Курс механики сплошных сред

Так как и ( +h) = и ( —h) = 0, то из формул (562) имеем

x (k), равную скорости сдвига в течении типа простого сдвига. Видно, что такое течение позволяет (по крайней мере теоретически) опре­ делить в рамках поставленных гипотез некоторые свойства поведе­ ния жидкости.

IX.4.3. Течение в круглой трубе. Рассмотрим вновь течение

Для удобства используем в каждой точке естественный ортонормированный репер 91, соответствующий цилиндрическим координа­ там*. Обозначим через Схх, Схр = Срх, CXQ= CQx. .. компоненты в 91 некоторого симметричного тензора второго ранга С. Очевидно, что выражения (63) определяют локально некоторый тензор скоростей

деформаций простого сдвига; более точно, в репере 91 все компо­ ненты 3) равны нулю, кроме одного:

п 1 du 1 и 'D*r ~~2 ~37~ ~2к'

Таким образом, k является функцией переменной г. Согласно соотношениям (51) ненулевые компоненты тензора вязких напряже­

ний даются в 91 формулами

и зависят, таким образом, от одной переменной г.

Что же касается уравнений движения, то при отсутствии уско­ рений они запишутся в таком виде:

Рассуждения и выкладки будем проводить таким же образом,

где Р — постоянный перепад давления, необходимый для поддержа-

* Некоторые из приведенных здесь формул даются в ГНУ.

ния стационарного течения. Уравнение (65j) тогда дает

Скорость находится интегрированием уравнения (67) с учетом условий прилипания к трубе, которую считаем неподвижной:

Обратим особое внимание на выражение для расхода:

Q = 2K ^ u ( r ) r d r = 2 K { [ « 4 ] oW- ^ - ^ - J - d r | .

С учетом условия прилипания и (R) = 0 и формулы (67) имеем

Если при неподвижной трубе изменять перепад давления Р, то после дифференцирования по R получаем уравнение, которое поз­ воляет определить вискозиметрическую функцию X(S) на основа­ нии измерения расхода:

<72>

Решение для ньютоновой жидкости отсюда вытекает как част­ ный случай; в самом деле, если в выражении (71) положить

T (£ ) = p ft, M S ) = ^ - ,

то вновь приходим к решению (26).

Так же можно было бы рассмотреть течение между двумя вра­ щающимися цилиндрами (задача 30) и показать, что пара сил с мо­ ментом М , необходимым для вращения цилиндров, связана с раз­ ностью скоростей вращения уравнением

Эта формула обобщает полученный выше результат (31).

Рис. 13. Вискозиметрическая функция т(&) и об­ ратная функция К (S):

--------------ньютонова жидкость ( / / ) ; ----------------жидкость Бингама ( / ) ; --------------собственно жидкость ( I I I )

На рис. 13,а приведен график функции т(А), а на рис. 13,6 — функции k(S) для трех жидкостей—ньютоновой, бингамовой и не­ ньютоновой, характеристики которых—промежуточные между харак­

распространяются и на случай жидкости Бингама. Приведем резуль­ тат, относящийся к расходу (71). Легко находим (задача 32):

•пений Р для трубы радиусом R и для сравнения даны расходы Для ньютоновой и неньютоновой жидкостей (вискозиметрическая функция т(£) последней приведена на рис. 13, а).

IX.6 . УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЙ.

СУЩЕСТВОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ РЕЖИМОВ (НЬЮТОНОВЫ ЖИДКОСТИ)

В этом разделе ставится цель —сравнить найденные результаты с данными эксперимента. Это позволит определить пределы приме­ нимости излагаемой в настоящем курсе теории жидкостей. Ограни­ чимся рассмотрением ньютоновой жидкости и начнем с рассмотрения течения в круглой трубе или вообще в трубопроводе, что позволит выявить тот факт, что кроме изученных течений (называемых ла­ минарными) существуют совершенно отличные от них течения, на­ зываемые турбулентными. Затем на примере течения внутри двух концентрических вращающихся цилиндров будут приведены некото­ рые замечания—весьма общего характера—относительно устойчи­ вости течения, рассмотренного в IX ,2.4. Изучение вопросов об устойчивости течений (которое здесь не проводится) позволяет уточ­ нить границы применимости найденных решений и выявить началь­ ные механизмы перехода от ламинарного режима к турбулентному.

IX.6.1 . Турбулентные режимы течений в трубах. Изученное в IX.2.3 течение Пуазейля дает возможность легко сопоставить тео­ ретические выводы и данные экспериментов. С этой целью целесо­ образно представить полученное решение в безразмерной форме.

где X—коэффициент падения нагрузки; Re—число Рейнольдса. Формула (26), позволяющая оценить среднюю скорость в зави­

симости от падения нагрузки, принимает универсальный вид

64

X (81)

Re •

На рис. 16 показана схема опыта, поставленного для изучения данной проблемы. Жидкость в резервуаре (А) поддерживается на постоянном уровне, с тем чтобы сохранить постоянство давлений Pi—Рг- В воронке (С) содержится подкрашенная жидкость, питаю­ щая вводимую в течение струйку, за которой ведется наблюдение. Расход определяется путем измерения объема накопленной в сосуде

(г) жидкости. Труба изготовлена таким образом, чтобы стенки были как можно б0лее гладкими *.

* Шероховать,е стенки трубы изменили бы, разумеется, результаты опытов, особенно при больш е числах Рейнольдса.

На рис. 17 приведены полученные результаты. На осях абсцисс и ординат значения Re и А, даны в логарифмических координатах. Очевидно, существуют два основных режима.

Первый режим, называемый ламинарным, отвечает малым чис­ лам Рейнольдса, для него формула (80) находится в замечательном соответствии с опытом.

Второй режим, называемый турбулентным, соответствует боль­ шим числам Рейнольдса. Приближенные значения % как функции Re даются для довольно широкого диапазона значений Re следую­ щей эмпирической формулой:

только познавательное значение, так как, принимая специальные меры (особые профили трубопроводов, предельная гладкость сма­ чиваемой поверхности труб, полн'ое равновесие в питающем резер­ вуаре и т. д.), можно получить ламинарные режимы для чисел Рейнольдса намного больших 104.

Течения в промышленных трубопроводах в основном турбулент­

фундаментальное различие между турбулентными и ламинарными режимами. В ламинарном режиме струя долгое время остается

прямолинейной и диффундирует очень слабо; этим подтверждается тот факт, что теоретическая схема, постулированная вначале, хорошо описывает траектории частиц. В тур­ булентном режиме диффузия проис­ ходит очень быстро, и жидкость вско­ ре окрашивается полностью (рис. 18). Отсюда вытекает, что скорость части­ цы не параллельна стенкам трубы, а испытывает случайные колебания около некоторой средней скорости, параллельной оси трубы. Напраши­ вается вывод, что изучение столь сло­ жных явлений, какими являются тур­

булентные течения, должно вестись на основе теоретической схемы, в корне отличающейся от применявшейся до сих пор,— основную роль в ней будут играть статистические методы. Кроме того, профиль локальных средних скоростей здесь имеет вид, резко отличающийся от профиля скоростей ламинарного течения.

В переходном режиме при числах Рейнольдса порядка 3000 тра­ ектория окрашенной струи начинает размываться (диффузия прояв­

текает, что при возрастании числа Рейнольдса установившийся ре­ жим, рассмотренный в IX .2.3, перестает быть таковым. Несмотря на то что течение может быть исследовано в рамках механики сплошных сред, оно выходит из класса течений, рассматриваемых в теории Пуазейля. Можно предполагать, что с увеличением числа Рейнольдса количество механизмов, вызывающих незатухающие воз­ мущения, возрастает настолько, что, начиная с некоторого порого­ вого значения, скорость как функция времени в каждой точке уже не может описываться непрерывно дифференцируемой функцией, которую можно сравнить с экспериментом.

Эти замечания, очевидно, весьма схематичны. Из них, однако, видно, что если найдено какое-либо решение уравнений Навье — Стокса, то следует сразу же исследовать его устойчивость. Гидро­ динамическая устойчивость является в наши дни очень важным раз­ делом механики, ее важность для теории и практики трудно пере­

R = , - ^ . R e . - * S

— чисел Рейнольдса*, включающих заданные величины задачи. За­ метим, например, что формула (31) может быть записана в следую­ щем безразмерном виде:

когда внутренний цилиндр неподвижен.

Что же касается точек из области, имеющей двойную штриховку, то они соответствуют наблюдаемому экспериментально течению с тороидальными вихрями. Траектории в этом случае уже не являются окружностями с центрами на оси Охл, они не выходят за пределы своих ячеек; их след в меридиональной плоскости, вращающейся вместе с жидкостью, образует кривые, изображенные на рис. 20.

При значениях Re, и Re,, соответствующих точке, находящейся несколько выше границы заштрихованных зон, ячейки несколько «гофрированы» и вращаются с угловой скоростью, равной средней угловой скорости обоих цилиндров. Если при неизменном Re, уве­

является ли Re, положительным или отрицательным, схемы тече­ ний и переходных режимов могут сильно различаться.

Из сказанного прежде всего вытекает, что решение рассматри­ ваемой задачи не единственное. Рассмотренное выше ламинарное течение, являющееся к тому же самым простым, существует всегда для каждой данной точки из дважды заштрихованной области, но наблюдаемое на практике течение оказывается не таким, так как