Статистические исследования контроля качества в автоматизированных

обработки, сборочных, контрольных и других операций. Недостаток метода – невозможность выявить изменение изучаемого параметра во времени, то есть последовательности обработки заготовок, что не позволяет осуществить регулирование хода технологического процесса. Кроме того, переменные систематические погрешности нельзя отделить от случайных; это затрудняет выявление и устранение причин погрешностей. От этих недостатков свободен метод статистического регулирования технологического процесса.

5.2.3.3. Проверка статистических гипотез

Для применения критерия χ2 (критерия Пирсона) применяют метод, в котором сравнивают частоты, полученные по результатам обработки экспериментальных данных, с частотами для принятого теоретического закона распределения. Полученное сравнение используется для вычисления критерия χ2-распределения. При неправильно принятом теоретическом законе распределения значение критерия превысит табличное значение χ2. Для оценки правильности принятой модели используют численные значения процентилей χ2P( f ) -распределения, приведенные в приложении 9.

Критерий Пирсона вычисляют по следующей формуле:

где k − число сравниваемых частот; mi и mi' − эмпирическая и теоретическая частоты в i-м интервале.

Полученные статистические данные делят таким образом, чтобы в каждый интервал попадало не менее пяти наблюдений. Интервалы с частотами меньше пяти объединяют с соседним интервалом с условием, чтобы общее число частот в объединенном интервале было не менее пяти.

Пример 5.3. Расчёт значений χнабл2 удобно выполнять в форме табл. 5.3.

101

После заполнения всей таблицы вычисляется число степеней свободы:

f = k – p – 1,

где k – число сравниваемых частот (в нашем примере k = 5); p – число параметров теоретического распределения (для нормального закона p = 2). В нашем примере

f = 5 – 2 – 1 = 2.

Область допустимых значений критерия χ2 или область принятия гипотезы характеризуется неравенством

χ2набл < χ2кр (γ1, f),

где χ2набл – значение критерия, вычисленное по данным наблюдений; χ2кр (γ1, f) – критические значения критерия при заданных γ1 и f; γ1 – уровень значимости в технике, обычно принимается равным 0,05.

Согласно приложению 9 величина χ2кр (0,05; 2) = 5,99. Поскольку 1,29 < 5,99, то гипотеза о нормальном распределении анализируемой погрешности справедлива.

102

Пример 5.4. Кроме того, можно пользоваться критерием Романовского (на основе данных табл. 5.3):

пирическое распределение соответствует нормальному закону. Пример 5.5. Если теоретические значения параметров извест-

ны, то лучшим критерием является критерий Колмогорова λк. При неизвестных параметрах этот критерий также применим, но в этом случае дает несколько завышенные оценки.

Применение данного критерия рассмотрено ниже (табл. 5.4). Таблица 5 . 4

Вычисление критерия Колмогорова

В колонках 4 и 5 табл. 5.4 приведены накопленные суммы, которые образуются путем прибавления последующих частот к сумме предыдущих. Затем составляется разность между накопленными теоретическими и накопленными эмпирическими суммами (колонка 6) и находится максимальное значение этой разности. В данном примере она равна 5.

103

После этого находим: Dmax = 5/N = 5/119 = 0,042, N = ∑mi = 119.

Коэффициент λк находится по формуле λк = Dmax N = = 0,042· 119 = 0,458.

Пользуясь таблицей (П 10) для данного значения λк, находим Р(λ) – вероятность того, что гипотетическая функция выбрана правильно. Для λк = 0,458 имеем Р(λ) = 0,987 (П 10), то есть эмпирическая и теоретическая кривая согласуются хорошо.

5.3. ПОСТРОЕНИЕ ГИСТОГРАММЫ, ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ГИПОТЕЗЫ В ПРОГРАММЕ «STATISTICA 8»

5.3.1. Построение гистограммы и таблицы контрольного листка

Осуществим построение гистограммы как инструмента контроля качества (ось OX – изучаемый признак x, ось OY – частота повторения изучаемого признака mi) и определим теоретический закон распределения изучаемой случайной величины, то есть соответствие нормальному закону распределения. В качестве исходных данных (признака x) используем, например размер детали (приложение 1 «Исходные данные 1»).

Для предварительной обработки исходных статистических данных и построения гистограммы используем модуль «Основные статистики и таблицы» – «BasicStatistics/Tables» (аналогично подразд. 3.5 методического пособия). При этом для построения кривой нормального закона распределения в окне «Descriptivestatistics», используя вкладку «Normality», необходимо нажать кнопку «Histograms» (рис. 5.8), после чего на экран будут выведены полигон и сглаженная кривая теоретического закона распределения (рис. 5.9). Для представления данных в табличном виде (группировка изучаемого признака по частотам и др.) необходимо нажать кнопку «Frequency tables» (см. рис. 5.8 и 5.10).

104

R = 23,99 – 23,85 = 0,14; h = 0,0175.

Составим таблицу исходных и расчётных данных (рис. 5.11) для построения кривой Гаусса в «STATISTICA 8» (рис. 5.12) с учётом возможности производить расчёты на основе макросов (программного кода) в среде«STATISTICA VISUAL BASIC» (приложение6).

Рис. 5.11. Исходные и расчётные данные для построения кривой Гаусса

Приведем краткое описание основных переменных для таблицы, сформированной в «STATISTICA 8» (см. рис. 5.11):

♦«X» – исходныеданные (исследуемыйпризнак, 100 значений);

♦«xi» – значения исследуемого признака, сгруппированные по частотам и отсортированные по возрастанию;

♦«xxi» – модуль разности исследуемого признака – |xi – xnorm|;

♦«mi» – частоты исследуемого признака;

♦«maxX / minX» – максимальный и минимальный элементы выборки Х;

♦«R», «k», «Cр», «xnorm» – размах, числа интервалов, цена разряда(длинаинтервала), нормальный размердетали (изучаемый признак);

♦«xcp», «Sx», «ksigma», «sigma» – среднее арифметическое изучаемого признака, среднее квадратическое отклонение, поправочный

коэффициент, среднее квадратическое отклонение с учётом поправочногокоэффициента, зависящего отразмеравыборки(см. табл. 3.2);

♦ «mi′» – выравненные значения частот (по закону Гаусса).

107

При этом использовались следующие формулы:

Кривая без маркеров на рис. 5.12 соответствует кривой Гаусса, которая строится с использованием стандартной функции программы «STATISTICA 8». Она практически совпадает с построенной кривой mi′.

Далее осуществим проверку статистической гипотезы о нормальном теоретическом законе распределения, то есть оценим согласованность практической и теоретической кривых распределения изучаемого признака в программе «STATISTICA 8».

Рис. 5.12. Гистограмма, точечная диаграмма, практическая и теоретическая кривые распределения изучаемого признака

108

5.3.3.Проверка статистической гипотезы

Врамках использования критерия согласия Пирсона (χ2) применяют метод, когда полученные данные (см. рис. 5.12) группируют по интервалам частот и сравнивают с ожидаемым числом наблюдений для принятого распределения.

Критерий Колмогорова связан с использованием накопленных значений практически и выравненных (теоретических) частот.

Для осуществления оценки по критериям Пирсона и Колмогорова необходимо в меню «Statistics» выбрать пункт «Distribution Fitting» (рис. 5.13) и «Normal» в поле «Continuous Distribution», по-

сле чего появится диалоговое окно (рис. 5.14).

Рис. 5.13. Диалоговое окно «Distribution Fitting»

Изначально необходимо выбрать в качестве переменной «Variable» массив данных «X» (рис. 5.14), далее– задать значения пара-

метровнавкладках«Parameters» и«Options» согласнорис. 5.14 и5.15. Нажатие кнопки «Summary: Observed and expected distribu-

tion» на вкладке «Quik» (см. рис. 5.14) вызывает таблицу результатов оценки по критериям Пирсона и Колмогорова (рис. 5.16).

Согласно таблице расчётное значение критерия Пирсона

χ2 = 8,267. При этом χ2 < χтабл.2 (8,267 < 9,49), то есть практиче-

ское распределение соответствует нормальному теоретическому закону распределения.

109