Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс механики сплошных сред

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

20.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 402 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Вопросы, рассмотренные в курсе, должны в основном входить в курс механики сплошных сред, читаемый на втором цикле, если на этом уровне намечено приступить к изучению термодинамики сплошных сред. Последнее представляется желательным в той мере, в какой позволяют отведенные этой дисциплине часы. Согласимся, однако, что некоторые выводы следует отложить до прохождения дополнительного курса на уровне третьего цикла.

Программы различных технических вузов различаются достаточно заметно. Данный курс Может быть полезным для преподавания ме ханики на современном уровне как во введении в механику, так и

после предварительного изучения гидродинамики или курса сопро тивления материалов.

В заключение хочется сказать, что содержание предлагаемого курса должно быть составной частью того багажа знаний, которым должен обладать на уровне третьего цикла изучения механики каж

дый студент, каждый		инженер или будущий		исследователь, соби
рающийся	посвятить	себя одной	из многих	дисциплин механики
сплошных	сред. Именно поэтому		предлагаемая	книга задумана как

курс лекций, а не как учебник, который относился бы лишь к оп ределенной стадии обучения.

Невозможно перечислить здесь всех —коллег, ассистентов, сту дентов, которые помогли мне своими советами или весьма цен ными замечаниями. В особенности благодарю тех, кто взял на себя заботу прочитать отдельные главы рукописи. Я не могу не выразить благодарность Жану-Луи Арману, моему бывшему ассистенту в Стэн фордском университете, который доброжелательно и с большой пользой помог мне в столь трудной и неблагодарной работе, какой является чтение корректур.

Поль Жермен

П р и м е ч а н и е . Текст книги разделен на главы, параграфы и пункты. Главы обозначены римскими цифрами, параграфы — римскими в сочетании с арабскими; первые указывают главу, вторые— параграф в этой главе, цифры разделяются точками. Например, запись V.3.2 относится к пункту 2 третьего параграфа пятой главы. Главы в конце книги, где читателю напоминаются основные математи ческие формулы или даются дополнения, обозначены римскими цифрами, перед которыми поставлена буква П *.

Каждая глава имеет свою нумерацию формул и рисунков. Например, обо значение (28) отсылает к формуле (28) текущей главы, а обозначение (111,28), где после римской цифры поставлена запятая, однозначно говорит о формуле (28)

вглаве III.

Вконце книги читатель найдет задачи для каждой изученной главы. Указа


ние «Задача 3», которое				может встретиться в тексте, подразумевает третью задачу,
относящуюся		к данной		главе.			обозначений: векторы и тензоры
Мы старались			придерживаться следующих
даны	полужирным шрифтом,				компоненты в любой			системе координат	распозна
ются	по индексам;		матрица,		составленная из таких			компонентов и относящаяся
либо	к вектору, либо			к тензору,		обозначается	прямым шрифтом. По		аналогии,
совокупность		координат *ь			х2> *з	некоторой точки		в данной системе	координат
часто будем		обозначать		прямой буквой х.

От французского Rappel (повторение, приложение).— Прим, перев.

ГЛАВА I

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ

СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ

Несмотря на то что курс рассчитан на читателя, имеющего опре деленные познания в общей механике, представляется полезным напомнить в начале книги основные понятия, которыми оперирует механика при создании моделей исследуемых физических явлений. В этом кратком введении мы попытаемся осветить наиболее нужные для излагаемого ниже исследования движений сплошных сред мо менты.

В первом разделе при изложении основных положений кинема тики движущаяся система будет рассмотрена аналитически (что обычно не делается во вводных курсах кинематики), в итоге обыч ные выводы кинематики твердого тела будут изложены на языке

введенных понятий. Второй параграф отведен	кинематике.	Далее,
в разделе 1.3 схематизируем внешние силы, воздействующие		на си
стемы с помощью двух основных методов, что	приводите 1.4 к двум

фундаментальным принципам классической динамики. Наконец, в 1.5 изучается природа тех дополнительных закономерностей, которые приходится формулировать при изучении систем твердых тел. Это дает возможность поставить основные вопросы, ответ на которые служит основанием механики сплошных сред.

Большинство выводов дается без доказательств, и лишь торсоры скоростей твердого тела и торсоры действующих на него тел рас смотрены более подробно.

Двойственность скоростей и действующих сил, которая прояв ляется в понятии мощности, является существенной и обнаружи вает себя во всех выводах механики сплошных сред. Полезно вся чески подчеркнуть этот дуализм во всех выводах, касающихся клас сического случая механики твердых тел.

1.1. КИНЕМАТИКА. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖУЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ

1.1.1. Определение движения. Группа П (t', t ). Кинематика оп ределяет те пространственно-временные понятия, с помощью которых может быть описано движение. Классическая кинематика использует трехмерное евклидово пространство (соответствующее векторное про странство) и определение понятия времени (хронологию), основанное на существовании абсолютной одновременности, поэтому время может быть представлено некоторой действительной переменной t. В меха


нике точки, как и в механике твер
дого	тела,		необязательно			давать
определение движущейся системы,
настолько это понятие очевидно.
Не так обстоит дело с механикой
сплошных			сред.	Нам	предстоит		Рис. 1.	Транзитивность		отображе
изучить		системы,		сильно		меняю		ния	IJ
щие свою форму с течением времени							и той	же системой,		составлен
и остающиеся, тем не менее, одной
ной	из тех		же частиц, несмотря на все внешние различия. Таким
образом,		необходимо			дать	математический		анализ	зависимостей,

описывающих некоторую физическую ситуацию. Эта задача может быть сформулирована следующим образом.

Семейство множеств S', зависящих от времени /, можно		интер
претировать как	семейство S '-конфигураций некоторой движущейся
кинематической системы S тогда и только тогда, когда при		любых
t f и t существует	точечное взаимно однозначное отображение П (/', t)
множества S'' на	множество S', причем совокупность всех	отобра

жений образует непрерывную во времени группу*. Так как отобра жение t) точечное, то оно ставит в соответствие точке Мг множества S'' одну точку М' множества S'. Групповое свойство этого отображения может быть выражено следующими зависимостями:


	П(/, О—/.			(1)
	п (/', 0 = П (Г ,	ООП (Г, Г),		(2)
	П (/\ ООП (О 0		= Л	(3)
где	/ — тождественное отображение (S'		на S'). Второе соотношение
отражает транзитивность (рис. 1). Последнее соотношение,				являясь
следствием двух первых, говорит о том, что П(/, t') есть отображе
ние,	обратное П(/, /'). Семейство	подмножеств 3>х из S',		гомоло

гичных по отображению П (*0, t) некоторому подмножеству й>'°					из
S \ определяет		часть 3> движущейся	кинематической	системы	S.
Если	семейство	3>х рассматривать при переменном t,		то принято
говорить, что семейство 3> изучается			в движении. Введенные выше
точки	Мх задают кинематическую точку М из S (называемую также

частицей), точки М' могут быть истолкованы как последовательные положения изучаемой в движении частицы М.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы система S при любых t и V могла считаться с кинематической точки зрения абсолютно твердым телом, является изометрия отображения П(*', t). Кинематическая точка Р считается принадлежащей абсолютно твер дому телу S**, если система, состоящая из объединения S и Р, является также абсолютно твердым телом. Будем называть систе мой отсчета 51 совокупность точек, принадлежащих S таким обра зом, что S' содержит по меньшей мере четыре точки, не лежащие

*Практически эта непрерывная группа определяется в системе простран ство— время (1.1.4).

**Для простоты прилагательное кинематический в дальнейшем будет опу скаться.

в одной плоскости. Очевидно, что геометрия системы Si может быть и евклидовой.

Рассмотрим общий случай кинематической системы S. Говорят, что система S находится в равновесии относительно системы от счета Si, если все точки М из S жестко связаны с St. В противном случае говорят, что S движется в системе координат Si или нахо дится в движении относительно Si. Следует подчеркнуть, что точное определение движения любой системы требует задания системы отсчета, в которой она будет наблюдаться.

В системе отсчета Si удобно ввести точку О и ортонормированный базис eif е2, е3 (в дальнейшем для простоты, если только не будет оговорено обратное, будем рассматривать только ортонормиро-


ванные	базисы)	Ортонормированный			базис		определяет систему от
счета,	которую	также	обозначим через			St	и в которой	точка М1
в фиксированный момент времени t					определяется координатами хх,
х§, х9, задающими положение частицы М						в St. Отображение П будет
задано	в этом случае соотношениями				вида	(/= 1 , 2, 3)
		Х{ = ¥,• (xlf Хч,			х3, t	, t),		(4)
определяющими положение M* в момент t той частицы М ,								которая
в момент V занимала			положение М*' с координатами х\.					В общем
случае	функции	¥ t будут		предполагаться			непрерывными	и непре
рывно дифференцируемыми				по своим аргументам столько раз, сколько

это окажется необходимым для рассуждений. Часто соотношения (4)

будем писать в сокращенном		виде:
	х =	(Г (х',	/),				(5)
где под х	подразумевается	совокупность			трех	координат xv	х2, х3
или, иначе, матрица-столбец, состоящая				из	этих	координат.	соот
Функции	¥ i не могут быть заданы			произвольно, так как			соот

ношения (1) и (2), определяющие групповые свойства * отображения П,

могут

быть

записаны

в виде

(необходимые

и достаточные

условия):

x = f ( x ,

t),

(6)

#■(*',

<)=

*■(*■ (Х\

t',

о ,

t",

(7)

или

в другой форме

Г ( х \ Г, <) = *■(.,

Г, о О *■(*',

Г,

П-

С другой

стороны,

условие (3)

означает, что

если

х = ¥

(х',

/),

то

х' — ¥

(х,

V),

что

следует

из тождества

* = *■(•.

Г,

t ) Q ¥

(х,

V).

Заметим,

наконец,

что х'

и х"

являются положениями в моменты

t" одной и той

же частицы /VI,

если

только

существует такое

* Выше было сказано, чю условие (3) вытекает из (1) и (2), что легко проверястсн, если принять в (2) t'= t.

значение /,	при котором
		F (х\	Г, t) = F ( x \ t \		t)
верно при любом t.			Линия	испускания. Поле			скорости. Линия
1.1.2.	Траектория.
тока. Теперь мы введем (или напомним) некоторые							понятия кине
матики.				геометрическое место положений М*
Траектория частицы М —это
в системе	отсчета 5£ при		переменном t. Аналитически соотношения
				Ха, Х8, Т , 0.			(9)
где Х 1У Х2, Х8, Т		фиксированы,		параметрически		определяют траек
торию частицы М ,		которая в момент времени t находится в точке X .
Семейство	траекторий некоторой			системы S зависит, вообще говоря,
от трех параметров;		оно получается при постоянном Т и изменении X
в множестве ST. Линия испускания для данной						точки X в момент
времени Т есть геометрическое место.положений						х в этот же момент
тех частиц, которые прошли или пройдут через X в некоторый мо
мент t. Таким образом, линия испускания					задается параметрически
функциями	Xi(t):
		х ^ Г Л Х »		Х Ш9 Х3, f,	Г),		(10)
где значения X it Ха, Х3, Т фиксированы.						в момент V в х
Скорость в момент t частицы, находившейся
представлена вектором U, компоненты которого						в 51 определяются
соотношениями
		* Л = -З р -(х '. Г, 0-					(И)

Л\ожно показать, что это выражение не зависит от выбора точки Ми (х', /'), которая используется для определения траекторий М. В самом деле, при другом выборе Mtn (х\ t") можно написать [при нимая во внимание, что соотношение (8) удовлетворяется для всех f]

	- f 4 x ' , г ,			t", t).		(12)
Во	избежание путаницы	функцию	от	запишем как aF/(£i, i 2, ?8,
т', т), чтобы отличить ее аргументы			от	значений,		которые могут
принимать эти последние.		Компоненты	вектора		скорости U могут
быть в	этом случае выражены непосредственно				как	функции от х
и от t:
	U,(x,	< ) - J g - < x .	t,	t).		(13)

Точно так же получаем компоненты ускорения частицы М в си стеме отсчета 9L в момент t:

Vi(х, 0 = ^ - ( х . t, t).

(14)

Линии тока определяются для фиксированного момента t. В этот момент они являются линиями поля скоростей, т. е. линиями, каса-

тельная к которым в каждой точке параллельна вектору скорости. Таким образом, эти линии являются решениями системы дифферен циальных уравнений

	____ ______________ d*2_______					_____	/1С\
	и1	(*1, х2, х3, О	U2 (xl9 х2,	х9, 0	и з (хъ х2, х3, t) *		' '
в	которых t	фиксировано (играет,		таким образом, роль параметра).
Не	следует	смешивать	траектории	с линиями		тока. Первые опреде
ляют последовательные			положения	в разные		моменты времени. Из

определения скорости следует, что траектории являются решением

системы дифференциальных	уравнений
= “/(!. 2. *8. О,		(16)
в которых / — переменная	величина, и поэтому	их нельзя путать

[несмотря на сходство уравнений (15) и (16)] с линиями тока, кото рые являются линиями поля скоростей в некоторый данный момент

времени /.	стационарнымиели поле скоростей U{x, t)
Движение называется	стационарнымиели поле скоростей U{x, t)
не зависит от времени /.	Линии тока тогда определяются независимо
от / и не меняются с	течением времени. В этом частном случае

и линии тока и траектории представляют одну и ту же сетку кри вых. Они же представляют собой и линии испускания, что следует из равенства (30), приводимого ниже.

Пример. Пусть необходимо изучить течение жидкости, заданное в системе от счета 31 полем скорости:

=( 1--- ~5"C0S 2q>) ; I/,— Vo-51sln2<p; (/, = 0(


	хх=	г cos ф;		х2= г sin ф,
где R — заданная	длина; VQ— некоторая			заданная	скорость. Переменные г, ф, х3—
цилиндрические	координаты в системе отсчета 31» Течение					является стационарным
и легко показать (задача 1),		что	траектории		(они же	линии тока) определены
в области	в цилиндрических		координатах		уравнениями

*3=с: ' = d ^ [ 1+ У ^ + т г^ 'ф ]*

где b и с— постоянные величины.

Таким образом, это плоские кривые, образующие множество, которое остается инвариантным относительно перемещения вдоль оси х3. Это схематически показано на рис. 2. Жидкость (или газ) обтекает неподвижный цилиндр С, задаваемый равенством r = R, ив бесконечности движение происходит с постоянной скоростью 1/0, параллельной оси хх.

Теперь проследим это же течение в системе отсчета 31, которая движется по ступательно относительно системы 31 вдоль оси хх таким образом, что в бесконеч ности жидкость (или газ) находится в покое относительно этой новой системы

отсчета. Координаты х,- в системе 31 частицы,	которая в 3L имела координаты */,
будут задаваться уравнениями
1 = 1 — IV; ха = *а;	х3 = х3.

В новой системе отсчета 31 движение уже не будет стационарным. Теперь это

Рис. 2. Стационарное обтекание неподвижного цилиндра.

Линии тока являются одновременно тра екториями. С некоторым приближением такое течение устанавливается при ис пытаниях в аэродинамической трубе боль ших размеров, если поместить в нее не подвижный цилиндр (не принимая во внимание завихрения). Течение проис

ходит слева направо

Рис. 3. Линии тока в некоторый фиксированный момент при обтека нии цилиндра, движущегося в по коящейся бесконечности жидкости.

Обратите внимание на то, что линии тока не являются касательными к поверхности цилиндра

течение представляет собой обтекание движущегося поступательно цилиндра покоя щейся жидкостью.

В некоторый заданный момент, например / = 0, линии тока в плоскости х3 = 0 представляют собой дуги окружностей, касающихся оси xlt как показано на рис. 3 (задача 2). Траектории частиц задаются параметрически уравнениями

где а, Ъ, с— некоторые постоянные. На рис. 4 изображены некоторые из этих траек торий (а = 0, с=*0, b— переменное). После встречи с цилиндром частицы, которые


были первоначально		в точках Аъ А2, Л3,	переходят	в точки	А'г%Л3.
1.1.3.	Изучение движения		с точки	зрения	Лагранжа. Знать
в системе отсчета		31 движение некоторой совокупности точек (сплош

ной среды) —это значит знать функции ¥ ь характеризующие отобра жение П в этой системе. Таким образом, эти функции являются искомыми параметрами в задачах механики сплошных сред. Их нахо ждение представляет большую трудность: они должны удовлетворять довольно сложным тождествам, например (7), что, очевидно, связано с введением слишком большого числа переменных. Для преодоления

этих затруднений	достаточно отнести конфигурации S* системы к не
которой частной	конфигурации S0, соответствующей фиксированному
моменту / = 0. Пусть		1, 2,	3) координаты М°		в 31.	Перемен
ные а19 аа, а8, t	называются переменными Лагранжа.
Положим
^ (а,	0, 0 = ф (а, О'.		& (х.	0) ^ (х,	/).	(17)

Тогда

х » Ф (а,

а =

Ч'(х,

(18)

Первое

равенство определяет

момент t положение х частицы М,

которая

индивидуализировалась

координатой а в той же конфигура

ции S0, второе уравнение дает зна

чение

а частицы,

находящейся

Рис. 4. Траектории частиц в течении,

положении

х. В момент t функции

изображенном на рис. 3.

боковое

Ф н f

образуют (составляют) пару

в момент / = 0 имели

наибольшее

взаимно обратных

функций:

Нанесены траектории

трех частиц,

которые

смещение. Обратите внимание на то, что

х = Ф (Тх,

о»

0; а =

после прохождения цилиндра частицы смес

тились

параллельно

оси хх на расстояние,

^ (Ф (а,

(I9)

которое

тем больше,

чем ближе

частицы

были вначале к оси хх

Чтобы конфигурация S0 была ча

стной

конкретной

конфигурацией

для момента / = 0, необходимо

введение дополнительных

условий

а = ф (а,

0);

х = Чг(х,

0).

(20)

Обратное утверждение: две взаимно обратных функции вида (18) могут быть истолкованы как задающие некоторую совокупность

(систему) точек, находящуюся в движении относительно	В самом
деле, функция ¥ у введенная в 1.1.1, может быть задана	как

F (x\	Г 9 i) = Q>(V(x'9 П	0 = Ф(«. <)ОТ(х',	П	(21)
Легко убедиться, что функция ¥		удовлетворяет теперь	групповым
условиям (6)	и (7). Для условия	(6) это следует из (19)1Э что		же

касается (7),	можно положить а = 'Р(х', /');	правая часть уравне
ния (7) может быть записана теперь с учетом уравнений (19):
Ф{Т[Ф а, /"), Г], /} = Ф{а, = Ф {¥(х', f ) 9 t},
что приводит	к левой части уравнения (7). Записав равенство
в несколько	видоизмененных обозначениях,	можно получить сле

дующий вывод:

ф(-, 0 O V K п О Ф К п O V ( x \ П = Ф(-, t ) O V ( x '9 t').

Чтобы доказать это обратное предположение, мы ни разу не восполь зовались условием (20). Следовательно, совершенно необязательным является условие, чтобы множество * значений Sa параметров at представляло некоторую определенную конфигурацию системы; в этом случае говорят, что Sa есть некоторая отвлеченная (абстрактная) область, нужная для характеристики отдельных частиц. Более того, совсем необязательно, чтобы а( были координатами точек конфи гурации Sa именно в системе 3i. Такая абстрактная конфигурация Sa может быть задана достаточно произвольно и это широко исполь зуется в некоторых приложениях.

* Это множество обозначаем Sa (а не S 0), чтобы подчеркнуть, что исходная конфигурация, относительно которой ведется рассмотрение, необязательно отно сится к моменту t = 0.

Рассмотрим один из		примеров. Пусть движение некоторой жидкости				задается
по способу Лагранжа:		х1 =	а1-\|-у\ека*cos (kax— со/);
		х1 =	а1-\|-у\ека*cos (kax— со/);
		х2 =	а2-\-‘x\eka*sin (kax— со/);
				*з = аз>
где т]— некоторая	длина;	/г = 2яД; К— линейная величина; со— частота.
Область Sa переменных Лагранжа по предположению является полупростран
ством а2^ 0 . Параметр г\ считаем малым.
Траектория частицы а,- является				окружностью в плоскости х3 = а3 с		центром
в xx = alf х2 = а2;	радиус	окружности		т\|е*аа тем меньше, чем	больше \|а 2 \|(Р ис- 5).
Таким образом,	аъ аъ	а3 ни в коей		мере не представляют	положение в	некото

рый момент частицы с этими координатами в конфигурации Sa.

Рис. 5. Траектории частиц в прогрессивной волне.

Жирными линиями показано положение частиц в момент *=0, находящихся в равнове сии в плоскостях flf=const

Рис. 6.

Прогрессивная

волна:

--------------

поверхность а2= 0

момент t ;

------------------ а*= 0

-— по

верхность

в момент

/ + Д / ; ---------------------

траекто

рия гребня; Я,—длина

волны;

£ = 2л/Я;

^=*4 sin (kxi-at);

Дх,=гД/=(ы/k) Дt

Можно дать

интересное

истолкование

такого

движения. Если направить ось х2

вертикально,

то

отсчетную конфигурацию Sa можно интерпретировать как объем

воды,

находящейся

покое

под действием силы тяжести. Рассматриваемое дви

жение

этом случае

не что

иное,

как

волна,

бегущая в данной массе воды.

вертикальной

плоскости

(например,

при

*3 = 0) частицы, соответствующие

исходной

конфигурации

горизонтальным

плоскостям (а2 = const), находятся

некоторый

фиксированный момент

t на

волнообразных кривых, которые в пер

вом приближении при

малом г\ можно считать

синусоидами с периодом А. (рис. 6):

х2 = а2-{-у\е* а 2 sin (kxx— со/)

[при

переходе

из

в (*i-[-A,)

х2 остается

неизменным];

А,— длина волны. При

изменении

t гребни

кажутся

бегущими

параллельно оси хг со скоростью с= со/& =

= А,со/(2л)

со

постоянна,

то

и х2 остается

неиз

(так как если величина хх-----— t

менным),

с— скорость

бегущей волны.

на

вершине

А какой-либо волны— это не

Фиксируем,

например,

внимание

частица,

некоторый

геометрический

образ;

она

перемещается горизонтально со

скоростью с.

убедиться, не

прибегая

к вычислениям,

что линии тока

имеют

Можно

легко

вид, показанный на рис. 7. Течение

не является стационарным, и линии тока,

следовательно, не совпадают с траекториями.

определяются

урав

заключение

заметим,

что поля скоростей и ускорений

нениями

дФ /

д*ф .

(22)

и = Ж

{а’

<):

'>•

			Рис.	7.	Линии тока:
	— в некоторый фиксированный					момент / ; ----------------------	в момент
				/+ (Л/0))
При	необходимости выразить и (х,			/)	и	у (х, t) в	явном виде, следует заме
нить	а на Ч' (х,	t). Итак, лагранжево описание определяется единственной функ
цией	Ф (a, t) с	компонентами Ф/ (а,		/), представляющими собой переменные Лаг
ранжа, которые		задают движение		всего объема. Такая функция Ф (a, t) должна
при любом t иметь обратную—				(х,	/);	никаких	дополнительных ограничений
функции Ф не требуется (требуется иногда наложить условия регулярности).
1.1.4.		Метод Эйлера. В методе Эйлера, как и в методе Лагранжа,
используется		четыре	независимых			переменных: хь х2У х3у t, назы
ваемых независимыми			переменными Эйлера. Координаты х{ опреде

ляют положение частицы М в момент /; компоненты скорости части цы М в этот же момент U{{х1У х2у хЗУ t) называют искомыми пере менными Эйлера. Для обоснования такого определения необходимо

доказать,

что

значение функций

Ut позволяет найти функции ¥ iy

введенные в 1.1.1. Но эти последние

являются

не чем

иным, как

решениями системы дифференциальных уравнений (16),

т. е. хД/),

удовлетворяющими

следующим

начальным

условиям:

при

t = t'

xl (t) = x'ii

так

как х\ и V считаем

заданными. Здесь допускаем, что

все Ui(xy

достаточно

регулярны,

тем

чтобы существование

и единственность такого решения были

обеспечены. Остается теперь

проверить,

удовлетворяется ли

групповое свойство, например

урав

нение (7).

В этом случае удобно оперировать

в пространстве

и времени, полагая

*1 = Xi\

х2 = х2;

х3 = х3;

x4 =

(23)

Ui = U1% U2 = U2,

U3 = U3, &4= 1 .

Если

ввести

некоторую переменную

для

которой

ds = df, то

система (16)

запишется

следующим

образом:

- ~ ^ = й а (х-1, 4

а = 1 . 2. 3,

(24)

или в более сокращенном виде

ds = и (х).*

* На языке математики движущаяся система 5 определяет пространственновременной континуум и в нем некоторую группу П преобразований с одним пара

метром. Поле скоростей U есть инфинитезимальный генератор этой группы. Таким об разом, задача сводится к построению группы П по ее инфинитезимальному генератору.

<<< < Предыдущая 12 / 402 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20228.16 Mб46Краткий курс общей физики..pdf
#
15.11.20224.15 Mб30Крепление испытание и освоение нефтяных и газовых скважин..pdf
#
15.11.202210.22 Mб11Крепление испытание и освоение скважин при разработке нефтяных место..pdf
#
15.11.202211.27 Mб57Кристаллизация и литейные свойства сплавов..pdf
#
15.11.20221.05 Mб16Кристаллография..pdf
#
15.11.202220.58 Mб19Курс механики сплошных сред..pdf
#
15.11.202220.15 Mб3Курс экономики для бакалавров..pdf
#
15.11.202215.71 Mб36Курсовое проектирование по теории механизмов и механике систем машин..pdf
#
15.11.2022884.42 Кб32Лабораторный практикум по общей химической технологии..pdf
#
15.11.2022884.42 Кб30Лабораторный практикум по общей химической технологии.pdf
#
15.11.20223.07 Mб14Лабораторный практикум по теории механизмов и робототехнике..pdf