Курс механики сплошных сред

Определить вискозиметрические функции данной жидкости.

Пусть данная жидкость

течет

между двумя цилиндрами Та и Г&,

радиусы

которых соответственно а и Ъ. Цилиндр Га

неподвижен, а

цилиндр

Г& вращается

с постоянной угловой

скоростью Q.

Пусть

соотношение,

связывающее

Q с мо­

ментом М пары сил,

которые

следует прикладывать к цилиндру

Г&, имеет вид

31. Каким образом можно

использовать

формулу

(73) для

определения

функ­

ции К (S),

если известны a, b, Qa, Й& и М?

Сначала

рассмотреть случай,

когда

разности

радиусов (Ь—а) и угловых скоростей вращения Q =

очень малы.

В общем случае,

положив

С (y) = 4na2yF' (2ла2у),

где Q (М) = F (М) — функция,

определяющая

Q в зависимости

от М при

фикси­

рованных

а и Ь,

показать

справедливость соотношения вида

к(У)— Ъ(УУ) = С (у).

Затем получить

функцию

к (S)

в виде разложения в ряд.

32.

Изучить течение

жидкости Бингама в

круговой

трубе и подтвердить

справедливость формулы (79).

а__

ahl

а \+ а \

если

уравнение прямого сечения 0 = 0.

Предположим, что аг < а2.

Найти

жест­

кость

на кручение. Показать,

что если

k— предел упругости среды

при

чистом

момента,

который можно

приложить, не превышая предела

упругости?

Срав­

нить

найденное

решение с

решением задачи (IX ,8).

4. Кручение

круглого

вала с

желобом. Поперечное

сечение— область,

опре­

деляемая

неравенствами

(*i — a)2- \ - x t^ a 2, x l - \ - x t ^ b ( b < a ) .

Положить

х±=

= r cos ф,

* 2= /'sIn<p. Показать, что

0 = С (Ь2—г2) (1 —2а (cos ф/г)),

где

С— подлежащая определению

постоянная. Какие

точки

первыми

дости­

симальное

значение

крутящего

момента,

который

можно

приложить,

не

пре­

вышая

предела

упругости. Каково предельное

значение этого

момента,

когда b

стремится к нулю? (Оно равно

половине

крутящего момента

для

круглого

вала

без желоба.)

5.

Кручение цилиндрической

трубы.

Поперечное

сечение

ограничено

кон­

центрическими

окружностями радиусов

а и b

(Ь <

а). Показать,

что жесткость

на

кручение

равна

1/2лр,(а4— b4).

Каков

максимальный

момент,

который

можно

приложить

не превышая

предела

упругости?

6. Из решения

задач

на

кручение

видно, что сечения

вала

(первоначально

плоские в

естественном

состоянии)

принимают

вид

изогнутой поверхности,

причем линиями уровня являются линии

ф = const.

Изучить

форму

этой по­

верхности

для

случаев,

когда

поперечное

сечение— эллипс

и

равносторонний

треугольник. Изучить

для

этих

двух

случаев

линии

0 =

const

(они

касаются

вектора напряжения на площадке с нормалью е8).

7. Кручение вала, имеющего форму тела вращения. Пусть ось вращения

совпадает с осью х8, перемещение точки

М

нормально

меридиональной

пло­

скости,

проходящей

через М, и его величина

v зависит

только от расстояния г

точки М от оси Xg и от

координаты

х3. Вычислить компоненты

тензора напря­

жений

в

функции

от v(r,

лгз).

Показать,

что существует

функция

F (г,

х8),

область

5 . Будем считать, что известны: а) объемные силы //

внутри области 5;

б) поле

геометрических

перемещений Х{ на связной части 2

границы dS, опре­

деляемое заданным торсором {Ь};

в) в любой точке части, являющейся

дополне­

нием 2

до границы dS,

известны

некоторые характеристики

величин

или Xi%

задача имеет

единственное

решение.

Показать,

что

поверхностные

силы F( на 2 — аффинные

функции

элементов

приведения торсора

{Ь}

в некоторой

точке. То же

очевидно,

справедливо и для

торсора

[<|П, определяемого поверхностными силами Fit

Выявить смысл коэффи­

циентов аффинных функций, которые описывают данную зависимость.

Рассмотреть

эту

задачу

для

случая, когда

пункт

б)

записывается так:

на

части

2

перемещения

определяются

некоторым заранее

не

заданным

торсором,

а поверхностные силы

определяют

некоторый

известный торсор [<fp]. Условия

а)

и в) остаются

без

изменения. Показать, что

в таком виде

задача имеет

одно и

только одно решение.

10.

Попытайтесь сформулировать на основе примера,

рассмотренного в за­

даче 9,

общее определение регулярной задачи, которая необязательно является

локально регулярной.

И . Рассмотрим упругий массив, занимающий полупространство

5

с высвер­

ленной

полусферой:

* з ^ 0 , r ^ R

(г2 = Х 1 -(-Х 2 + * з)«

Объемные усилия // по предположению

равны

нулю. Часть

граничной

поверх­

ности,

задаваемую соотношениями х3 = 0 и г >

обозначим

через

2 ^. Другую

часть граничной поверхности, представляющую собой полусферу

г = /?, — через 2 Q.

Пусть

Ar= grad G . Показать,

что

функция G — гармоническая. (Можно

использо­

вать

результат,

полученный

в задаче

VI,9.)

В

точке Р поверхности

2^

найти

компоненты поверхностных

усилий

F„ и компоненты усилия

FQ в точке Q полу­

сферы

2 Q в

виде

функции

X/ и

производных

от

G. Рассмотреть,

в

частности,

случай

G = a log (хз+ г),

где

а —-некоторая

постоянная.

Показать,

что

торсор

<Xi = g,is»

= 23» X3 = gt83— a&g,

F —

I м В 6 X+ l 6 V е *

f Q - - R XiQ)+w - T + l T W -

13.

Используя результаты задач 11 и 12,

определить в массиве 5

поле

пере­

мещений в предположении, что FP= 0 на 2^

и что

усилия,

приложенные к 2 Q,

определяют торсор,

эквивалентный торсору силы gr = Ae3 (А — некоторая извест­

ная константа). Рассмотреть переход

к пределу

при

R — ►0

и объяснить

физи­

ческий

смысл полученного

результата.

14. Исследовать условия равновесия цилиндрического резервуара, ограни­

ченного

двумя цилиндрами, радиусы

которых

а

и b

(а < Ь),

Применив для

этого

метод,

описанный в Х.1.7. Предполагается, что

перемещение

происходит

строго

в радиальном направлении. Внутреннее давление обозначаем через Р.

Ответ.

ог = А

В_

10 = Л+Т2'.

ЗА

. В

г2

6 = 2 (3/С+|х) г_1_ 2р.

где

(62— а2) А = Ра2,

(Ь2— а2) В = Ра2Ь2.

15.

Рассмотрим

предыдущую

задачу,

предполагая на этот раз, что внешняя

поверхность

г = Ь большого цилиндра имеет

подкрепление из упругого материала,

такое, что действующие на поверхности усилия

пропорциональны

перемещению.

Принять

bor (b) = —m\(b), где

т — некоторая

постоянная.

Определить

переме­

щения и поле напряжений в резервуаре.

Рассмотреть частные случаи

т = 0

и т = оо и интерпретировать

полученные

результаты.

в задаче 14,

если постоянные А и В определить

Ответ. Ответ тот же, что и

из равенств

{Ь2— а2) А = Ра2 (1— 6),

(b2—a2)B = Pa2(b2—a2b)t

где

б = (3/С+4ц) Ь2т {2II (ЗУС+р) (Ь2- а 2)+ т [(З/С+ц) a2+3\ib2)} - К

16.

Имеется сферический

резервуар

( г ^ р С /? ) из

вязкоупругого

материала,

модуль

релаксации

которого

при

объемном

расширении — постоянная

величина,

а модуль

релаксации

удлинения

при

чистом

растяжении

описывается

трехпара­

метрической

моделью.

радиального

смещения сферы

в двух

следующих

случаях

Найти

изменение

(Р — внутреннее давление):

t >

Р (t) =

PQconst

0 < t <

а)

P(t) = 0 при

/ < 0

и при

/0;

при

/0;

б) Р (/) = 0 при

/

<

0;

Р (t) =

Р0sin со/ при t > 0.

17.

Сферический

резервуар

составлен

из

упругой

оболочки

(а ^ р е ^ Я ) и

сферического слоя ( г ^ р ^ а )

из

вязкоупругого несжимаемого

материала, модуль

релаксации

удлинения

которого

при

чистом

растяжении

описывается трехпара­

метрической

моделью. Внешнее давление

равно

нулю

(при

р ^ /^ ),

а внутреннее

Р (0 известно. Предполагается, что оболочка

и сферический

слой

плотно

приле­

гают друг к другу, так

что

перемещения

непрерывны. Укажите

путь

решения

задачи.

Найти решение в явном виде для

некоторых

характерных

частных

случаев.

цилиндрического

резервуара,

о котором идет

18

Вернемся к рассмотрению

речь в задаче 14, предполагая на этот

раз,

что среда — вязкоупругая. Предполо­

жим также,

что модуль

релаксации

при объемном

расширении

К — постоянная

Найти изменение толщины трубы как функцию времени 6 (t)

при Р = 0 для зна­

чений

/« ^ 0 .

При / > 0:

а)

P(t) = P0\

если

2пТ < t <

(2я + 1 )Г ,

б)

/Р ( /) = Р 0,

\Р (/)= = 0,

если

(2п-\-\)Т

< I < (2п-\-2)Т,

Т — некоторый заданный отрезок

времени, п— целое положительное число

или

нуль. Найти составляющую 6 (f) функции б (/),

превалирующую при очень боль­

ших значениях времени

t\

__

в)

Р (/) = Р0sin со/,

найти доминирующее

значение б (/)

функции 6 ( 0

при

очень больших значениях времени t.

Что можно сказать

о коэффициентах ряда Фурье функции S (/)?

22. Продолжим

исследование

сферического резервуара,

изготовленного

из

значениях Р и R упругое

решение,

полученное в задаче

20,

будет пригодно

во

всей области?

24. Предполагая

процесс

квазистатическим,

исследуем

пластическое

течение

жесткопластической

среды,

закон поведения которой определяется потенциалом

Мизеса. Течение, по предположению, плоское

(координаты — х

и у\ составляющие

скорости— и

и и).

Объемными

силами

пренебрегаем.

Среда

заключена

между

недеформирующимися плоскостями

Р (y = h)

и

Р' (£/= — Л),

которые

находятся

в поступательном движении,

параллельном оси Оу, со скоростями соответственно

— с и

-f-c. Предполагается

далее, что вдоль этих

абсолютно жестких

плоскостей

касательная

составляющая

вектора

напряжения

достигает максимально

возмож­

ного значения.

что сг12 зависит только от у.

а) Определить напряжения, предполагая,

б)

Предполагая,

кроме

того,

что v

также

зависит

только ют у ,

определить

поле

скоростей, возможное

при

данных

напряжениях

(показать в частности,

что

о12 и v— линейные функции переменной у).

в) Дать

физическую интерпретацию полученного решения.

Предисловие к русскому изданию

5

Введение .

6

Глава I. Основные понятия механики

12

Содержание г л а в ы ..........................................

. . .

12

1.1. Кинематика. Аналитическое описание движущейся системы

12

1 .2. Первые понятия кинетики

25

1.3. Определение внешних сил .

27

1.4. Основные принципы динамики

............................................................................

32

1.5. Законы поведения

связей, наложенных

на деформируемую

систему аб­

солютно твердых т е л ..............................

36

1.6. Заключение и обзор последующих глав

37

Глава II. Законы сохранения в физике сплошных сред. Сохранение массы

3&

Содержание главы . . .

38

11.1. Полные производные..............................

39

11.2. Основная лемма физики сплошных сред

46

11.3. Общие следствия закона сохранения

47

11.4. Законы сохранения массы

54

Д о п о л н ен и е ...............................................

. .

.

59

11.5. Вывод формул для субстанциональных (полных) производных

59

11.6. Функции тока для стационарного трехмерного движения

62

Глава III. Сохранение количества движения.Тензор напряжений

63

Содержание г л а в ы .....................

63

II 1.1. Применение общей теории

.................

65

II 1.2. Локальные свойства тензора

напряжений

71

II 1.3. Некоторые важные примеры

78

Дополнение . . . .

.

79

II 1.4. Другое геометрическое представление

тензоров напряжений .

79

II 1.5. Представление полей напряжений через функции напряжений

81

111.6. Средние значения компонентов тензоранапряжений

83

Глава IV. Мощность

внутренних

усилий.

Тензор

скоростей

деформаций.

Закон сохранения энергии

84

Содержание г л а в ы ..................

84

84

IV.I. Возможная мощность внутренних усилий

IV.2. Тензор скоростей деформаций

87

IV.3. Закон сохранения энергии

91

IV.

4. Заключение

94

Глава V. Деформации

95

Содержание г л а в ы ..............................

95

V .

I. Линейное касательное преобразование

96

V.2. Тензоры деформации..........................................

. .

101

V.3. Другое определение тензора скоростей деформаций

102

V.4. Малые деформации

103

Дополнение

112

V.5. Использование переменных Лагранжа . .

112

V.6. Производные по времени вектора и тензора

115

V . 7.

Общий формализм линеаризации

117

Глава VI. Законы поведения (чисто механические явления)

120

Содержание главы

.

120

V I.

1.

Общие принципы

121

VI.2.

Жидкости . .

124

VI.3.

Упругие

среды . . .

128

VI.

4. Другие примеры законов поведения

133

Глава VII. Основные понятия термодинамики сплошных сред

138

Содержание главы

..........................

138

VII. 1.

Второй

закон термодинамики............................................................

140

VII.2. Метод локального

состояния. Термодинамический потенциал .

. .

143

VII.3. Метод локального

состояния. Формулировка дополнительных законов

147

V II.4. Независимость

термической

и внутренней диссипации. Закон тепло­

проводности ..........................

158

VII.

5. Заключительные замечания

160

Глава VIII. Законы поведения (термомеханические эффекты)

161

Содержание г л а в ы .......................................

161

VII 1.1. Классические сжимаемые жидкости

162

VII 1.2. Гиперупругие

среды . . .

166

VIII.

3. Линейная теория

упругости

172

VIII.4. Термоупругость...............................................

175

VII 1.5. Вязкоупругие среды

Кельвина— Ф о й х т а .......................................

178

VIII.6. Двойственная

формулировка. Вязкоупругие

среды Максвелла . . .

180

VIII.7. Введение скрытых параметров. Вязкоупругая модель с

тремя пара­

метрами

........................................................

183

VIII.8. Упруго-идеально-пластические среды

188

VIII.

9. Вязкопластические среды

198

Глава IX. Простейшие задачи механики жидкостей

199

Содержание главы . . .

199

IX .

1. Статика ж идкостей ....................................

200

IX.2. Стационарные вискозиметрические течения . .

204

IX.3. Некоторые

примеры неустановившихся течений . . .

213

IX.4. Вискозиметрические течения неньютоновыхжидкостей

219

IX.5. Вискозиметрические течения жидкости Б и н га м а ..................................

225

IX .

6. Устойчивость

течений. Существование турбулентных

режимов

(нью­

тоновы

жидкости)

227

Глава

X. Элементарные

задачи,

иллюстрирующие

поведение

твердых

тел

231

Содержание главы

231

X .

1. Классические задачи теории упругости......................................................

232

Х.2. Простейшие задачи теории пластичности (упруго-идеально-пластические

среды) .

.

252

Х.З. Простейшие задачи теории вязкоупругости

265

Х.4. Заключение

276

Приложения

.

278

Приложение I. Векторы и тензоры

278

П1.1. Аффинное

эвклидово пространство

278

П1.2. Т е н зо р ы ..................................

283

П1.3. Тензор

ориентации (базиса)

290

П1.4. Тензоры второго

р а н г а ..................................

293

П1.5. Формулы векторного и тензорного анализа

303

Приложение

II. Понятие о

выпуклых множествах

и выпуклых функциях

310

ПП.1. Простейшие определения и свойства

310

ПН.2. Выпуклые функции одной действительной

переменной

(я = 1 )

314

ПН.З. Выпуклые функции нескольких действительных переменных

319

Приложение III. Термостатика систем с конечным числом параметров

327

Содержание

327

ПШ .1. Определение термостатической

системы

328

П1Н.2. Первое начало термодинамики...................................................................

331

ПН 1.3. Второе начало термодинамики

(простая

замкнутая система)

332

ПШ .4. Системы, находящиеся в термическомравновесии

335

ПН 1.5. Потенциалы ................................................................................

ПН 1.6. Характеристика естественных

процессов

342

ПШ .7. Свойства выпуклости потенциалов

344

Библиографический комментарий

354

Приложение IV. Формулы в цилиндрических

и

сферических

координатах

355

П1У.1. Цилиндрические координаты г, 0, z (рис.

1)

355

П1У.2. Сферические координаты г, 0, ф (рис. 2)

356

Задачи

359

Глава

1

359

Глава

II

362

Глава

III

366

Глава

IV

369

Глава V

374

Глава

VI .

378

Глава

VII

380

Глава

VIII

382

Глава

IX

386

Глава

X

392

ИБ № 3248

Изд. № ОТ—352

Сдано в набор 07.02.83.

Подп. в печать 07.07.83.

Формат 60X90Vie* Бум.