Курс механики сплошных сред

Приходим, таким образом, к фундаментальному тождеству, опи­ сывающему поле моментов торсора, которое позволяет определить момент торсора тр% зная элементы приведения в Q.

Сравнение (58) и (42) показывает, что в трехмерном пространстве природа торсора скоростей и движущего («моторного») торсора одинаковы. Угловой скорости вращения со соответствует момент WQ, скорости UQ —:главный вектор Т.

Если пространство более чем трех измерений, то утверждение становится неверным. Даже в пространстве трех измерений между этими двумя понятиями появляется различие, если поменять ориентировку осей: теперь от направлен­ ности осей будет зависеть поле rtiQ торсора усилий и угловая скорость со (не зависящая от Q) торсора скоростей.

Заключение. Для движений, оставляющих систему жесткой, силы, действующие на S со стороны 2, полностью определяются торсором

емных сил /(М ), то для возможных скоростей, оставляющих систему

Элементы приведения торсора [<F] в точке А, определяемого объ­ емными силами f(M), действующими на S, равны

жесткой, внешние силы хорошо учитываются приведенным выше определением, то описание их действия, даваемое торсором, оче­ видно недостаточно для их характеристики в общем случае сплошной среды. Необходимо, таким образом, рассмотреть более широкое пространство виртуальных движений, как, например,

циюФ—►5*, вполне соответствовала определению, приведенному вп.б)- Резонно будет поставить обратный вопрос: можно ли представите таким же образом, т. е. только через плотность, любую линейную

непрерывную функцию Ф —

Ниже, идя по пути упрощения, введенного при определении массы части 3> системы S, будем придерживаться ограниченного определения, сформулированного в 1.3.1. В общем случае такое предположение достаточно для довольно подробного описания физи­ ческих явлений. Отброшенные при этом случаи могут рассматри­ ваться как аномальные. Однако с математической точки зрения было бы интересным включить эти случаи в общую теорию, кото­ рая имела бы задачей систематизировать последствия введения уси­ лий через развиваемую ими возможную мощность.

1.4. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ

Двум основным принципам динамики соответствуют традиционно два различных описания сил. Первый, называемый фундаментальным законом динамики, концентрирует в себе три закона Ньютона; вто­ рой—принцип возможных мощностей—систематизирует и развивает

Если производную торсора по времени определить как торсор, у ко­ торого элементы приведения к точке, связанной с системой отсчета, являются производными по времени от элементов приведения данного торсора, то результаты (62) и (63) приводят к формуле

(64)

б) Формулировка основного закона. Напомним классическое опре­ деление.

Существуют по меньшей мере одна система координат, называе­ мая галилеевой или абсолютной, и система отсчета времени (хроно­

внешних сил, действующих на S, равен нулю.

Теорема 2. (Теорема взаимного действия или действия и проти­

системы друг на друга равен нулю.

Теорема 3. Возможная мощность внешних воздействий при двЯ' жении, оставляющем систему жесткой, равна возможной мощности количества ускорения.

Возможная мощность количества ускорения в общем случЯе дается формулой

(68)

Данная теорема является следствием уравнений (59) и (65). Известно, наконец, что основной закон можно записать в любой

произвольной системе отсчета Э1 при условии, что движение этой системы относительно некоторой галилеевой системы Э1а известноТакая запись возможна, если ввести фиктивные внешние силы (ня~ зываемые инерционными) при переносном движении и силы Корио­ лиса, определяемые соответственно массовыми плотностями — уе (М)

веденный результат является одним из следствий из формулы (45). Замечание. Из полученного результата следует, что применяя основное уравнение в различных системах отсчета к двум непересе-

лилеевой, то приходится учитывать инерциальные силы относитель­ ного движения и силы Кориолиса.

1.4.2.Принцип возможных мощностей. Элементарный пример

растянуть нить, достаточно ясно показывает, что основанная ца возможных мощностях формулировка не может ограничиться рас­ смотрением лишь внешних сил. Напомним с этой целью классиче­ ское утверждение.

При абсолютном отсчете времени в галилеевой системе координЯ? возможная мощность количества ускорения системы S равна моШ' ности всех сил, приложенных к системе, как внутренних так Я

{b;}-M1] + {b!}-[A] = ({ 6 j- F 1 + ^ 2}-[F2])+({b1}-[F21]+{B2} .[F I2]).

Левая часть равенства представляет собой возможную мощность количества ускорения, первое выражение в скобках —возможную мощность внешних сил, действующих на S, второе выражение в скоб­ ках согласно (69) равно возможной мощности внутренних сил си­ стемы S.

Для того чтобы полученный вывод был применим и к динамике сплошных сред, следует надлежащим образом определить внутрен­ ние силы системы и их возможную мощность при любых возможных движениях.

1.5. ЗАКОНЫ ПОВЕДЕНИЯ СВЯЗЕЙ, НАЛОЖЕННЫХ НА ДЕФОРМИРУЕМУЮ СИСТЕМУ АБСОЛЮТНО ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Коротко напомним основные положения механики абсолютно твердого тела.

Рассмотрим случай свободного абсолютно твердого тела. Поло­ жение такого тела зависит от шести параметров. Так как внешние силы, действующие на тело, считаются известными, то на основании основного закона можно написать шесть дифференциальных урав­

больше чем 12. Видно, что основной закон не позволяет сам по себе полностью решить поставленную задачу и приходится обра­ щаться к дополнительным гипотезам, схематически описывающим физические явления, свойственные механическим связям между рассматриваемыми абсолютно твердыми телами. Эти гипотезы, кроме

с другой. Это последнее движение описывается торсором скоростей

определяют характер деформирования суммарной системы S = S1+ S2, элементы [<F12] и [<F21] определяют внутренние силы в системе. Таким образом, трение в системе из абсолютно твердых тел дает дополнительные соотношения, связывающие внутренние силы, опрег деляемые торсором {<SFai}, с деформациями системы, которые описы­ ваются торсором скоростей {bj — {bj. Эти соотношения называют еще законами поведения связей, наложенных на деформируемую систему S, состоящую из двух контактирующих абсолютно твердых тел.

1.6.ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБЗОР ПОСЛЕДУЮЩИХ ГЛАВ

Взаключение обзора основных положений общей механики можно изложить схему, которой будем придерживаться, изучая механику сплошных сред.

При изучении сплошной деформируемой среды предстоит: определить природу внутренних сил или сил сцепления внутри

рассматриваемой среды; определить величину (или величины), с помощью которой по­

является возможность охарактеризовать «деформацию» данной среды; определить виртуальную (возможную) силу сцепления в произ­ вольно выбранном возможном движении и доказать эквивалентность

основного закона и принципа возможных мощностей; сформулировать законы поведения, которые соответствующим

образом характеризовали бы для каждого типа сплошной среды физические зависимости между внутренними силами и деформациями.

личество [правая часть (1)] расходуется, с одной стороны, на попол­ нение потерь, уходящих через поверхность (поверхностный интег­

рал), и, с другой стороны, идет на пополнение величины U (пер­ вый член левой части).

Что же касается размерности, то совершенно очевидно, что dim (Л) =* dim (UL“8), dim (а) = dim QXL~*T~1),

dim (Л) = dim (Ш,-»7"»).

Цель настоящей главы — получить общие следствия законов со­ хранения (II.3). Но сначала выведем несколько необходимых формул для полных производных (11.1) и сформулируем одно простое, но весьма полезное определение (II.2). Первое конкретное приложение будет относиться к закону сохранения массы (II.4). Исследования

сохранения количества движения и энергии будут даны в двух по­ следующих главах.

II .1. ПОЛНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Понятие полной производной было дано в 1.1.7. В лагранжевых переменных вычисление полных производных — это нахождение ча­ стных производных по времени. Совсем не так обстоит дело в слу­ чае переменных Эйлера.

*i (0. xt (*) и х»(0 определяют параметрическое представление траек­ тории точки М как функции времени t.

Правило дифференцирования сложной функции с учетом фор­

ную производную по пространственной координате xt. Если индекс повторяется, нужно произвести суммирование по обычному правилу.

производная берется в предположении, что точка х фиксирована относительно системы отсчета, в которой рассматривается движение.

Этот вывод немедленно может быть распространен и на вектор­ ные величины. Пусть, например, V (х, t) —векторная функция; ком-

поненты полной производной d V являются полными производными