Курс механики сплошных сред
..pdf(1.3.2, г). Применим теперь к 5 принцип возможных мощностей; поле U тождест венно равно нулю в окрестности dS.
Внешние силы, приложенные к 5, в рассуждениях не фигурируют, и имеет место уравнение
\ s (Р 7/-Л — 0,7. у) Ui do = 0.
Применяя основную лемму, можно получить отсюда основное уравнение
движения, следовательно, введенный выше торсор [Ь] является |
торсором сил, |
|||||||||
действующих |
на |
со стороны дополнения |
S) до 5. |
|
|
|||||
С другой |
стороны, |
этот |
торсор |
может быть определен через поверхностную |
||||||
плотность |
Ti = Oijnj |
в любой |
точке |
на д&). |
Здесь |
вновь сталкиваемся с |
опреде |
|||
лением вектора напряжения, введенным в |
начале |
главы II и послужившем от |
||||||||
правной точкой наших |
рассуждений. |
|
|
|
|
|
||||
Отметим, |
что очерченный |
здесь |
схематически метод аналогичен |
изложенному |
||||||
в 1.3.2, г |
при описании |
торсоров. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
IV.3. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ |
|
|
|||||
IV.3.1. Формулировка закона. Третий из основных |
законов со |
|||||||||
хранения механики |
сплошных |
сред относится к сохранению энергии |
||||||||
и является |
первым |
началом |
термодинамики. Несмотря |
на |
то что |
|||||
понятия |
термодинамики |
будут даны в последующих главах, |
будет |
|||||||
полезным дать здесь соответствующую формулировку и вывести
основные |
следствия. |
|
|
|
Первое начало |
термодинамики. Полная производная от энергии £ |
|||
системы |
равна в любой |
момент времени сумме мощности 5* (е) внеш |
||
них сил, |
действующих |
на систему, и количества теплоты Q, полу |
||
чаемого системой в единицу времени. |
любой части 3> системы S. |
|||
Такая |
формулировка |
справедлива для |
||
Для применения |
необходимы некоторые |
уточнения и определения. |
||
Приводимые ниже определения и уточнения не являются исчерпы вающе строгими, но они дают возможность схематизировать должным образом процессы в тех приложениях, которые будут рассмотрены.
Энергия. По определению, энергия £ равна сумме кинетической энергии К и внутренней энергии Е. Внутренняя энергия может быть определена через удельную внутреннюю* (или массовую) энер
гию е (х, О-
Можно теперь написать для части 3) системы S следующее уравнение:
£ ( 2 > ) = К т + Е ( ® ) = ^ Р (б + 4 а д ) do.
Скорость подвода теплоты. По аналогии с предположениями относительно внешних сил представляется естественным, что подвод теплоты к системе осуществляется через ее границу (теплота, полу ченная путем теплопроводности) и, возможно, тепловым воздействиям на расстоянии. Поэтому для части 3) системы S можно написать
0 ( S>)= S a 2 <7d(T + ii>rdl'- |
<24) |
* Более общий случай рассмотрен в задаче 24.
где q—поверхностная плотность скорости теплового потока (через границу д@>)у отражающая обмен тепловой системы S через по верхность дЗ>. Будем предполагать, что q—функция х, t и единич ного вектора л внешней нормали к д@), т. е. q (х, /, л), через г будем обозначать объемную плотность скорости подвода теплоты извне. Во всех приложениях*, которые будем рассматривать, поло жим г = 0, однако в общей теории имеет смысл это слагаемое со хранить, предполагая г известной функцией г(х, t). Говорят, что
изменение состояния тела происходит адиабатно, если |
Q = 0. |
||||||||
Что |
же |
касается мощности |
внешних сил, действующих на 5, |
||||||
то здесь |
нет |
надобности в каких-либо новых |
предположениях. Это |
||||||
мощность |
объемных сил / |
и |
поверхностных |
воздействий Т(М , л). |
|||||
Можно теперь |
написать |
закон сохранения |
энергии |
|
|||||
|
|
|
|
- i H |
<£%+<? |
|
(25) |
||
или в развернутой |
форме |
|
|
iiUi+г)du+L |
+$dff-<26) |
||||
4 |
U р{е+т и ‘и >)dy=U |
||||||||
Здесь |
имеем дело именно |
с |
законом сохранения, |
относящимся |
|||||
к некоторым |
скалярным величинам. Этот закон находится в соот |
||||||||
ветствии |
с общим законом |
(11.1), |
если положить |
|
|||||
|
|
|
|
^ = р ( е + | а д - ) . |
| |
|
|||
|
|
|
|
a = — (TiUi+ q) = — (UioiJn/ + q), ' |
(27) |
||||
|
|
|
|
|
А = / tUi+ г. |
j |
|
||
Следует, однако, заметить, что эти величины зависят от поля скоростей U у, следовательно, как и в общей механике, такие величины, как Л или Л, считаются известными тогда, когда они зависят не только от х и /, но также от 0 Такая зависимость не уменьшает общности основных результатов главы II, которые сейчас используем.
IV.3.2. Вектор теплового потока. Величина а является функцией вектора л. Теорема 3 из 11.3 показывает, что это линейная функция компонентов п{, то же, следовательно, можно сказать и о величине q\ можно написать
q = — q.n . = — q . n . |
(28) |
По определению, #(х, t)—вектор теплового потока. Его величина определяется таким образом, что количество теплоты, получаемой телом в единицу времени за счет теплопроводности:
|
|
-\м>Я-п&о. |
В случае, |
если г = 0, эта |
величина равна Q. Знак минус вызван |
тем, что |
—л —единичный |
вектор нормали, направленный внутрь |
* Такой объемный приток теплоты должен приниматься во внимание в слу чае, если имеют место эффекты излучения или если источники теплоты появ ляются внутри системы в результате химических реакций.
области S>. Если q = q = 0 и г = 0, то протекающие в системе S процессы—адиабатные.
IV.3.3. Уравнения в частных производных. Уравнение (11,31) принимает в этом случае форму
~ЖР ( е + Т U p i ) + (р Ui ( е+ Т V f l j ) “" ^ t aiy + ?/)^ = ^ i + r» (29>
которая совпадает с законом сохранения*. Можно написать и более
простое уравнение, если принять во |
внимание теорему о кинети |
||
ческой энергии. |
уравнения |
(25) вычесть соот |
|
Если из левой и правой частей |
|||
ветственно левую и правую части уравнения (11), то получим |
|||
= Q |
|
|
(30) |
что приводит к уравнению в частных |
производных (после |
преобра |
|
зования интеграла по поверхности в |
интеграл |
по объему |
и учета |
основной леммы): |
|
|
|
/~~Чи j + r- |
|
(31) |
|
Это уравнение имеет простой смысл: изменение удельной внут ренней энергии вызвано действующей мощностью внутренних воз действий и притоком теплоты. Точнее, можно считать, что величины
J |
] = j |
ai/Du и |
j - ( г - qt, t) |
(32> |
|
представляют собой соответственно скорость |
притока удельной энер |
||||
гии, затраченной |
внутренними |
силами, |
и |
приток |
в единицу вре |
мени теплоты, полученной ча.стицей сплошной среды. Их сумма равна скорости роста удельной внутренней энергии.
IV.3.4. |
Соотношения |
на разрывах. |
Согласно теореме 5 (11.38) |
|||
в любой точке |
на поверхности |
разрыва 2 имеет |
место равенство |
|||
|
|
(ро (е + 4 |
а д ) |
- а д |
+ а д ) = °- |
(зз> |
Можно |
еще |
раз проверить, что основную роль играет скорость V |
||||
среды относительно поверхности разрыва 2. В самом деле, так как
ри= т непрерывно при переходе через 2 [см. (11.4.2)], |
то можно |
|
вынести т за знак операции () и написать |
|
|
т (UtUt) = т (УУй + 2mW{ (Кд |
|
|
где W —скорость поверхности |
разрыва. С учетом (111,13) |
имеем |
(ГtU{) = |
(ТУi) + mWl (У,). |
|
После подстановки полученного выражения (33) находим |
|
|
(рт» ( с + 4 а д ) - а д + < 7 ^ . ) = о . |
(34> |
|
* В |
действительности, правая часть |
равна нулю, если равны нулю // и г, |
а левая |
часть— пространственно-временная |
дивергенция. |
(р о (е + - ^ ) ) - ( 7 М |
« 0 . |
(35) |
В законах теплопроводности, которыми |
обычно |
ограничиваются |
на практике, предполагается что q непрерывна при пересечении некоторой поверхности. В большинстве случаев это исключает даже саму возможность существования разрыва. Именно поэтому в случае разрывов наиболее интересными являются адиабатные процессы.
Для адиабатного процесса на поверхности соприкосновения т = 0, Г —непрерывна, а V — скорость в касательной плоскости. Отсюда неизбежно вытекает ортогональность вектора напряжений поверх ности разрыва.
IV.3.5. Граничные условия. Речь пойдет о применении рассуж дений, сделанных в 11.3.6. Имеем, таким образом, гипотезу о под воде теплоты извне через границу dS, определяемой скоростью
потока теплоты через |
поверхность со, который может быть известен |
или нет. |
когда поверхность свободна, Fi= oij, tij = О |
В частном случае, |
и, следовательно, согласно уравнению (11.45) на этой поверхности
имеем условие |
|
|
<7= — <7Л= |
_ |
(36) |
представляющее собой граничное условие для |
q, если со |
известно, |
или имеется формула, позволяющая найти со, если движение си
стемы задано, а со |
a priori |
неизвестно. |
V — скорость |
среды |
||
Если граница dS—непроницаемая стенка, |
||||||
относительно этой |
стенки, |
т. е. |
V —скорость |
скольжения, |
то на |
|
поверхности dS можно написать |
условие |
|
|
|
||
|
Я = — qinl= a —F y i, |
|
|
(37) |
||
так как если обозначить через W скорость |
стенки {U= V + |
W), |
||||
условие (11,45) приводит к |
равенству |
|
|
|
||
|
9 + |
^ ,7 , = со+ /r/Wri. |
|
|
|
|
В формуле (37) |
q — скорость |
притока теплоты, получаемой |
сре |
|||
дой. Выражение F -V отражает мощность касательной составляющей |
||||||
усилий, вызванных |
трением среды о стенку. |
Этот член, как |
пра |
|||
вило, отрицателен. Физический смысл уравнения (37) становится более ясным, если рассмотреть предельный адиабатный случай
среды 5, не поглощающей теплоту. Тогда ? = 0; — со = —F V — скорость притока теплоты извне в результате движения S. Это теп лота, вызванная диссипацией при трении.
IV.4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Главы II, III и IV были посвящены общему изучению трех основных законов сохранения механики сплошных сред. Необходимо было ввести или определить фундаментальные величины, характери
зующие движущуюся систему с механической и энергетической сто рон. Это позволило бы получить результаты, которые справедливы (в рамках сделанных гипотез) для любой среды. Но совершенно очевидно (и в последующем это будет показано более конкретно), что число введенных величин больше числа полученных уравнений. Следовательно, нужно перейти к исследованиям другого характера, которые позволяют учесть физические свойства данной конкретной среды. Таково в делом содержание последующих глав.
ГЛАВА V ДЕФОРМАЦИИ
СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ
Чтобы получить всю систему уравнений и условий, которые позволили бы описать и предвидеть эволюцию движущейся системы, необходимо дополнить информацию, получаемую из законов сохра нения массы, количеств движения и энергии, некоторыми другими законами, описывающими поведение изучаемых сред.
На примере задачи для тела с закрепленной границей (1.5) было установлено, что эти законы должны связать внутренние усилия в системе с ее деформациями. Во всех рассматриваемых случаях внутренние усилия описываются полем тензора напряжений, введен ным в главе III. Остается дать характеристику деформации сплош ной среды, иными словами, ввести адекватный математический объект, конкретизирующий расплывчатое определение деформации.
Здесь сразу же следует заметить и показать, что такой матема тический объект может зависеть от рассматриваемой среды и, сле довательно, его выбор будет определяться физическими свойствами среды: при исследовании блока из металла или объема газа дейст вовать нужно по-разному.
В главе IV введено поле тензора скоростей деформаций, что как раз является одним из способов описания деформации. Однако определяемое только полем скоростей, заданных в момент времени ty поле тензора скоростей деформаций описывает всего лишь мгно венное изменение системы в течение бесконечно малого отрезка времени. Это понятие может относиться только к средам «с очень короткой памятью», которые «не помнят своего прошлого» и живут лишь в мире текущей деформации. К их числу относятся, напри мер, газы и жидкость. Но совсем иначе обстоит дело с другими сплошными средами, поведение которых зависит либо от разности конфигураций в момент t и начальной (случай упругой среды), либо (более общий случай) от всего множества разностей текущей кон фигурации системы и всех предшествующих данному моменту кон фигураций.
Таким образом, становится ясным, что математические понятия, описывающие деформацию системы, могут существенно различаться. Рассмотрим здесь случай материально простых сред, для которых сравнение окрестностей одной и той же частицы с течением време ни описывается с помощью деформации касательного линейного про странства.
В первом параграфе введены линейные касательные преобразова
ния и его матрицы, а также |
тензоры |
дилатации, растяжения |
и вра |
||
щения. Это, в свою очередь, |
дает |
возможность |
легко определить |
||
тензоры обычных деформаций |
(V.2). |
В |
разделе |
(V.3) дается |
новое |
определение тензора скоростей деформации. И наконец, в (V.5) рас сматривается весьма простой случай, когда среда подвержена слабым возмущениям, что дает возможность произвести значительные упро щения. Большинство традиционных приложений ограничиваются именно этим случаем, и читатель, которому нужны только такие приложения, может опустить при первом чтении все остальное, так как параграф V.4 был составлен (насколько это возможно) как раз с расчетом, чтобы его можно было читать независимо от пред
шествующих |
разделов. |
|
|
|
|
|
|
относятся |
|||
Уточним, |
что все вводимые в данной главе понятия |
||||||||||
к кинематике. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
V.I. ЛИНЕЙНОЕ КАСАТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ |
|
|
|
|||||||
V.I.I. Матрица-градиент |
F (t,' |
t)> Для |
сравнения конфигура |
||||||||
ций системы в два разных момента |
времени |
следует |
обратиться |
к |
|||||||
преобразованию П (/', t) введенному в |
1.1. Движение |
наблюдается |
в |
||||||||
системе отсчета 51 и для определения |
координат частиц системы при |
||||||||||
изменении |
t |
используется |
связанный с 51 ортонормированный декар |
||||||||
тов репер. Преобразование |
П (V, t) |
может быть записано |
(см. |
1,5) |
|||||||
так: |
|
х = |
сГ (х', |
|
t). |
|
|
|
(1) |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
Оно определяет координаты |
точки |
М1— положение |
в момент |
вре |
|||||||
мени i частицы М, которая в момент |
V- находится в М 1 с коорди |
||||||||||
натами х' |
Если для любой |
пары (/', |
t) F —дифференцируемая |
|
по |
||||||
х' функция, |
то ей может |
быть поставлено в соответствие некоторое |
|||||||||
линейное отображение, представляющее собой главную часть преоб
разования окрестностей х' и х (что было |
показано в IV.2.1). |
|
|||
В традиционной |
форме, |
используя |
в качестве индексов для коор |
||
динат х латинские |
буквы, |
а для х' —греческие, это линейное отоб |
|||
ражение может быть записано следующим образом: |
|
||||
где |
|
dXi = Fia d*;, |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ftа = # - ( х \ |
t', |
t), |
(3) |
|
|
|
дха |
|
|
|
или, наконец, в матричной |
форме |
|
|
|
|
|
|
dx = Fdx'. |
|
(4) |
|
|
По определению, векторы dx' и dx задают касательные вектор |
||||||||||||||||||||||||
ные пространства Т' и Т |
окрестностей |
М1‘ и М*. Можно |
также |
||||||||||||||||||||||
сказать, что любой точке УИ, изучаемой |
в движении, можно поста |
||||||||||||||||||||||||
вить |
в |
соответствие |
трехмерное |
векторное |
пространство |
Т |
век |
||||||||||||||||||
торов X и что преобразование |
П (/', |
/) |
порождает |
линейное отобра |
|||||||||||||||||||||
жение Т ' —►Г, называемое касательным |
линейным преобразованием |
||||||||||||||||||||||||
и записываемое |
£Г (УИ, |
|
/', |
/). Используя |
базис |
в системе |
отсчета |
||||||||||||||||||
$ |
как |
для |
записи |
векторов |
X |
пространства |
7, |
так |
и векторов |
X ' |
|||||||||||||||
из |
7 ', |
можем |
записать |
|
отображение £Г в виде |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Х — ^ |
|
{Х'\ :Х = FX', |
X, = F,aXa. |
|
|
|
|
(5) |
||||||||||
где |
|
F —градиент-матрица |
в |
|
определяемая |
уравнением |
(3). |
|
|
||||||||||||||||
|
Отображение £Г называют также переносом посредством движе |
||||||||||||||||||||||||
ния |
или конвективным |
|
переносом; |
если |
X' |
и |
/' — фиксированы, а |
||||||||||||||||||
/ — меняется, то |
вектор |
X в уравнениях |
(5) |
переносится |
путем кон |
||||||||||||||||||||
векции |
или |
движения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выражение |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Матрица |
F —невырожденная, точнее, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J (/', |
/) = |
det(F) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
связано с плотностями |
|
р' |
и р в Мг и Мг по формуле |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р' = РJ ( t \ |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|||||
вытекающей из закона сохранения массы и того факта, |
что |
det(F) |
|||||||||||||||||||||||
равен отношению элементарных объемов. |
|
|
группу, |
то |
преоб |
||||||||||||||||||||
|
Так |
как |
преобразования |
П (/', |
/) |
|
составляют |
||||||||||||||||||
разования |
сГ (УИ, /', /) —также группа. Пусть |
я" —положение УИ в |
|||||||||||||||||||||||
момент |
/"; |
можно написать, |
согласно |
(2) |
следующие формулы: |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
<Г (М, |
/", |
/')1 |
|
dxa = Fap{M9 /", t')dxp\ ' |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
& (УИ, |
/', |
/): |
|
|
dXl = Fia(M, |
/'', /) d < ; |
- |
|
|
|
(7) |
|||||||||||
|
|
|
сГ ( М 9 /", |
/): |
|
|
dXl = Fip(M, |
t \ t)dxp, |
, |
|
|
|
|
||||||||||||
так |
|
что |
|
Fip(Mt /", |
|
t) = Fia(M, |
/', |
/)F a„(M, /", |
/'), |
|
|
(8) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
или, |
наконец, |
в матричном виде* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F (/", |
/) = |
F (/', |
|
/) F (/", |
/'). |
|
|
|
|
|
(9) |
||||||
|
Точно так |
же имеет |
место равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F (/, |
0 = 1 , F(t\ |
t)F(t, 0 |
= |
1. |
|
|
|
(10) |
||||||||||
Из |
Равенства |
(9) и (10) |
отражают |
групповые |
свойства |
матриц |
F. |
||||||||||||||||||
последнего |
уравнения |
следует, |
что |
если |
G(M, |
|
t) — матрица, |
||||||||||||||||||
обратная матрице F (М, |
f , |
t), |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G (/', |
t) = F(t, |
V). |
|
|
|
|
|
(И) |
|||||||
Представляет определенный интерес вопрос о выражении |
градиента |
||||||||||||||||||||||||
F при |
изучении |
движения |
в другой |
|
системе отсчета |
31* |
|
|
|
||||||||||||||||
|
* Для сокращения |
записи |
М не |
всегда |
записывается в числе аргументов |
F. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97 |
4 № 14 73
Пусть уравнение
х* = с* (/) + Р (/)х |
(12) |
связывает в момент t положения х и х* частицы в Двух системах координат 51 и 51*, а Р (/) —ортогональная матрица. Имеем также
равенство
х = с(0 + Рт (0 х*, |
(13) |
где Рт -—транспонированная матрица; с = —Ртс* или с* = —Рс. Согласно формулам дифференцирования сложной функции имеем
dx*j __dx*j |
fop |
дХа ~ dxJ дхр дх'а"
что и приводит к равенству
Fia(M, f , |
t) = Pij{t) F (M, t \ t) P ja { t\ |
(14) |
или в матричном виде |
|
|
F* (/', |
0 = P (0 F ((', t) Рт ((')• |
(15) |
Это соотношение связывает представления одного и того же тензора в двух системах только в том случае, если Р (/) = Р (/'). Поэтому избегаем называть тен зором-градиентом оператор, осуществляющий отображение t', /). Заметим, что при различающихся Р (/') и Р (/) координаты х\ и х'^ отсчитываются в репе
рах с разными базисами. Это свидетельствует о том, |
что запись координат М*' и |
|||||||||||||||
М* в одном базисе не приводит к существенным упрощениям. |
|
|
|
|
||||||||||||
V.I.2. Тензор дилатации. Вернемся |
к системе отсчета |
51 и рас |
||||||||||||||
смотрим матричные |
свойства |
отображения |
то |
Если |
скалярно |
пе |
||||||||||
ремножить векторы |
U и V пространства |
7\ |
в силу |
(5) |
имеем |
|||||||||||
где |
и |
V= Ut • V{ = FiaFif>U'aUfi = CatU'aUjb |
|
|
|
(16) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с аР= |
а |
д э. |
|
|
|
|
|
|
(i7) |
||
В матричном обозначении |
появляется |
произведение |
F |
слева на |
||||||||||||
транспонированную матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
С = FTF. |
|
|
|
|
|
|
|
(18) |
||
Из |
(16) видно, |
|
что |
матрица |
С |
определяет |
в пространстве |
Т' |
||||||||
тензор второго ранга С, так |
как |
U' |
и |
V' — векторы |
|
пространства |
||||||||||
Т \ ибо правая |
часть —билинейная симметричная форма b(U\ |
К'), |
||||||||||||||
соответствующая |
этому |
тензору. |
Его |
величина |
равна |
скалярному |
||||||||||
произведению U»V векторов U и |
Vу которые |
являются |
образами |
|||||||||||||
при преобразовании |
оГ |
векторов |
U' |
и V'. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим частный |
случай, когда |
U' |
и |
К '—единичные векто |
||||||||||||
ры и |
и v ’ Если |
принять :ir = |
то формула |
(16) |
дает |
значение |
||||||||||
квадрата модуля образом {и'), |
который |
обозначим через |
№ (и \ |
t \ t) |
||||||||||||
и который равен |
значению квадратичной формы Ь(и\ |
|
и 1)'. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
W (и')=Ь (и\ |
и'). |
|
|
|
|
|
(19) |
||||
Тензор С не только невырожденный [det С = (det F)2согласно (18)],
98
но и положительно определенный, так как его квадратичная форма
всегда положительна для любого единичного вектора |
и' |
Величину |
||||||||||
W |
) |
(А. > 0) называют |
дилатацией |
(расширением) |
по |
направлению |
||||||
п \ |
а |
С(М, |
|
t)—тензором дилатации частицы М за |
период от |
|||||||
момента |
V |
до момента |
t (тензор Коши.— Прим. ред.). |
соображений |
||||||||
|
Если |
положить |
Х(и') = 1+ б (#'), то из очевидных |
|||||||||
видно, что |
6 (и1) —относительное удлинение в направлении |
и ' |
||||||||||
|
Если |
«' |
и v ' —два |
единичных |
ортогональных |
вектора, |
то их |
|||||
образы с*Г {и '} и с£Г {г>'}— векторы £/=Х (и') и V=X(v') |
(из прост |
|||||||||||
ранства |
Г), |
где |
л |
и V — единичные |
векторы. Согласно |
(16) |
имеем |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
и v ~'X(uf)X(vf) • |
|
|
|
|
|
Если |
положить |
(и, |
0) = -2-—9, то |
получим |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
9 = arc sin |
V). |
|
|
|
(20) |
||
|
Величину у (и', |
1>') называют сдвигом ортогональных |
направле |
|||||||||
ний и' и v ' за период времени /' |
и t. |
|
|
|
|
|||||||
|
Физический |
смысл |
Я, б и у ясен из рис. I. |
|
|
|
|
|||||
Рис. |
I. Дилатация X и относительное |
||||
|
удлинение 6: |
|
|
||
а-в |
направлении |
U ': |£ /| = Х |£ /'| = |
|||
= (1+6)| U ' |, |
в |
направлении |
V |
| К| = |
|
= А.| И'| = (1+6)1 |
V ' |; б-сдвиг |
между орто |
|||
гональными направлениями U* |
и |
V '; у=0 |
|||
а) |
|
В) |
|
% |
|
Ш |
> у |
V |
Пространство V |
Пространство Т |
|
(в точке М ь7 |
(в точке Мь) |
|
V.I.3. Расширение и вращение. В силу симметрии тензор С имеет по меньшей мере один главный ортонормированный базис ft;, ft;, ft;'„ причем остаются в силе определения и свойства, выве денные в III.2.4* для тензора напряжений. Положим (рис. 2):
K'p = l(k 'p)k'p, K = < r { k 'p\ = X(k'p) k p |
(21) |
(разумеется, по индексу р никакого суммирования не производится)
Можно сделать следующие выводы. |
|
базис |
|
Г Векторы k p {p~ 1, 2, 3) |
образуют ортонормированный |
||
в Т. |
Ь (k’p, k'q)~Q, так как Л; —главный |
||
В самом деле, если (рфя), |
|||
базис для С. Тогда в силу (20) |
Kp Kq = 0. Кроме того, Я ( ^ |
— мо |
|
дуль Кр, что следует из определения величин Я, и тогда |
^ |
— еди |
|
ничный вектор. |
|
линейное |
|
2°. Соответствие kp—- Кр однозначно определяет в Т' |
|||
* Более детальный раэбор дан в П. 1.4.
Рис. 2. Полярное разложение матрицы градиента:
|
Обозначение |
Отображение |
Определение |
Матрицы |
|
|
|
||||||||
|
Конвекции |
Т' —► т |
|
|
, к{ |
F (Af, |
/\ |
|
|
|
|||||
|
& (М, |
t', |
t) |
|
|
t) |
|
|
|||||||
|
Правое |
расшире |
Г |
—► Т' |
|
k\ — |
K't |
W (M, |
|
l) |
|
|
|||
|
ние Ур* (М. /\ О |
|
|
|
|
||||||||||
|
Левое расширение |
Т —► т |
|
|
|
V (M, |
|
t) |
|
|
|||||
|
^ ( М , V. о |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Вращение |
t) |
Т' —+Т |
|
l ki - * kt |
R (M, |
V, |
t) |
|
|
|||||
|
£Лш. г, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
— л# |
|
|
|
|
|
|
|
отображение, |
называемое |
расширением |
справа |
X ' —►U' |
или U' = |
||||||||||
= W(Xf), такое, |
что KP= W (kp). Определенный таким |
образом ли |
|||||||||||||
нейный оператор |
является |
симметричным тензором |
второго ранга |
||||||||||||
W в пространстве Т \ для |
которого базис kp объявляется |
главным. |
|||||||||||||
Более |
того, W 2=C , что |
можно |
проверить, если |
перейти |
к |
главному |
|||||||||
базису |
kp. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т' |
и, в част |
|
Иными словами, в любом базисе из пространства |
|||||||||||||||
ности, в системе отсчета 54 имеют место равенства |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
С = FTF = W2 |
или |
СаР = Wav WYp. |
|
|
|
(22) |
||||||
3°. В пространстве Т соответствие kp —>Кр определяет линейное |
|||||||||||||||
отображение, |
называемое расширением слева |
X —♦{/или [ /= <У°(Х), |
|||||||||||||
для которого Кр = <У° (kp). Определенный таким |
образом |
линейный |
|||||||||||||
оператор является симметричным тензором второго ранга |
V (в про |
||||||||||||||
странстве Т). |
|
|
отображение |
Т' в 7\ т. е. |
54(М, |
|
|
/), |
опреде |
||||||
4° |
Линейное |
|
|
||||||||||||
ляемое тремя |
соотношениями |
kp—>kpi |
задает |
также |
отображение |
||||||||||
К'р~ К р. Отображение 54 (М, t \ t ) пространства Т' в пространство Т является изометрическим, его называют переносом с чистым вращени
ем или |
проще— вращением частицы М между моментами |
V и /. |
|||
Если |
векторные пространства Т' и |
Т изучать в одном и том же |
|||
базисе, например, в базисе системы 54, |
то это линейное отображе |
||||
ние Х'ъ—tXi осуществляется |
с помощью матрицы §1 (М, |
/), для |
|||
которой |
|
Xi = RlаХ'а. |
(23) |
||
|
|
||||
Матрица |
Ria —ортогональная, |
ее называют матрицей вращения. |
|||
5е. Преобразование |
(М, |
t) может рассматриваться либо как |
|||
произведение расширения |
U' -+W (U') на вращение 54 (Мчt \ |
/), либо |
|||
как произведение вращения 54 (M ,t \t ) |
на расширение £/ —* *¥* (U). |
||||