Курс механики сплошных сред

Поясним^ это на примере. Предположим, что среда имеет контакт с подвижной стенкой, которую можно приближенно принять за плоскость *з = 0. Если уравнение подвижной стенки записать в виде x%—g(xv хг, 0 = 0. то следует предположить, что функция g и ее производные имеют порядок 0 (т)), чтобы иметь возможность при­ менить линеаризованную теорию. Краевое условие (11,55) запишется в этом случае следующим образом:

асимптотическое разложение производится на основе полного реше­ ния всей совокупности уравнений, зависящих от rj.

Таким образом, линейная теория имеет целью нахождение этого первого члена, упростив сами уравнения и граничные условия задачи. Предполагая все известные или неизвестные величины разложен­

граничным условиям некоторой линейной задачи, близкой к исход­ ной и вместе с тем гораздо более простой. Для получения первого члена разложения искомого решения решается именно эта упро­ щенная задача, называемая линеаризованной.

Следует хорошо помнить, что этот метод является формальным. Из него не следует, что результат не изменится от того, будет ли принят во внимание только первый член разложения по г] точного решения или решим близкую линеаризованную задачу. Точные ис­ следования, возможные в некоторых приложениях, показывают, что решение линеаризованной задачи не всегда является первым членом асимптотического разложения, равномерно пригодным для всей изучаемой системы S. Для получения равномерно пригодного реше­ ния следует воспользоваться методом «сингулярных» возмущений, изложение которого выходит за рамки настоящего курса.

Все сказанное выше показывает ограниченность области приме­

X k (t + s) = Xk ( / ) + s ^ - * ( / ) + . . . ,

@ife(^» ^ + s)= $/ft— sUit*+•••

Обозначая составляющую вектора DCX/ по направлению в,- через DCX, можем написать

Точно так же можно рассуждать и в отношении тензора второго ранга. Например, конвективная производная тензора напряжений запишется в виде

ния необходимо обратиться к криволинейным координатам *. Очевидно, что ортонормированный базис после конвективного переноса уже не будет ортонормированным.

V.6.2. Производная относительно собственного вращения или производная Яуманна. Третий путь, который позволяет ввести производную по времени, обхо­

Заметим, что в конвективной производной дополнительные члены (корректи­ рующие полную производную) вычисляются через компоненты градиента скоро­ стей, тогда как в производной относительно собственного вращения (называемой

* Строго говоря, введенная конвективная производная является контравариантной конвективной производной. Последовательное развитие понятия конвек­ тивной производной требует обращения к другим производным вектора или тен­ зора, в частности к ковариантной конвективной производной (см. задачу 25). Заметим, наконец, что введенное понятие конвективной производной — это произ­ водная Ли, ассоциированная с группой П, зависящей непрерывно от некоторого параметра и определенной на пространственно-временном многообразии, задавае­ мом движущейся системой S, поле скоростей U которого является ее бесконечно малым генератором.

также производной ЯуМанна) эти члены вычисляются через компоненты скоростей

вращения. Заметим, наконец, что выражение (90) может быть переписано с уче­ том (IV, 20):

Если же сплошная среда— абсолютно твердое тело 5, то последняя формула совпадает со следующей хорошо известной в общей механике:

механике оказывается удобным свести задачу, охватывающую самые общие случаи, к более простой линейной задаче. Очевидно, что это возможно только тогда, когда состояния изучаемой сплошной среды мало отличаются от состояний невозмущен­ ного движения, в котором все величины (кинематические, динамические, воз­ можно, и термодинамические, электромагнитные), характеризующие физическое

зации и привести несколько приложений.

V.7.I. Типичные примеры, а) Линеаризованная аэродинамика. Рассмотрим следующее невозмущенное движение: идеальная жидкость находится в установив­ шемся движении с постоянной скоростью параллельно оси хи занимая все про­ странство вне жесткой неподвижной пластины с произвольными очертаниями,

препятствие в упомянутое равномерное течение так, чтобы все касательные пло­ скости были близки к плоскости *з = 0; и будем считать, что вокруг А установи­ лось новое стационарное течение. Это течение не будет уже равномерным, но можно считать, что оно мало отличается от начального равномерного невозму­ щенного течения. Вследствие этого можно ожидать, что линеаризация относительно невозмущенного движения позволит получить полезную информацию.

Таковы в общих чертах основные пути постановки главной задачи линеари­ зованной аэродинамики. Естественно, можно не ограничиваться только стационар­ ными течениями. Вообразим, например, что пластина Р или препятствие А совер­ шают малые колебательные движения (возвратно-поступательное движение, парал­ лельное оси х3, или вращение с малыми амплитудами вокруг некоторой оси, перпендикулярной Ох3). Течение жидкости или газа не будет стационарным, но останется близким к равномерному невозмущенному движению.

Рис. 5. Пример задачи линеаризованной аэродинамики.

Для упрощения взяты плоские течения

б) Устойчивость ваданного течения. Рассмотрим стационарное течение вязкой жидкости между двумя соосными круговыми цилиндрами с осью 0х3, в котором линии тока являются кругами с центрами на оси 0х3. Установлено, что течение такого вида существует, и все условия задачи при этом выполнены. Именно это течение выберем за невозмущенное. Пусть в некоторый заданный момент времени /0 течение претерпело малое возмущение; можно считать, что в последующие моменты (если, по крайней мере, t — 10 достаточно мало) траектории частиц нового течения будут мало отличаться от траекторий невозмущенного движения. Решение линеа­ ризованной задачи позволяет получить информацию об устойчивости начального течения. В самом деле, можно искать ответ на вопрос о том, затухает или растет

возмущение, определяемое линеаризованным решением.

V.7.2. Определение линеаризованной задачи, соответствующей некоторой фиксированной задаче. В этом разделе изложим, каким образом по определению

формально составляются уравнения и граничные условия линеаризованной задачи.

чины fb всегда будут считаться заданными, а Ха—неизвестными линеаризованной

задачи. По определению, г\Ха характеризует возмущение, a Xa-\-i\Xa— линеари­ зованное возмущенное движение,

б) Граничные условия. Рассмотренное начальное движение удовлетворяет не только системе уравнений ^ а = 0, но также и некоторым граничным условиям на поверхностях в любой момент времени. Одна из таких поверхностей (границ) 2* будет представлена параметрически уравнениями x ,= g /(£ b £2, t).

Граничные условия можно записать символически:

2fi{Xat Fd, Gc (£/)} = 0.

*з{*2. Ъ. осШ = о,

в So неизвестные функции Xat удовлетворяющие в So уравнениям (92), а на гра­ нице 2о — граничным условиям типа (93).

V.7.3. Движения, близкие к равномерным. Проиллюстрируем изложенные выше формальные положения на примере V .7.1, а (линеаризованная аэродинамика). Здесь компоненты поля скоростей невозмущенного движения

Ui = V0, U2 = 0, U5 = 0;

возмущенного движения

^1 = Уо + Л^1* ^а = Л^2» ^з = Л^з-

Для записи уравнений движения необходимо вычислить ускорение

* '= 1 r + U‘U‘f

Удерживая в линейной теории только члены с г], находим составляющие ускорения

Заметим, что и в общем случае для нахождения полной производной некото­ рой величины, равной 0, или постоянной в невозмущенном движении необходимо

применить к этой последней оператор

% +У°Ё^ + р° и‘-1=0^

это уравнение линейно относительно неизвестных р, (У,*. И наконец, сформулируем граничное условие. Предположим, что жидкость остается в постоянном контакте со стенкой 2*

*з = Л£(*ь *2, 0.

близкой по форме к плоскости *3«=0. Граничное условие, естественно связанное с уравнением неразрывности (нормальная составляющая скорости жидкости или

газа относительно стенки), запишется в общем случае следующим образом (II, 55):

-jj- (л5—*з)=о,

Из этого уравнения можно получить информацию (в данном случае величину

компонента U3 возмущенной скорости) на поверхности дг3 = 0, т. е. на границе соответствующей границе 2* в невозмущенном движении.

ГЛАВА VI

ЗАКОНЫ ПОВЕДЕНИЯ (ЧИСТО МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ)

СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ

В этой главе сформулированы законы, которые позволяют опи­ сывать поведение различных материальных сред. При формулировке таких законов ставится задача выразить определенные в главе III внутренние усилия, т. е. тензоры напряжений, через деформации, надлежащим образом выбранные из характеристик деформаций, вве­ денных в главе V. В сочетании с общими уравнениями сохранения и граничными условиями найденные соотношения позволят полно­ стью определить движение системы с учетом начальных условий.

Общая теория законов поведения получила значительное разви­ тие за последние годы, что было вызвано стремлением изучать все более и более сложные среды. Здесь ограничимся построением только простейших законов, достаточных, тем не менее, для рассмотрения вопросов гидромеханики и механики деформируемых твердых тел, которые в основном изучаются в этой книге. Изложив общие прин­ ципы, которым должны удовлетворять искомые соотношения, сфор­ мулируем законы поведения жидкостей, в частности классических (или ньютоновских), затем законы поведения упругих сред, в част­ ности сред, обладающих идеальной упругостью. В последнем пара­ графе приведем примеры законов поведения сред, которые нельзя отнести ни к жидкости, ни к чисто упругим телам.

Отметим также, что на данном этапе будем рассматривать только чисто механические характеристики и не будем принимать во вни­ мание физические параметры, как, например, температура, влияние которой обычно учитывается при описании движения среды.

В последующих главах это ограничение будет снято после вве­