Статистические исследования контроля качества в автоматизированных

♦структурные средние, в качестве которых выступают мода

имедиана (подразд. 3.4).

Степенными средними являются средние величины, вычисляемые по формуле

N

где xi – индивидуальное значение исследуемого параметра; n – число единиц совокупности; k – показатель степени средней величины.

Взвешенная средняя величина считается по сгруппированным данным, представленным в виде дискретных или интервальных рядов распределения:

где xi – значение (варианта) осредняемого признака или срединное значение интервала, в котором измеряется варианта; mi – частота повторения индивидуальных значений признака (вес), показывающая, сколько раз встречается i-е значение осредняемого признака.

Формула средней величины определяется значением степени применяемой средней. Формулы расчёта степенных средних включают показатель степени k. В зависимости от его значения различают следующие виды степенных средних:

♦средняя гармоническая, если k = –1;

♦средняя геометрическая, если k →0;

♦средняя арифметическая, если k = 1;

♦средняя квадратическая, если k = 2;

♦средняя кубическая, если k = 3 и т.д.

43

Если рассчитать все виды средних величин для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности: с увеличением показателя степени k увеличивается и соответствующая средняя величина:

x гарм < x геом < x ариф < x кв < x куб.

Формулы расчёта простой и взвешенной средних величин примут вид:

1. Средняя гармоническая (Harmonisches Mittel, Harmonic mean) (k = –1):

где mi – вес средней гармонической величины, равный произведению индивидуального значения параметра на его частоту (обычную).

Пример 3.3. Согласно приведённым выше формулам осуществим расчёт средней гармонической величины заработной платы сотрудников по отделам, используя данные табл. 3.3 и 3.4.

В этом случае среднюю зарплату по организации определяем, используя среднюю гармоническую простую:

44

Однако часто данные имеются в другом виде (см. табл. 3.4). Тогда для расчёта средней зарплаты по организации применяется средняя гармоническая взвешенная:

Среднюю гармоническую часто рассматривают как величину, обратную средней арифметической.

2. Средняя геометрическая (Geometrisches Mittel, Geometric mean) (k = 0):

где x1, xn – цепные коэффициенты роста, x1 = y1/y0, x2 = y2/y1, …, xn = yn/yn–1; n – число этих коэффициентов роста; m – количество уровней ряда; y0 – значение начального уровня ряда; yn – значение конечного уровня ряда.

Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчёте средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин, как отношения каждого уровня к предыдущему.

45

Средняя геометрическая применяется тогда, когда используются операции, связанные умножением/ делением, а не сложением/ вычитанием.

Геометрическая средняя величина дает наиболее точный результат осреднения, если задача стоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равноудален как от максимального, так и от минимального значения признака.

Пример 3.4. Найти среднегодовой темп роста и прироста по данным, представленным ниже.

Тогда среднегодовой темп роста (Wachstumstempo, Rate of Growth) определится как

W = 4 1,02 1,02 0,99 1,02 = 1,0123 = 101,23 %.

Среднегодовой темп прироста (Zuwachsrate, Rate of increment)

определяется по формуле

R = Среднегодовой темп роста – 1.

В нашем примере R = 1,0123 – 1 = 0,0123 или 1,23 %.

Среднегодовой темп роста и среднегодовой темп прироста можно получить, исходя и из абсолютных значений:

W =m−1 yn = 4 1995 =1,0123. y0 1900

46

Тогда получим:

R = 1,0123 – 1 = 0,0123 или 1,23 %.

Форма средней геометрической взвешенной в практических расчётах применяется крайне редко.

3. Средняя арифметическая (Arithmetisches Mittel, Arithmetic mean) (k = +1):

Средняя арифметическая простая используется тогда, когда значение признака относится к отдельным единицам наблюдения или к равновеликим группам единиц.

Пример 3.5. Произвести расчёт средней арифметической величины заработной платы работников бригады, используя представленные ниже данные.

Заработная плата работников бригады

Средняя арифметическая взвешенная применяется тогда, когда отдельные значения признака встречаются с разной частотой или когда группы не являются равновеликими.

47

Далее рассчитаем среднюю арифметическую величину заработной платы работников по цехам предприятия (табл. 3.5).

4. Средняя квадратическая (Quadratisches Mittel, Quadratic mean) (k = 2):

i=1

Пример 3.6. Используя данные о заработной плате работников бригады в примере 3.5 и табл. 3.5, произвести расчёт средней квадратической величины заработной платы:

48

Средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда исходные значения x могут быть как положительными, так и отрицательными, например, при расчёте средних отклонений, а также при расчёте показателей вариации значений х и если нужно сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин.

5. Средняя кубическая (Kubisches Mittel, Cubic mean) (k = 3):

i=1

Пример 3.7. Используя данные о заработной плате работников бригады в примере 3.5 и табл. 3.5, произвести расчёт средней кубической величины заработной платы:

x = 3 15003 +16003 +17003 = 1604 у.е.; 3

x = 3 15003 40 +16003 80 +17003 130 = 1639 у.е. 250

Средняя кубическая применяется крайне редко, например, при расчёте индексов нищеты населения для развивающихся стран (ИНН-1) и для развитых (ИНН-2), предложенных и рассчитываемых ООН, а также если нужно сохранить неизменной сумму кубов исходных величин.

Также используется система индексов Фостера – Грира – Торнбека (Foster – Greer – Thornback, FGT), разработанная в 1984 г.

для оценки распространенности и глубины бедности.

49

Наиболее известный и распространенный вид средней – средняя арифметическая величина. Среднюю гармоническую часто рассматривают как величину, обратную средней арифметической.

Условия применения средних величин в анализе:

♦однородность статистической совокупности. Если при воздействии некоторых случайных факторов исследуемая величина имеет большой разброс данных (слишком большие и слишком маленькие) относительно большинства параметров, тогда слишком большие будут влиять на среднюю величину, а слишком маленькие – увеличивать объем вычислений, практически не влияя на значение средней. В этом случае средняя величина не будет отражать характерную для данной совокупности параметров величину признака.

В наличии неоднородного исследуемого явления данные разбивают на группы с однородными элементами. В таких группах рассчитывают сначала средние, которые называются групповые средние, и они будут выражать наиболее типичную величину явления в каждой группе. После этого по групповым средним рассчитывается общая средняя величина, которая и будет характеризовать явление в целом.

На практике, однако, выполнение данного условия не является корректным. Например, расчёт величины среднего потребления электроэнергии, включая высокоэнергетические отрасли (металлургия, алюминиевое производство) и низкоэнергетические (жилой сектор, медицинские учреждения, административные здания);

♦достаточное количество единиц в выборке. Достаточность является решающим условием при выборе выборочного наблюдения для обеспечения репрезентативности выборки;

♦исключение большого расхождения между максимальным

иминимальным значениями исследуемого параметра. При больших расхождениях между крайними значениями и средней величиной необходимо проверить на соответствие максимальных значений данной выборки, а также проверить их на предмет ошибки или про-

50