Курс механики сплошных сред

рыва может вращаться кусочно-непрерывно. Пусть теперь 2 0 — связ­

(см. рис. 4). В частности, о—нормальная составляющая скорости среды относительно поверхности разрыва, определяемая уравнениями

u = V + W, v = V ЛГ,

торый момент времени t при подходе к точке Р из областей й>2 и S>v Доказательство следует из рассмотрения области D, которая при

рывны вместе со своими производными. Согласно (24) закон сохра­ нения (1) применительно к области S) (которую мы изучаем в дви­ жении) запишется в виде

являющееся одной из возможных интерпретаций закона сохранения применительно к области S>.

Согласно (31) первые два интеграла по объему из (39) равны нулю. В третьем интеграле 2 представляет собой произвольную открытую часть поверхности 2 0, а подынтегральная величина по предположению непрерывна на 2 0. Основная лемма приводит к урав­

области ЗУ) также справедливо. Равенство (38), таким образом, дает всю информацию, которую можно извлечь из применения уравне­ ния (1) к областям, имеющим одну поверхность разрыва.

11.3.5. Общая интегральная форма закона сохранения. Если пред­ положить далее, что область &) совершает собственное движение относительно движущейся среды, то закон сохранения (1) может быть записан в более общей форме [используя формулу (19) и при­ меняя обозначения из 11.1.4]:

Таким образом, конструкция уравнения (1) сохраняется, если заменить тензор потока atj на тензор а'ц, определяемый уравнения­ ми (41), что позволяет выявить влияние относительной скорости. Согласно теореме 4 (IIЛ.5) уравнение (40) справедливо и для слу­ чая, когда исследуемые величины имеют лишь кусочную непрерывность.

которых 2 лежит целиком внутри данного открытого множества 20 на поверхности dS, причем _нормаль и, направленная наружу от

поверхности dS, и функция а (Р, t) непрерывны. Если рассматривать @> как предел областей £>п, образованных точками из £>, располо­ женными от 2 на расстоянии, большему, где г\—производная сколь угодно малая длина, и если определить aiy и а,, (я) в любой точке Р поверхности 2 путем непрерывного продолжения, то получим

ду, что для любой поверхности 2, целиком лежащей внутри 20, имеет место равенство

{«г (n)-a,.)do = 0.

Опираясь на основную лемму (так как величина под знаком ин­

данной точке, направленной наружу). Это краевое условие для тен­ зора потока на границе dS:

II.3.7. Заключительное замечание. В заключение этого раздела напомним, что в целях наглядности наши рассуждения были осно­ ваны только на одном уравнении сохранения, в которое входят векторные величины. Однако эти результаты применимы и к другим

возможным случаям, если, конечно, заменить обозначения и назва­ ния. Например, если величины Л, а и А —скаляры, то а —вектор по­ тока, а соотношение (35) должно быть заменено следующим:

Сделанные выводы справедливы и для случая, когда Л, а и А—

11.4. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАССЫ

Закончим настоящую главу рассмотрением весьма простого, но очень важного для приложений закона—закона сохранения массы. Основная формулировка, приведенная в 1.2.2, приводит к равенству

где —некоторая произвольная область системы S, которую мы считаем трехмерной; р(х, t) — объемная плотность массы. Величина Л представлена скаляром р; а, а, А равны нулю.

Полная интегральная форма данного закона может быть выра­ жена [согласно (40) и (41)] уравнением

— l ^ V n d <’ ------

левая часть определяет производную массы по времени, когда гра­ ница S) имеет собственное движение, а поле V определяет скорость среды относительно этой границы. В этом случае совершенно есте­ ственно истолковать pudo как расход массы через поверхность. Вывод справедлив для случая, когда объем неподвижен относительно системы координат при условии, конечно, замены V на U.

11.4.1. Уравнение неразрывности. Уравнение в частных производ­ ных, соответствующее уравнению (49), в точке непрерывности будет иметь вид [согласно (31)]

Оно может также быть записано в другом виде:

g + div(p£/)~0

d iv 17

J_ dp р dt *

Замечание. В 1.2.2 уже говорили, что можно легко получить субстанцио­ нальную производную от интеграла по распределению масс, если произвести инте­ грирование под знаком интеграла, поскольку масса сохраняется. Например,

Равенство легко проверяется, если левую часть преобразовать по формуле (9)

сучетом условия (51).

И.4.2. Контактные поверхности и ударные волны. Уравнение на поверхности разрыва, соответствующее закону сохранения массы, может быть [согласно (38)] записано следующим образом:

т. е. поверхностный поток массы pu = m остается непрерывным при переходе через поверхность разрыва 2. Здесь следует различать два случая.

а) Контактная поверхность. Если на поверхности 2 т = О, то отсюда следует, что

так как плотность р положительна; поток через поверхность 2 отсутствует, скорости сред относительно поверхности с обеих сторон поверхности разрыва направлены по касательной. В этом случае говорят, что 2 является контактной поверх­ ностью или поверхностью скольжения. Ско­

рость U терпит разрыв при пересечении 2, но этот разрыв относится только к касатель­ ной составляющей (рис. 9).

В качестве примера рассмотрим газ, находящийся в трубе в состоянии покоя. Один конец трубы закрыт поршнем. Если в некоторый момент начать двигать поршень внутрь трубы, то в последующие моменты в трубе все еще будут нахо­ диться области, где газ не пришел в движение. Такая область отделена от дви­ жущегося газа ударной волной. Любой взрыв в общем случае порождает в среде ударную волну. Полет сверхзвукового реактивного самолета также создает в окру­ жающей атмосфере ударную волну.

II.4.3. Граничные условия. Предположим для определенности, что система S находится в контакте со стенками сосуда 3 Физи­ ческие соображения согласуются с основным выводом II.3.6: поток массы через поверхность в любой точке 5* должен быть равен нулю или, иначе, нормальная составляющая скорости среды относительно стенок сосуда должна быть равна нулю.

Пусть, например, / (х, t) = 0 — уравнение стенки сосуда для любого момента времени /, тогда для Э* мы должны написать [согласно (54)]

(55)

II.4.4. Несжимаемые среды. Определение. Среда называется не­ сжимаемой в том случае, если в любой точке и в любой момент времени скорость объемного расширения равна нулю, каковы бы ни были условия и каковы бы ни были силы, приложенные к среде.

Иначе говоря, в соответствии с уравнением (10) объем любой части среды, рассматриваемой в своем движении, остается постоян­ ным, так как

Согласно (51) полная производная от р равна нулю и, следова­ тельно,. объемная плотность в любой материальной точке остается постоянной.

Может случиться, что р не будет постоянно во всей среде*,

* Любую жидкость можно рассматривать как несжимаемую; среду, состоя­ щую из двух несмешивающихся жидкостей, будем, таким образом, считать не­ сжимаемой. Но в некоторый фиксированный момент значение объемной плотности будет меняться в зависимости от того, принадлежит данная точка той или иной жидкости.

но еоли в некоторый данный момент р имеет одно и то же значе­ ние р0 во всей среде, тогда р = р0 в любой точке и в любой момент времени.

При этом все время предполагается (если не оговорено против­ ное), что все сказанное выше верно только для несжимаемых сред. Тогда уравнения

P(*i> ** % 0 = Ро, div U=0

удовлетворяют одновременно определению несжимаемости и уравне­ нию непрерывности для данной среды.

Замечание. Если среда не является несжимаемой, то ее естест­ венно назвать сжимаемой.

Может оказаться, что в некоторых особых случаях при специаль­ ных условиях сжимаемая среда будет участвовать в движении, для которого условие (56) выполняется в любой точке и в любой момент времени. Такое движение называют иногда изохорическим.

II.4.5. Функция тока для плоскопараллельных и осесимметрич­ ных стационарных движений. Определение, данное в п. 1.1.2, рас­ пространяется и на динамику: движение является стационарным (установившимся), если все величины (кинематические, кинетические и динамические), характеризующие состояние среды в переменных Эйлера xi9 я*, х8, t, не зависят от времени. Тогда все частные про­ изводные этих величин по времени (если в качестве независимых величин выбрать эйлеровы переменные) будут тождественно равны нулю. В частности, уравнение неразрывности для стационарного движения запишется в виде

Иначе говоря, векторное поле рU консервативно.

В этом случае уравнение (57) дает возможность уменьшить число определяемых функций. Покажем это в важном частном случае* плоскопараллельных и осесимметричных движений.

Движение называют плоским и параллельным некоторой плос­ кости Р, если в любой момент времени все векторы скорости парал­ лельны данной неподвижной плоскости Р, а все механические харак­ теристики остаются инвариантными относительно переносов, нор­ мальных плоскости Р. Обозначим через х и у декартовы координаты

по оси х3.

Движение называется осесимметричным относительно фиксиро­ ванной оси Ох, если все векторы скорости лежат в плоскостях, проходящих через эту ось, и все механические величины остаются инвариантными при вращении вокруг оси Ох.

Обозначим через Ох и Оу (у>0) две взаимно перпендикулярные оси на меридиональной полуплоскости, через ft —единичный вектор

* Общий случай приводится в П.11.6.

L Pи n d v = [ c (2ny)mpU

причем положительное направление обхода контура С получается поворотом вектора п на угол + п /2, ds —часть дуги С.

Если движение стационарно, а контур С замкнут и вырезает площадку а на плоскости Оху, тогда все приведенные выше выра­ жения тождественно равны нулю, что следует также из теоремы Гаусса—Остроградского, в соответствии с которой

какова бы ни была поверхность а на плоскости Оху. Согласно основ­ ной лемме

Это уравнение эквивалентно уравнению (57) для случая плоско­ параллельных или осесимметричных движений. Из этого уравнения следует также тот факт, что выражение ру'п (и dy —vdx) является полным дифференциалом, и, следовательно, должна существовать некоторая функция, которую мы обозначим через р Д (х, у) (р0 по­ ложительная постоянная, размерность которой совпадает с размер­ ностью объемной массы), определяемая с точностью до аддитивной постоянной, для которой

Итак, можно написать

Функция ^(х, у) является, по определению, функцией тока ста­ ционарного движения (плоскопараллельного или осесимметричного).

Уравнения (61) показывают, что обе неизвестные функции и и v могут быть заменены одной функцией 4f.

Линии 4*= const являются линиями тока на плоскости Оху. В более общем случае, когда С —некоторая дуга на этой плоскости, соединяющая две данные точки А и В, величина

(2п)"Ро{Ч (В)-Щ А)}

равна потоку массы через поверхность 2 (направление п на кривой С получается при вращении касательной, направленной от Л к В на угол —-JI/2 (рис. 11). Данный результат является прямым следствием уравнений (58) и (60).

Эти выводы распространяются на случай движения несжимаемой среды независимо от того, является движение стационарным или нет,

Для доказательства леммы достаточно рассмотреть одночленную форму (при­ нимая во внимание линейность дифференциальных форм и операций интегриро­ вания и дифференцирования)

со = <р (a, /)dfli A ... A da,,.

При изменении t многообразие V остается фиксированным. Производная от