ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ ФОРМИРОВАНИЯ СЕТОК ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЧИСЛЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Вяткин С.Н. (QuantorSoft, г.Москва.)

Эффективное развитие аэрокосмической техники невозможно без применения математических моделей. Натурные испытания в этой отрасли дорогостоящи и не всегда возможны, их доля в разработке новых технологий постоянно сокращается. В аэрокосмической отрасли значительно дешевле «пробовать и ошибаться» проводя численные эксперименты. В этой связи разработка новых и развитие существующих численных методов приобретают весьма важное значение.

Любой из численных методов предполагает создание аппроксимации полей искомых функций по набору значений этих функций, вычисленных в точках пространства. Такой набор точек обычно называют сеткой, а сами точки - узлами. Полная информация о сетке включает еще и описание связей узлов, такие связи принято называть элементами. Наиболее распространенным численным методом является метод конечных элементов, хотя понятие сетки присуще и методу конечных разностей и методу натуральных элементов. В методе конечных элементов очень большое значение приобретает качество элементов, качество же поля узлов отходит на второй план. В методе натуральных элементов, наоборот, качество поля узлов определяет качество численных решений.

Создание сеток является одним из разделов теории правильного разбиения пространства, наибольший вклад в развитие которой внесли Петер Дирихле, Г.Ф. Вороной, Б.Н. Делоне. Разработанные ими подходы применимы для создания сеток как для МКЭ, так и для МНЭ. На практике применяются различные алгоритмы, которые с разной степенью эффективности строят сетки элементов на заданном поле узлов, для оптимизации поля узлов также были разработаны несколько подходов, наиболее популярные из них носят имена Ньютона и Пуассона. Однако, после оптимизации поля узлов, связи узлов уже не являются оптимальными, и требуется еще и их оптимизация. В то же время предложенный Б.Н.Делоне критерий пустой сферы может быть положен в основу метода создания оптимального поля узлов. Делоне рассматривал сферы описанные на вершинах элементов - простейших тел, с помощью которых можно заполнить пространство, в двухмерном пространстве - это треугольники, в трехмерном - тетраэдры. Но если посмотреть на связи узлов немного шире и ввести в понятие сетки и связи более низкого ранга (для трехмерного пространства - связи двух и трех узлов), и применить эти связи и их описанные сферы минимального радиуса для создания поля узлов, то возможно получить такое поле узлов, для каждого узла которого окружение окажется выпуклым. Для достижения результата достаточно потребовать пустоту сфер, ассоциированных со всеми связями узлов. При исполнении этого условия связи узлов (элементы сеток) приобретают оптимальную форму, которая выражается в том, что центры сфер, описанных на узлах связей, располагаются внутри самих связей.

Сочетание оптимального поля узлов с оптимальными связями узлов делает такой подход очень эффективным методом создания сеток. Так как оптимизация поля узлов предполагает оптимальное положение всех узлов, в том числе и поверхностных, то данный алгоритм не может быть использован в классическом генераторе сеток, для которого характерно задание оболочки области. Указанное ограничение вполне естественно, потому что, характерное соотношение количества внешних и внутренних узлов в области - 1:1, и прооптимизировать поле узлов, оперируя только половиной совокупности, невозможно. Предлагаемый алгоритм является основой генератора сеток, который одновременно формирует сетки элементов в области и на поверхности области.