замкнутой области 3) + д3>; к тому же нормальная составляющая w

на дЗ) (определяющая при вычислении

собственное

движение

области ЗУ) также кусочно-непрерывна на дЗ)**.

11.1.5.

Случай,

когда

функции кусочно-непрерывно дифферент

цируемы. Рассмотрим

для

конкретности

интеграл

по

объему. Фор

мула (7) была выведена в предположении, что

С(х,

и U(x, t) —

непрерывно дифференцируемы в замыкании***

области 3>.

Предположим

теперь,

что

область

3> разделена

поверхностью 2

на части 3>х и 3>2 и что С и U и их

производные

(непрерывные и

непрерывно

дифференцируемые в

3>х и 3>2)

терпят

разрыв непре

рывности при пересечении поверхности 2.

обозначим

единичный

Уточним

обозначения

(рис.

4).

Через

вектор,

нормальный к

и направленный

внутрь

3)2Уa (J {Р)) будет

означать

скачок

величины f

при пересечении 2 в точке

в направ

лении вектора N

или,

что

то

же,

разность f (Р+)—f (Я“),

где Р+ и

Р “ —соответственно предел точек

со стороны

3)2 и со стороны 3>v

Через W (Я, t) обозначим

скорость

точки Р

и будем

считать, что

точка остается на поверхности разрыва 2 (которую, впрочем, можно

интерпретировать

как

волну).

что

уравнениях фигурирует лишь

В дальнейшем мы увидим,

одна

нормальная

составляющая скорости

W»N точек

поверхно

сти

После такого уточнения заметим, что

_________

S iCdy = Sa)1Cdt,+

Si1C da

(20)

* Эти условия

могут’быть ослаблены: вполне достаточно,

чтобы частные про

изводные по пространственным переменным существовали и были интегрируемы в 3).

** Можно задать в области 3 )

поле скоростей W, непрерывно дифференци

руемое, у которого пограничные на дЗУ значения

имели

бы нормальную состав

ляющую,

равную w.

*** Когда о функции говорят,

что она

непрерывно дифференцируема в замы

кании области 3), то это означает,

что функция со

своими

первыми

производными

непрерывна в 3) + д3 ).

Таким образов, приводим к выводу, что с течением времени соб ственное движенце S , и определяется перемещением границ. Имеют место равенства а® , = ^ + 2, d2>a = Si + 2. Так как изу чается в движении,_ то движение систем St и Sa—это движение

среды (поле скоростей U). Движение поверхности 2 задается полем W, как это было показано выше.

Если обозначить через	и	операции	дифференцирования
по времени собственных движений		£D(1) и	то изучаемая вели
чина может быть записана	в виде		J

где каждое из слагаемых в правой части можно переписать, приме няя формулу (16);

^	k Cdt,^ L	^ - dt, + I s ,Ci7nd(T + L C (P '- 0 ^ d a ,	(21)
^	L . С d0~ k	1Г d0 + L CU n d o - ^ C (Р*, t)w da;	(22)

знак минус в последнем выражении связан с тем, что N является еди ничным нормальным вектором на поверхности 2, внешним по отно шению к S>2. Можно теперь написать


l S a Cd” - L £		d”+ L CP'” d0- S s <c >»’d<’-			<23>
Если использовать относительную скорость в соответствии с оп
ределением	(17), то выражения (21) и (22) можно переписать в виде
Ж 5а, С	“ U , {Ж + <Hv (CP)} Л>■-		С (Р -. О V (Р - . () ■N do,
Ж L С	L { ж + « » <РО)]л> + L С <'’*•') V			0 ■
Для упрощения записи положим v=*V N, тогда
жг 5^с du“ L		+ d1v <сс° } du+ ^ сСи>dcr-			<24)
Теперь	можно сформулировать теорему.
Теорема 3. Если объем SD включает поверхность разрыва Б, то
формулы (7) должны быть		заменены на	(24) и (23), в которых w и v

обозначают соответственно нормальную к Б составляющую скорости некоторой точки на Б и нормальную составляющую скорости среды

относительно Б.

Обратим внимание на то, что добавочный член в (23) не зависит от поля U. Отсюда сразу же следует, что уравнение (19) верно и для случая, когда область @) имеет поверхности разрывов. (Нор мальную составляющую скорости поверхности разрыва обозначим

через w, чтобы не путать ее со скоростью W , используемой в оп

ределении оператора		и применении формул (23) при вычислении
производных -jjj- и б/бt в		соотношении (23)).
Имеет место теорема.			связывающее дифференцирование по
Теорема 4.	Уравнение (19),
времени полей	скоростей	U и	W,	остается	верным и в случае, когда
область ЗУ включает поверхность				разрыва	непрерывности.

II. 2. ОСНОВНАЯ ЛЕММА ФИЗИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Вывод, к которому придем в настоящем параграфе, будет часто использоваться в дальнейшем, и имеет смысл сформулировать его более четко. Но сначала дадим определение.

Определение. Семейство ¥ открытых множеств D некоторой области ЗУ называется плотным в ЗУ, если для любой точки М вну три ЗУ и для любой окрестности V этой точки, существует по меньшей мере одно множество D из семейства, расположенное вну три V.

Пример. Если ЗУ— некоторая трехмерная область, то множество всех шаров внутри ЗУ является плотным семейством в области ЗУ- Так же обстоитдело и для

всех кубиков, грани которых параллельны				координатным осям. Определение при
менимо также и к случаю,	когда	ЗУ— поверхность или отрезок кривой линии.
В последнем случае, если	дуга ЗУ задается криволинейной абсциссойs (а < s < Ь),
то множество криволинейных отрезков			<	s <	s2является плотным семейством ¥
в области ЗУ, если только а <		<	s2 <	b и	Si и sa— рациональные числа. Во

всех этих случаях совокупность всех открытых множеств из ЗУ составляет семей ство ¥* плотное в ЗУ-

Теперь можно сформулировать основную лемму.

и не

Лемма. Пусть

<р(М) — некоторая

функция,

определенная

прерывная в области ЗУ,

семейство ¥

является

плотным

в ЗУ.

Если для любого D из ¥

интеграл

от <p(M)

по

области D

равен

нулю, то функция

ср (М) тождественно

равна

нулю

в ЗУ.

Здесь под интегралом

следует понимать объемный,

поверхност

ный или, наконец, криволинейный интеграл в зависимости

от того,

является ЗУ объемом, поверхностью или отрезком

кривой

линии.

Для каждого из этих случаев основная

гипотеза

леммы формули

руется следующим образом:

$D<pdt> = 0;

$о ф<1ст=0;

$£><pcis = 0.

(25)

Доказательство

очень

просто. Предполо

жим,

что ЗУ — трехмерная область.

Если в

некоторой точке М () внутри ЗУ функция ф(М0)

отлична от нуля (ф (Л40) >

0),

то

силу не

прерывности

ф можно найти для М0 окрест

ность V, такую,

что

ф (М) в V

будет

боль

ше,

чем 7 2 ф (М0). Пусть

теперь D — неко

торое множество из семейства ¥ , располо

женное внутри

V (рис.

5).

Интеграл

от ф

Рис. 5

по области D ограничен

снизу строго

поло-

жительным числом 7 а <p(Af0)vol(D), где vol(D) —объем V. Это, однако, противоречит гипотезе (25). Такие же рассуждения можно применить и к случаю поверхности или отрезка кривой.

- Естественно, вывод не изменится, если ср —некоторая векторфункция, непрерывная в D. В этом случае достаточно применить лемму к компонентам вектор-функции по осям координат.

11.3. ОБЩИЕ СЛЕДСТВИЯ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ

Итак, будем считать, что закон сохранения (1) справедлив в

любой области	лежащей внутри изучаемой системы S,		и сде
лаем из этого некоторые		выводы. Если не будет оговорено	обрат
ное, будем считать, что уравнение (1) применимо ко всем областям S),
лежащим в тех	частях	пространства, где £7(х,/), Л (х, /),	4(х, t)

непрерывно дифференцируемы. Предположим также, что ос(дс, t , п)— некоторая функция, непрерывно дифференцируемая по своим аргу

ментам. Случай,

когда эти функции кусочно-непрерывно дифферен

цируемы, рассмотрен

11.3.4.

11.3.1.

Закон

поверхностных взаимодействий. Теорема 1. Вели

чина ос

является

нечетной функцией аргумента п , иначе говоря

«(х, t, п) = а(х, t,

—л).

(26)

Будем рассуждать, фиксируя момент времени t. Пусть Р

и N—

соответственно точка и выходящий из нее луч, для

которых

необ

ходимо доказать

соотношение (26). Рассмотрим плоскость П, про

ходящую через точку Р перпендикулярно N, и область S)0, содер

жащую Р и образующую при пересечении с

плоскостью П поверх

ность

2 0, на

которой

все

величины непрерывно дифференцируемы.

Пусть,

наконец,

£Й> —область внутри й>0, при пересечении с которой

плоскость П дает поверхность 2, содержащуюся

в 2 0.

Плоскость

делит

на

части

&)х и

й)а. Употребим те же

обозначения, что

в II. 1.5

на

рис.

Запишем

соотношение (1)

последовательно

в Й>1Эй)а и S), помня, что — N —единичный вектор

нормали, направленный

вне 3)2 в

некоторой

точке

Получаем:

Ш S A d i dv + L

а ' W

d°

1 *

(Л°

d a “

A A ‘ dV’

a? I *

/ *

d o +

a «-(n) d° +

a ‘ {~

d a ~

A{ dv>

^ o j ‘ d v + S ^ a ‘ (n)da=sL Aid°-

Складывая

первые

два

равенства

вычитая

из

результата

третье, получаем

Ss {«i(W + «/ (-A 0 } d a = 0.

(27)

По построению, поверхности 2, вместе взятые,

составляют не

которое плотное

семейство,

входящее

в 2 0,

и,

по предположению,

подынтегральное выражение в фигурной скобке

в (27) —непрерыв

ная в 2 0 функция. Согласно

основной

лемме эта

величина тожде

Wa*d0=W °

(не невидимых гранях а я не пока-

ственно	равна нулю в		2 0 и, в частно
сти, в	точке Р.	Таким	образом,	тео
рема доказана.		смысл полученного ре
Физический
зультата станет		яснее,	когда в	двух

последующих главах мы уточним при роду величин, входящих в закон со хранения. Здесь же заметим, что сде ланный вывод и доказательство пол ностью идентичны выводу и доказа тельству теоремы действия и противо действия из общей механики.

II.3.2. Ассоциированное уравнение

вчастных производных. Введем сле

дующие обозначения: пусть	е19 е2, е3 —
единичные векторы базиса	декартовой
системы координат xh тогда
а,.(х, t, eJ) = ai / (x,	t).	(28)

Пока будем считать, что это всего лишь обозначение: величины а,7 представляют девять функций, зависящих от выбранной декар товой системы координат, и пока неизвестно, представляет матрица,

составленная из		ai/9 тензор	или	нет в данной		системе координат.
Выпишем для		фиксированного		момента времени t			закон	сохра
нения (1) применительно к лежащему внутри						@)0 прямоугольному
параллелепипеду		ребра которого параллельны осям координат.
Напомним, что внутри области @)0, принадлежащей системе S, изу
чаемые функции		считаются	непрерывно дифференцируемыми.					Еди
ничный вектор нормали л,			направленный		вне Э*9 в		любой	точке
на гранях	(кроме ребер) представляет собой один из						трех векторов
± e i9 ± е а,	± е 3,	и можно легко		проверить	(рис. 6) с учетом			усло
вия (28), что
		\ d5>ai do = \ dg>aiJnJ Aa.						(29)

Применяя теперь теорему Гаусса —Остроградского, можно на писать

Wa ' da== $j»e/ / . / d®*

ис учетом (7) представить уравнение (1) в виде

15» {^Г + № /> • 1+ аИ. у - Л/} = 0.

(30)

Это равенство справедливо для всех параллелепипедов 5», со держащихся в £2)0 и образующих в этой области плотное семейство, причем выражение в фигурных скобках есть функция, непрерыв ная в £>„. Основная лемма позволяет теперь сформулировать сле дующую теорему.

Теорема 2. Функции А {, А{ и a{J удовлетворяют во всех точках системы S, где они имеют непрерывные производные, системе урав нений в частных производных

	(c/£,-t/y+ Д//), j = А{-	(31)
Система (31)	(i, /= 1 , 2, 3) —представляет собой	систему урав
нений в частных	производных, соответствующую закону сохране
ния (1).

Обратим внимание на то, что левая часть равенства есть сумма частных производных по переменным Эйлера, в то время как пра вая часть считается известной (в частности, она равна нулю, если заданная функция А( в свою очередь равна нулю). Уравнение, об ладающее такими свойствами, называется уравнением сохранения в частных производных.

Следствие. Для всякой

области

й>, входящей в @)0,

имеет место

равенство

Saii<a ' _ a '-/V>dCT = 0-

(32)

Обратно, если уравнение (31) справедливо в любой точке области й>0,

а уравнение

(32) —для

любой

области

3> внутри @>Qy то закон,

формулируемый равенством (1), справедлив для любой области 3>.

Утверждение очевидно, так

как

согласно

теореме

Гаусса —Остро

градского и уравнениям

(7)

и (31)

Ши * 1dt’+ U

a'Vn/ dCT =

I s A d»-

(33)

Заметим,

что

уравнение (32) представляет собой обобщение урав

нения (29) на случай произвольной области 3>.

изучением

величи

II.3.3.

Тензор плотности потока.

Займемся

ны а как функции нормали

определим природу

величин

а(/.

Начнем с того,

что расширим определения величины а

на векторы

не обязательно

единичной

длины,

положив

(х,

t, Xri) =

Ха (х,

/, я),

(34)

где я —единичный вектор,

?t—действительное

число.

Обратим

внимание на то, что (34) вполне согласуется с (26). Теперь можно

сформулировать

теорему.

и —произвольный

Теорема

Функция

а ( х ,/, и),

где

вектор,

является линейной функцией от я и определяет

любой

момент

времени / и в

любой точке

системы

тензор а,

называемый

тен

зором плотности потока, соответствующий закону

сохранения

(1),

соответствие определяется

отображением

и —>а(и).

системе ко

ординат Х( этот тензор представлен

матрицей ai/t

следовательно*,

_________

a i (х, t, и) = al7 (х, t) Uj.

(35)

* Некоторые авторы записывают это

в виде a/ = ayj-Wy,

что

означает линей

ное отображение и — >а. При этом используется

не данная, а транспонированная

матрица. Этот путь

вполне законен, но будем придерживаться

обозначений, ко

торыми пользуются

математики. (См.,

например,

П1.2.1а.)

	Пусть	в фиксированный момент
	времени t даны точка Р и проходя
	щий через нее единичный				вектор N.
	Докажем	теорему,		пользуясь		этими
	данными;	покажем,		что
			a i = t a i j N j .				(36)
	Рассмотрим снова плоскость П, про
	ходящую через точку Р перпенди
	кулярно	вектору N, и область					S>ot
	сечение которой плоскостью П дает
Т: А ХА %А Л,	поверхность		2 0 (включающую точку
	Р) (рис.	7).
Т: CAt A t + C A t A a+					внутри		об
+ С А ЬА ,	Пусть	ST — тетраэдр
{	ласти S),	у	которого		три	ребра

параллельны координатным осям и, следовательно, три прямых

угла. Одна	из	граней тетраэдра Т		(гипотенуза)		лежит		внутри 2 0.
Положим	д<&~ = Т -\-Т , так		что Г	будет	объединением				граней,
параллельных		координатным	плоскостям.		Согласно			определе
нию (28) можно написать, как			и для	уравнения		(29),
		(ai —atjtij) da = 0.
Применяя равенство (32) к тетраэдру <^Г, имеем
		(а /—aijNj) da = 0.							(37)
Множество треугольников Г, получающихся друг из друга пре
образованиями подобия и переносом, образует в						2 0	плотное семей
ство, в то время как подынтегральная функция						в	(37)	по	предпо

ложению непрерывна на 20. Из основной леммы в этом случае сле

дует,	что равенство (36) справедливо в любой точке на 2 0 и, в част
ности,	в точке	Р	и (35) обобщают все	полученные до
Заметим, что уравнения (31)
сих пор результаты. С другой			стороны, так как из	(35) следует,
очевидно, (32),		то можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 4.		Если непрерывно дифференцируемые в 3)0* функции

v^( (x, /), Л(х, /), Д/у(х, t) удовлетворяют уравнениям (31), а вектор а определяется уравнениями (35), то закон сохранения (1) тождественно справедлив для любой области 3> внутри 2>0.

11.3.4. Условия на разрывах. Предположим теперь, что поле скоростей U и все величины, участвующие в формулировке закона сохранения, всего лишь кусочно-дифференцируемы. Таким образом, все функции вместе со своими производными терпят разрыв при пересечении некоторой поверхности, называемой поверхностью раз рыва. Будем считать, что касательная плоскость к поверхности раз

* Понятно, что результат не изменится, если в отношении функции Л/ огра ничиться только непрерывностью.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 405 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20228.16 Mб46Краткий курс общей физики..pdf
#
15.11.20224.15 Mб30Крепление испытание и освоение нефтяных и газовых скважин..pdf
#
15.11.202210.22 Mб11Крепление испытание и освоение скважин при разработке нефтяных место..pdf
#
15.11.202211.27 Mб57Кристаллизация и литейные свойства сплавов..pdf
#
15.11.20221.05 Mб16Кристаллография..pdf
#
15.11.202220.58 Mб19Курс механики сплошных сред..pdf
#
15.11.202220.15 Mб3Курс экономики для бакалавров..pdf
#
15.11.202215.71 Mб36Курсовое проектирование по теории механизмов и механике систем машин..pdf
#
15.11.2022884.42 Кб32Лабораторный практикум по общей химической технологии..pdf
#
15.11.2022884.42 Кб30Лабораторный практикум по общей химической технологии.pdf
#
15.11.20223.07 Mб14Лабораторный практикум по теории механизмов и робототехнике..pdf