Статистические исследования контроля качества в автоматизированных

Выполнение этого требования необходимо для того, чтобы уменьшить влияние погрешностей измерений. Например, для k = 7 расчётная цена разряда при R = 0,13 мм, h = 0,13/7 = 0,0185 мм, принимаем h = 0,02 мм. Заметим, что округление цены разряда должно быть минимальным и допустимо в большую сторону.

Для удобства построения кривой результаты разбиений на интервалы и частоты, соответствующие этим интервалам, сводятся в табл. 5.2. Частоты, соответствующие границам интервалов, распределяют между ними: соответствующие нижней границе относят к предшествующему интервалу; соответствующие верхней границе – к последующему интервалу. Масштаб графиков – по оси абсцисс произвольный, а по оси ординат – отношение максимальной высоты к ширине основания как 5:8.

Следующим этапом является построение кривой распределения. Она строится в координатах «mi» – «R». Масштабы по осям выбираются произвольные, удобные для построения. По оси абсцисс откладывается размах R (интервалы k), из середины интервала по вертикали откладываются соответствующие им значения чисел деталей, имеющих погрешности в пределах интервала. Полученные точки соединяются отрезками прямой (рис. 5.3).

91

Практическая кривая (полигон) служит для первой приближенной оценки точности процесса и решения вопроса о выборе теоретического закона для характеристики данного распределения. Приближенной же потому, что форма практической кривой распределения зависит не только от объективных причин – характера распределения размеров, но и от случайных – числа интервалов, количества принятых для анализа деталей N.

В связи с этим для объективной оценки точности обработки практическую кривую необходимо заменить теоретической кривой, изображающей вполне определенный закон распределения, описываемый математическим уравнением.

Рис. 5.3. Полигон распределения

По накопленным частотам (частостям) можно построить ку-

муляту или огиву.

Для построения кумуляты из верхней границы каждого интервала на оси абсцисс восстанавливаются перпендикуляры, соответствующие по высоте накопленной частоте mi или частости mi / N, с начала ряда по данный интервал, а затем последовательно плавно соединяют вершины. Полученная кривая называется кумулятой. Она отражает характер нарастания частот (частостей) от группы к группе.

Если оси поменять местами, то есть варианты откладывать на оси ординат, а накопленные частоты (частости) – на оси абсцисс, то построенная кривая называется огивой.

92

5.2.3.1. Теоретические законы распределения

Как уже указывалось, функции f (x), F(x), P(x) и λ(x) полностью характеризуют распределение случайной величины. Обычно эти функции задаются аналитическими выражениями (формулами). Существует несколько таких основных типов формул и соответствующих им типов распределений. В рамках одного типа распределения могут отличаться друг от друга параметрами. Параметр распределения – это исследуемый фактор, изменение которого определяет вид функции распределения. Параметр может быть одномерным или многомерным.

Для задания распределения случайной величины необходимо указать как тип, так и параметры распределения. Если у двух случайных величин совпадают и тип распределения, и параметры, то говорят, что они одинаково распределены. Рассмотрим основное распределение, наиболее часто встречающееся в теории надёжности.

5.2.3.2. Закон нормального распределения

Одним из наиболее распространенных законов распределения погрешностей является нормальное распределение Гаусса. График плотности кривой нормального распределения описывается зависимостью

Функция распределения имеет вид:

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса (рис. 5.4). Закон Гаусса двухпараметрический и характеризуется следующими параметрами:

93

♦x – центр группирования, характеризует распределение размеров;

♦σ – характеризует кучность распределения размеров (погрешностей) около x ; чем меньше σ, тем кучнее распределяются размеры около x .

y

xmax

АB

Рис. 5.4. График плотности распределения Гаусса

Кривая Гаусса имеет следующие особенности:

1.Кривая симметрична относительно x .

2.При xi = x кривая имеет максимум:

3. На расстоянии ± σ от вершины кривая имеет две точки перегиба А и В, координаты которых равны:

4.На расстоянии ±3σ от вершины кривой её ветви так близки

коси абсцисс, что в пределах ±3σ 99,73 % всей площади ограничи-

ваются кривой. Практически принято считать, что на расстоянии

94

±3σ от вершины кривой ее ветви пересекаются с осью абсцисс, и в этих пределах заключена вся площадь кривой, то есть 100,0 %. Отклонение 3σ может считаться максимально возможным. Это положение называется правилом трех сигм. Погрешность в этом случае составляет 0,27 %, что допустимо при решении многих задач производства. В промежутке –σ…+σ заключаются 68,26 % всех значений параметров, между –2σ…+2σ – 95,44 %.

5. σ – это мера рассеяния, мера точности. При различных значениях средних квадратических отклонений кривые Гаусса представлены на рис. 5.5.

Рис. 5.5. Вид кривых нормальногораспределения случайных погрешностей приразличныхзначениях σ

На основаниип. 4 справедливоутверждение, что полерассеяния

При определении σ по данным непосредственных измерений заготовок и расчётов по формуле (3.12) погрешность определения среднего квадратического, S, зависит от общего количества N измеренных заготовок. Следовательно, согласно формуле (5.4) и табл. 3.2 целесообразно принять соотношение:

95

где kσ − коэффициент, учитывающий погрешность определения среднего квадратического (табл. 3.2); S – среднее квадратическое, определяемое по формуле (3.12).

В тех случаях, когда поле рассеяния параметров (размеров) превосходит поле допуска (ω > δ), условие обработки без брака не выполняется и брак является возможным.

Вероятный процент брака вычисляется следующим образом. При рассеянии размеров, соответствующих закону нормального распределения Гаусса, оценка точности принимается с погрешностью не более 0,27 %. Предполагается, что все действительные размеры партии деталей находятся в пределах поля рассеяния:

6 σ = xmax – xmin,

где xmax, xmin – максимальное и минимальное значения параметра (размера). При этом площадь, ограниченная кривой нормального распределения и осью абсцисс, равна единице и определяет 100 % заготовок партии. Выходящие по своим размерам детали за пределы допуска характеризуются как бракованные и отображены на рис. 5.6 площадями заштрихованных участков.

y

Рис. 5.6. К определениюколичествагодныхдеталей

96

Тогда годные детали будут характеризоваться площадью, ограниченной кривой и осью абсцисс на длине, равной допуску δ. Для случая симметричного расположении поля рассеяния относительно поля допуска достаточно найти значение интервала, определяющего половину площади, ограниченной кривой Гаусса и абсциссой х1(х2).

Вероятность появления случайной погрешности в этом случае определится площадью, ограниченной кривой f (x) и ее частью и осью абсцисс:

Подынтегральное значение есть элемент вероятности, равный площади прямоугольника с основанием dx и абсциссами x1 и x2, на-

зываемыми квантилями.

Рис. 5.7. Функция распределения F(x) и функция Лапласа Ф(x)

97

Произведя замену переменной: t = x / σ, dx = σ dt,

носит название нормальной функции Лапласа. Значения этого интеграла сведены в специальную таблицу [П11]. Таким образом, указанная вероятность (5.6) сводится к разности нормальных функций Лапласа:

Для определения количества годных деталей необходимо определить величину t и Ф(t) [П11] с последующим пересчетом полученных величин в проценты или в число штук изделий.

В общем случае, когда x ≠ 0 , имеем следующую вероятность появления случайных погрешностей:

Отметим свойства функции Лапласа: Ф(0) = 0; Ф(–х) = –Ф(х) (функция нечетная); Ф(∞) = 1/2. Из рис. 5.7 видно, что кривые F(х) и Ф(x) эквидистантны.

Если в равенстве (5.10) положить х1 = –∞, то

98

Поскольку Ф(–∞) = –Ф(∞) = –1/2. Положив в соотношении(5.10) х2 = ∞, находим:

При построении теоретической кривой по эмпирическим данным используют следующую формулу для нахождения теоретических частот:

В технических требованиях введен индекс, связывающий изменчивость реального процесса с полем допуска, называемый индексом воспроизводимости «Ср»:

Ср = δ/6σ.

Для описания возможности нецентрированного процесса используется индекс «Cpk». Для упрощения расчёта долго- и краткосрочной изменчивости и определения вариации вокруг установленного целевого значения существуют и используют другие индексы.

Использование анализа возможностей процесса для определения способности процесса производить продукцию, соответствующую установленным требованиям, и оценки ожидаемого количества несоответствующей продукции позволяет поставщику оценить издержки от несоответствий и помогает принять решения по улучшению процесса.

Установление минимального значения на индекс возможностей процесса помогает поставщику в выборе процессов и оборудования, способных производить продукцию необходимого качества.

99

Двумерным нормальным распределением называют распределение вероятностей двумерной непрерывной случайной величины (X, Y), если функция плотности имеет вид:

Пример 5.1. При измерении сопротивлений делителя напряжения установлено, что среднее значение этого сопротивления R = 5,5 кОм, а среднее квадратическое отклонение σ = 1,5 кОм. Принимая нормальный закон распределения, найти вероятность появления сопротивлений свыше 10 кОм.

Решение. По равенству (1.36) и из таблицы [П11] находим:

Р(R > 10) = 1/2 – Ф[(10 – 5,5)/1,5] = 0,5 – 0,4986 = 0,0014.

Пример 5.2. Определить количество бракованных и годных деталей, если допуск на обработку δ = 0,10 мм. Среднее квадратическое отклонение S = 0,02 (получено по результатам замеров 75 шт.). Общее количество обработанных деталей – 300 шт.

Решение:

1.Определяемрасчётноезначениеσ= kσ S = 1,25 0,02 = 0,025 мм.

2.Поле фактического рассеяния ω = 6σ = 6 0,025 = 0,15 мм превосходит поле допуска δ = 0,1 мм; следовательно, условие обработки без брака не выполнено ипоявление бракавозможно.

3.x = δ/2 = 0,1/2 = 0,05; t = x/σ = 0,05/0,025 = 2,0. Ф(t) = 0,4772,

что соответствует 47,72 % годных деталей для половины партии. Для всей партии количество годных деталей – 95,44 % или 286 шт., а бракованных – 4,56 % или 14 шт.

Метод оценки точности на основе кривых распределения универсален и позволяет объективно оценить точность механической

100