Курс механики сплошных сред

VIII.2.4. Изотермические и изоэнтропийные движения упругой среды. Энергия деформаций. Как было сказано выше, процесс, происходящий в упругой среде, называется изотермическим, если температура остается постоянной, т. е. Т = ТВ. В этом случае сво­ бодная энергия ф, описываемая уравнением (16), зависит только от компонентов тензора деформаций Грина —Лагранжа; то же можнр сказать и об уравнениях, отражающих законы поведения, например (20). В этом случае обычно говорят, что функция щ(Ь), определяе­ мая уравнением

энергию деформации частицы, отнесенную к единице объема исход­ ной конфигурации.

Если эта функция известна, то можно описать механическое по­ ведение среды. Диссипация тогда тождественно равна нулю, а урав­ нение энергии не связано с другими уравнениями, так как только в этом уравнении фигурирует приток теплоты. Здесь идет речь об

проводности Фурье (21), можно заметить, что этот случай рассмат­ ривается как предельный, когда коэффициент теплопроводности k стремится к бесконечности.

Другой случай отсутствия взаимосвязи между этими явлениями — адиабатные процессы —также предельный, когда коэффициент теп­ лопроводности равен нулю. Здесь предпочтительнее основываться не на свободной энергии ф(Г, L), а на внутренней энергии e(s, L), которая также позволяет дать полное описание термодинамических

Этот вывод, полностью аналогичный данному выше выводу для общего случая, дает возможность выявить упрощения, вытекающие из пред­

как обычно, г = О, так что уравнение (VII. 15), эквивалентное энер­

гетическому уравнению, в нашем случае -^- = 0.

Итак, энтропия частицы, прослеживаемой в ее движении, оста­ ется постоянной. Если допустить, что энтропия исходной конфигу­ рации остается постоянной, то отсюда будет следовать, что энтро­ пия всей системы также остается постоянной при движении, назы­ ваемом изоэнтропийным, и равной, например, s0. В этом случае при­ ходится также вводить энергию деформации (на единицу объема исходной конфигурации)

которая позволяет полностью описать механическое поведение среды. Разумеется, энергия объемных деформаций одной и той же среды при изотермических процессах и энергия объемных деформаций при изоэнтропийных процессах являются функциями от L, вообще говоря,

различными.

Итак, в адиабатном случае уравнения движения фактически не связаны с уравнением энергии. Обратим внимание на то, что здесь имеется аналогия с движениями идеальных жидкостей. Впрочем, идеальную жидкость можно рассматривать как особый случай гипер­ упругой среды (если отказаться от предположения о существовании естественного состояния). Как и в случае идеальной среды, можно показать, что значения удельной энтропии в «тылу» фронта удар­ ной волны больше ее значений перед фронтом ударной волны.

VII 1.3. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

Как уже отмечалось в VI.3.3, можно построить линеаризован­ ную теорию упругости, справедливую лишь в асимптотическом смысле для малых возмущений, но которая в силу своей простоты будет полезной для многих приложений. В этом случае в соответствии с общими указаниями, данными в V.4.5, можно заменить LaP на ety—

компоненты тензора деформаций при малых возмущениях, а ^ j r -—

на Dij.

V III.3.1. Законы связи напряжений с деформациями. Будем счи­ тать, что справедливо предположение о существовании естественного состояния. Если ограничиться изотермическими или изоэнтропийными процессами, когда существует удельная энергия деформации,

будут эквивалентными, бесконечно малыми. Следовательно, их можно считать равными при любых Dy и равными удельной энергии де­ формации частицы или, с точностью до знака, удельной мощности

внутренних сил. Итак, имеем соотношение

dw

СТ'У ~ дъ.

которое можно установить также путем непосредственной линеаризации одного из точных законов поведения, например (19).

ции w{BiJ) достаточно выбрать форму, квадратичную по переменным е/у., которая в соответствии с известными результатами термоста­ тики должна быть положительно определенной.

Постоянные aijhk, называемые упругими постоянными среды, — суть компоненты тензора четвертого ранга—тензора модулей упругости среды. Они удовлетворяют соотношениям симметрии

Из этих соотношений следует, что правая часть (33) представ­ ляет собой общую квадратичную форму от шести независимых пе­ ременных е^у, имеющую, как это легко проверить, 21 различный

коэффициент (квадратичная форма m-го порядка имеет т(т^~ ^ неза­

висимых коэффициентов). Таким образом, согласно (32) закон пове­ дения запишется в виде

Отметим также тождество

(36)

° '=ST (W

Заключение. В общем случае в линейной теории упругости удель­ ная энергия деформации представляет собой квадратичную положи­ тельно определенную форму компонентов B{j (33), поведение среды при этом определяется равенством (32) или (35). Эти законы, опре­ деляемые 21 упругим модулем с размерностью напряжений, образуют тензор четвертого ранга, называемый тензором модулей упругости среды.

V III.3.2. Двойственная формулировка. Уравнение (35) можно разрешить относительно 8,-у и выразить последние как линейные функции ъ(] (так как квадратичная форма (33) положительно опре­ делена), определив тем самым некоторую функцию ср(сг/у), для ко­ торой

закон содержит слагаемое, пропорциональное разности температур 0, которая и вызывает тепловые напряжения.

Формулы (45) и (46) и закон теплопроводности (закон Фурье) определяют законы поведения в теории термоупругости. Представ­ ляют интерес вытекающие из этих законов выражения для термо­ динамических функций. Для функции свободной энергии имеем

р0dip= — p0s d r + ои de,7 = — p0s dT —3/Ca9 de, +

+ -id[>.e,7e// + 2pel7 eiy],.

или

где через до(е,7) обозначена плотность энергии деформации при по­ стоянной температуре Г 0, а через е,—первый инвариант е. Величина р0ф—w является функцией от Г и инвариантов е„ еп, еш , и по­

Отсюда легко выводится выражение для плотности внутренней энергии

Эта формула позволяет дать физическую интерпретацию функции h(T). Величину дв (Г, е<7) называют удельной теплоемкостью при

постоянных деформациях; она равна количеству теплоты (в обрати­ мом процессе); полученной единицей массы при повышении темпе­ ратуры на один градус при постоянной деформации. Обозначим эту величину через Се. В среде, для которой внутренняя энергия за­ дается уравнением (5), Се зависит только от температуры, и поэтому, зная функцию Се(Г), можно принять

р0Ce = Th"(T),

h'(T) = p ^ T' ^ d T \ T h '(T )-h (T ) =

и получить в явном виде уравнения (45), (46) и (47).

Заключение. В классической теории термоупругости законы по­ ведения определяют напряжения двумя упругими константами (X, р) или (.Е, v) и коэффициентом линейного расширения а (все эти вели­ чины предполагаются постоянными); приток теплоты —коэффициен­ том теплопроводности k в законе Фурье, который также предпола­ гается постоянным. Если, кроме того, известна функция Се(Т), задающая удельную теплоемкость при постоянной деформации, то можно получить выражение для термодинамических функций е, ф, s.

Замечания. 1°. Так как функция h (Г) не влияет на законы поведения, то зависимости (46) можно было бы получить непосредственно, исходя из выражения для ф в виде полинома второй степени переменных е,у и 0. Можно было бы,

ния поведения физической системы. Первый путь, в основном дедуктивный, пред­ полагает известным термодинамический потенциал (в частности, именно это было сделано в VII 1.1 и V III.2); зная термодинамический потенциал, можно построить законы состояния. Практически именно законы состояния и в более общем случае законы поведения легче проверяются в экспериментах. Предполагая эти законы известными например (46), используют затем законы термодинамики для опреде­ ления термодинамических потенциалов и получения дополнительной информации. Именно этот второй путь был использован выше.

Можно провести аналогию между использованием здесь начал термодинамики и двойственным применением фундаментального закона в классической динамике. Из наблюдения некоторых видов движений можно сформулировать законы о силах — пример теории гравитации в этом отношении особенно впечатляет. Если же известны

изотермическими и адиабатными процессами. Если ограничиться для простоты

Закон поведения, таким образом, аналогичен закону, который берется за основу при изучении изотермических процессов. Модуль сопротивления сдвигу (второй коэффициент Ламе) имеет одно и то же значение в обоих процессах. Зна­ чения же первого коэффициента Ламе для этих двух процессов различны— в адиа­ батном процессе, он, как правило, больше.

Читатель получит более детальное представление об этой проблеме, разбирая задачи 13 и 14. Из них станет видно, что модули упругости в адиабатных про­ цессах просто выражаются через модули упругости изотермических процессов и отношение Се /Са удельных теплоемкостей соответственно при постоянных дефор­ мациях и постоянных напряжениях.

исходной конфигурации составляют полную систему термодинами­ ческих переменных, а термодинамические свойства описываются зада­

Это выражение аналогично форме 2Х аУа, причем в качестве аргу­

Тогда из общей теории можно вывести следующий закон поведения:

и LaP. Наконец, чтобы замкнуть систему и определить для нее допустимые термодинамические процессы, следует написать закон Фурье, связывающий приток теплоты с градиентом температуры

(VII.4.2).

Ограничимся для простоты линеаризованным вариантом предыду­ щей теории, выбирая в качестве исходной конфигурации естествен­ ное состояние, свободное от напряжений, и считая среду изотропной [как и квадратичную форму (53)], а процессы —изотермическими.

р0г|)= ш (е,7).

задающие совместно с температурой Т состояния системы, совпадают с деформациями; в этом случае сопряженные переменные г]р, опре­ деляемые уравнениями (VII.9), имеют смысл механических напряже­

должны быть определены из дополнительных законов. Двойственный

менных и что можно ввести термодинамический потенциал £2(7*,%,