Курс механики сплошных сред

и да (х', s) являются двумя решениями уравнений (24), которые при s = si при­

нимают одно и то же значение х" [согласно (26) и (28)]; следовательно, в силу теоремы единственности они тождественны. Если положить s2 = s— si, то будем иметь

ИЛИ

© (•» $г) О © (Х» Sl)=® (x/, Si4-Sa),

что как раз является групповым уравнением. Можно проверить, что это соотно­ шение переходит в (7), если положить согласно (23) и (27):

так как, полагая xl = t", будем иметь Si = f"— t't s2=-t— Г.

Замечание. Преимущество записи системы в форме уравнений (24) заклю­ чается в том, что становится очевидной инвариантность решения относительно изменения переменной s. В случае стационарного движения система (16) сама является инвариантной при трансляции по переменной t. Рассуждения можно вести теперь непосредственно с точки зрения системы, не прибегая к замене пере­ менных по формулам (23). Отсюда вытекает следующий результат [такой же вы­ вод, впрочем, можно сделать, заметив, что переменная х4 не фигурирует в правых частях уравнений (24) и, следовательно, в функциях да]: движение является ста­ ционарным тогда и только тогда, когда функция ijf имеет вид

Итак, мы рассмотрели три способа аналитического описания дви­ жения некоторого объема среды. Непосредственное описание, осно­ ванное на понятии группы и функций <Ff, является исчерпывающим, но неудобным для выкладок. На практике предпочитают иметь дело с методом Лагранжа и методом Эйлера; эти последние используют три скалярные функции четырех независимых скалярных аргумен­ тов. Метод Лагранжа хорош тем, что следит за частицами среды, траектории которых получаются автоматически. Метод Эйлера, скорее косвенный, основан на использовании тех переменных и функций, которые имеют физический смысл в текущей конфигурации S* и поэтому употребляется весьма часто. Однако, как было показано, оба метода эквивалентны приведенному вначале аналитическому опи­ санию движения с помощью функций ¥

1.1.5. Движение абсолютно твердого тела. Торсор скоростей.

Обозначим через S некоторое абсолютно твердое тело, движущееся относительно системы отсчета 91. Тело можно отнести к некоторой сопутствующей ему и жестко связанной с ним ортонормированной системе отсчета 91 *. Координаты х\ точек М тела в сопутствующей системе 9L* будут постоянными во времени t и составят вместе с ним лагранжевы переменные. По определению, преобразования П (t\ t) являются изометрическими. Формулы, задающие координаты точки М в 91 в некоторый момент времени, будут, таким образом, фор­ мулами замены одной ортонормированной системы координат дру­ гой. Теперь движение абсолютно твердого тела может быть описано в переменных Лагранжа * (х* здесь играет роль переменной а):

где с (0 представляет компоненты некоторого вектора в 91, Р (t) — ортогональная матрица**; Рт — матрица, транспонированная Р:

где 1—единичная матрица. Точно так же некоторый вектор задается в системе 91 своими компонентами X h которые в сокращенной записи будем обозначать через X. В системе 91* этот же вектор будет иметь компоненты X* или X* Тогда, естественно,

что выразится через компоненты в виде

x? = p l7( o x y, x ,.= p ,,( o x ;,

если условиться использовать правило суммирования по повторяю­ щимся индексам, которые фактически являются немыми индексами (использование этих обозначений объяснено в П1.1.2).

Если вектор X жестко связан с S, то компоненты X] будут постоянными при изменении t и, следовательно***,

где

(35)

Матрица Q антисимметрична, так как, дифференцируя уравне­

*В уравнениях (31) приняты обозначения Рт согласно Ш , где сведены для справок все обозначения и выводы, касающиеся векторов, матриц и тензоров, используемых в книге. В то же время все выкладки сделаны таким образом, чтобы сведующему читателю не потребовалось при чтении заглядывать в выше­ упомянутую главу Ш .

**Само собой разумеется, что векторы и тензоры определяются в векторном

чить таким методом, который позволил бы легко сравнить их с результатами, по­ лучаемыми ниже для сплошных сред.

Это вторая основная формула кинематики абсолютно твердого тела. Говорят, что поле скоростей £/, удовлетворяющее уравнениям (41)

или (42), в некоторый заданный момент времени t для любой пары точек (Ж и Q) является полем торсора скоростей {Ь}. Вектор (о представляет собой вектор мгновенной угловой скорости в момент /, оператор % задает антисимметричный тензор мгновенной угловой скорости. Этот тензор в системе представлен матрицей мгновен­ ной угловой скорости Q. В некоторый фиксированный момент поле скоростей задается вектором мгновенной угловой скорости и векто­

дого тела, находящуюся в начале координат системы отсчета 5i, то

где Vi и Qij постоянны в фиксированный момент времени /, a Vt— компоненты вектора UQ в hi. В действительности Vt и являются функциями времени, а уравнение (43) дает эйлерово описание дви­ жения абсолютно твердого тела. Таким образом, получены основные формулы лагранжева (31) и эйлерова описания движения абсолютно твердого тела.

абсолютной скоростью; Ur (M)—скорость той же точки М в системе отсчета называемая относительной скоростью; CJe(M)—скорость относительно систем ZA той точки из ^i*, которая в данный момент совпадает с М\ эта скорость называется переносной скоростью.

В каждый момент поле переносной скорости Uе(М) представляет собой поле торсора скоростей, называемого переносом.

Аналогичным путем строится уравнение для сложения ускорений:

где ус (М) —дополнительное ускорение (ускорение Кориолиса), равное

тогда полная производная от К получается дифференцированием по времени функции /С, и при этом прослеживается объем © в его движении (т. е. функция зависит только от одного действительного переменного t). Формулы, по которым находятся полные производ­ ные, выведены в главе И.

1.2. ПЕРВЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕТИКИ

Кинематика строится на основе геометрии путем введения нового понятия—времени; кинетика, в свою очередь, строится на базе кинематики путем введения еще одного нового понятия — массы.

1.2.1.Определение массы. В механике сплошных сред масса

в любой момент времени t. По определению, масса некоторой части ©

ской механике. Тот идеальный мир, с которым имеет дело клас­

стной плотности, заданной на изучаемой поверхности. Точно так же

жеством нашей системы (называемым измеримым множеством) некоторое поло­ жительное число или нуль, и получаемое таким путем соответствие между измери­ мым множеством и неотрицательными действительными числами является полно­ стью аддитивным (мера конечного или счетного числа отдельных измеримых мно­ жеств есть сумма мер данных подмножеств). Данное выше определение является част­ ным случаем меры, когда эта последняя задается плотностью. Поскольку будем иметь дело с физическими моделями, представляется обоснованнььм опираться при их математическом описании на гипотезы об их регулярности, которые упрощают исследования, не нарушая при этом общности результата. Так, например, в общем

1.2.2. Закон сохранения массы. Закон сохранения массы —фун­ даментальный закон классической механики —формулируется сле­ дующим образом: масса любой части материальной системы, про­ слеживаемой в ее движении, остается постоянной во времени.

Этот закон показывает, что зачастую имеет смысл выражать интегралы, прибегая к распределению масс. Если, например, масса определяется на основе понятия объемной плотности* р(М), то

Таким образом, полная производная от интеграла, взятого по распределению масс по некоторому объему Й>, составляющему часть движущейся системы S, равна интегралу от производной.

Следствия, вытекающие из общего закона сохранения массы, будут даны в главе II.

1.2.3. Кинетическая энергия. Кинетическая энергия К (&)) объема

*Для простоты не используем переменную t в явном виде, если это не повлечет никакой путаницы.

**Не будем останавливаться на доказательстве этой формулы общей меха­ ники, которая после нескольких преобразований сводится к правилу дифферен­ цирования кратных интегралов, взятых по фиксированному объему.

Теперь стоит задача ввести новое основное для динамики поня­ тие-понятие сил, действующих на систему S. Не будем останав­ ливаться на коренном различии между внешними силами, действую­ щими на S со стороны других систем или их частей, и внутренними силами, называемыми иногда силами сцепления, так как эти силы чаще всего вызваны сопротивлением, которое оказывает среда ее деформации. На данном этапе ограничимся тем, что дадим матема­ тическое определение усилий, которые являются внешними для системы S; напомним два классических способа их определения. Предлагаемая схематизация не претендует на полноту и будет доста­ точной для приложений.

1.3.1. Определение внешних сил через поле сил. Классический путь определения усилия — обобщение понятия силы, действующей на материальную точку. Самый простой математический объект, который можно ввести для описания того, что прикладываемое уси­ лие имеет точку приложения, направление и интенсивность, это, очевидно, вектор.

Общее определение характеризуется заданием внешних сил в каж­ дый момент времени векторным полем /(М ) и положительной мерой со (или распределением фиктивных масс), заданной на системе 5. Тогда для такой меры f (М) будет плотностью сил.

Но в этой книге примем менее общее определение и ограничимся случаем, когда такая мера является либо распределением действи­ тельных масс в системе S —в этом случае говорят, что f (M) является массовой силой, заданной на системе S, либо мерой-объемом ее частей @)—в этом случае говорят, что f (M) есть объемная сила, задаваемая на системе, а также мерой площадей участков некоторой поверхности 2, принадлежащей S; тогда f ( M )— поверхностная сила, заданная на 2. И наконец, мера будет характеризовать длины отрез­ ков некоторой кривой L, принадлежащей S; в этом последнем слу­ чае принято говорить, что f(M) есть линейная сила, задаваемая на кривой L. Если же мера определяется конечным числом единичных фиктивных масс, размещенных в точках Р,, Р2, . . . , Рр, то внешние силы будут определяться как силы /(Р ,), . . . , f ( P p), приложенные

кS в точках Р,— эта ситуация типична для элементарной механики.

1.3.2.Определение внешних сил посредством виртуальной мощ­ ности. Существует еще -один путь моделирования сил, действующих на систему,— путь несколько обходной, но тем не менее вполне естественный. Когда хотят получить представление о весе чемодана, приподнимают его; если нужно получить представление о силах тре­ ния, тормозящих стоящую машину, пытаются подтолкнуть ее впе­ ред; когда желают знать силу натяжения приводного ремня, пробуют привести его в движение. Такова отправная точка нашего второго метода моделирования, заключающегося, как будет показано, в опре­ делении сил посредством виртуальной мощности, развиваемой этими

силами в виртуальном движении.

а) Виртуальное движение системы S. Рассмотрим систему S,

движущуюся в системе отсчета 54, и ее конфигурацию S* в некото­ рый фиксированный момент t. Говорят, что определено виртуальное движение системы в момент t в системе отсчета 54, если задано на

конфигурации Si векторное поле Ф. Векторы этого поля обозначим через U (М)\ U(M)—виртуальная скорость точки М .

Векторно-значная функция U(M) может иметь самый общий вид. Она отнюдь не должна удовлетворять кинематическим условиям, которые накладываются на поле действительных скоростей. Обычно предполагают, что она является кусочно-непрерывной на S*. Если рассмотреть другую систему отсчета 54* и другое векторное поле

Ф*, описывающее виртуальное движение S относительно 54*, то по­ лучим описание того же виртуального движения системы S при условии, что в каждой точке М выполняется равенство

где Ue(М) — переносная скорость точки М, т. е. скорость относи­ тельно 54 точки, жестко связанной с системой отсчета 54* и совпа­

дающей с М в момент t. Пространство V* виртуальных движений (системы S в момент t) является нормированным векторным про­

странством с элементами Ф; устанавливается непосредственно линей­ ность: ХФ(1) + рФ(2) = XU{1) (М) + \iU{2) (М). Нормой может быть, на­

U (М) и задается вектором f (М). Здесь приходим к определению силы, действующей на материальную точку.

2° Если действие 2 на S задается объемной плотностью /(М ),

Таким образом, равенство (50) определяет виртуальную мощность