Физика [РТФ, Браже & Долгов, 1 семестр] / Шизика

тях сжатия и разрежения, скорость распространения упругих волн в жидкостях можно найти следующим образом:

v = ρβ1 ad , (10.21)

где ρ – плотность, а βad – адиабатическая сжимаемость жидкости.

§ 5. Стоячие упругие волны

Пусть некоторый источник колебаний S (рис. 10.5) возбуждает в упругой среде 1 плоскую монохроматическую волну, которая распространяется в отрицательном направлении оси x, частично отражается от другой упругой среды 2 и частично в нее проходит.

Рис. 10.5. Отражение и прохождение упругой волны на границе раздела двух сред

Уравнения падающей, отраженной и проходящей волн соответственно имеют вид

131

где R и T – соответственно амплитудные коэффициенты отраже-

ния и преломления, которые мы найдем из граничных условий.

На границе раздела сред ( x = 0) величина суммы смещений частиц в падающей и отраженной волнах должна совпадать по величине со смещением частиц в проходящей волне, а интенсивность проходящей волны должна равняться разности интенсивностей падающей и отраженной волн:

где Z = ρv обозначает так называемый акустический характеристический импеданс среды (от англ. impedance – препятствовать) – аналог электрического характеристического импеданса для гармонических процессов. Подставляя (10.22) – (10.24) в (10.25), а (10.27) в (10.26),

получаем

Z1 − R2Z1 =T 2Z2 ,

1+ R =T,

откуда

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. R = 0 (Z1 = Z2 ) – согласованная нагрузка. В этом случае па-

дающая волна беспрепятственно без отражений проходит во вторую среду.

132

2. R =1 (Z2 Z1 ) – отражение от акустически более мягкой среды. В среде 1 возникает суперпозиция падающей и отраженной волн одинаковой амплитуды:

Уравнение (10.29) описывает стоячие упругие волны с амплитудой, равной 2Acos(ωx / v1 ).

3. R = −1 (Z1 Z2 ) – отражение от акустически более жест-

кой среды. В этом случае отражение упругих волн происходит с изменением фазы на противоположную или, как говорят, с потерей полуволны. Физический смысл этого явления состоит в том, что частицы более мягкой среды (например, воздуха) не в состоянии раскачать частицы более жесткой среды (например, твердого тела). Суперпозиция падающей и отраженной волн в среде 1 приводит к возникновению стоячих волн следующего вида:

На этот раз амплитуда стоячей волны описывается выражением

2Asin(ωx / v1 ).

Ясно, что в стоячих волнах имеются точки, где амплитуда колебаний равна нулю в любой момент времени – так называемые узлы стоячей волны, и точки где амплитуда достигает максимального значения 2А – пучности стоячей волны. Для случая 3 координаты узлов (с англ. nodes) определяются выражением sin(ωx / v1 ) = 0, откуда, с учетом (10.3)

133

Координаты пучностей (с англ. antinodes) находятся из условия sin(ωx / v1 ) =1:

Из (10.31), (10.32) видно, что расстояние как между соседними узлами, так и между соседними пучностями равно половине длины волны, а между соседними узлами и пучностями – четверти длины волны.

На рис. 10.6 показан график стоячей волны, возникающей при отражении от более жесткой среды, для ряда фиксированных моментов времени.

Рис. 10.6. График стоячей упругой волны (узлы показаны точками)

134

Глава 4 Волновая оптика

Лекция 11

4.1. Поляризация света

§ 1. Понятие поляризации волн. Виды поляризации света

Оптикой называется часть теории волновых явлений, изучающая законы и особенности распространения электромагнитных волн, длины волн которых лежат в диапазоне, воспринимаемом человеческим зрением, либо непосредственно вблизи этого диапазона.

Человеческий глаз воспринимает электромагнитные волны, называя их светом, с длиной волны в воздухе от 400 нм (фиолетовый свет) до 700 нм (красный свет). Волны с длиной волны меньшей, чем 400 нм, относят к ультрафиолетовому диапазону, а с длиной волны, превышающей 700 нм, – к инфракрасному диапазону.

Поляризацией волн называется характер происходящих в них колебаний. Если колебания в волне происходят по определенному закону, то говорят, что волна является поляризованной.

Электромагнитные волны оптического диапазона от обычных источников света представляют собой суперпозицию несогласованных друг с другом цугов волн, излучаемых множеством отдельно взятых атомов или молекул. Хотя каждый такой волновой цуг и является

135

«кусочком» поперечной электромагнитной волны, совокупность цугов, испускаемых некоторым набором атомов или молекул в течение какого-либо промежутка времени, содержит в себе колебания, в которых вектор напряженности электрического поля (световой вектор) не имеет выделенного направления в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Такой свет называется естест-

венным светом.

Обратите внимание: световым вектором мы назвали вектор напряженности электрического поля вообще-то электромагнитной волны. А как же вектор напряженности ее магнитного поля? Дело в том, что свет распространяется более или менее хорошо только в диэлектриках, поэтому магнитным полем световой волны можно пренебречь.

Если колебания электрического поля в световой волне происходят строго в одной плоскости, то такой свет называется плоскополяризованным светом. Световая волна, в которой конец вектора напряженности электрического поля по мере распространения волны описывает винтовую линию, образующую круговую или эллиптическую спираль, называется соответственно поляризованной по кругу (циркулярно поляризованной) или эллиптически поляризованной. В этом случае мы имеем дело с циркулярно поляризованным светом или эллиптически поляризованным светом. Наконец, свет может быть час-

тично поляризованным. Такая ситуация имеет место, если в плоскости перпендикулярной направлению распространения света существует некоторое преимущественное направление колебаний светового вектора. Все перечисленные выше виды поляризации света показаны на рис. 11.1.

Для частично поляризованного света вводится понятие степени поляризации

136

где Imax и Imin – интенсивности двух световых волн, соответствующих разложению исходного частично поляризованного света на две составляющие, поляризованные в направлении преимущественных колебаний и перпендикулярно ему.

Рис. 11.1. Различные виды поляризации света: естественный (а), плоскополя-

ризованный (б), циркулярно (эллиптически) поляризованный (в), частично поляризованный (г)

Существуют различные способы получения поляризованного света. Ниже мы рассмотрим наиболее распространенные из этих способов.

§ 2. Поляризация света на границе раздела сред

Пусть на границу раздела сред с относительным показателем преломления n21 падает луч естественного света под таким специально подобранным углом iБ , что отраженный и преломленный лучи об-

137

разуют прямой угол (рис. 11.2). Разложим мысленно падающий луч на два плоскополяризованных луча равной интенсивности, один из которых поляризован в плоскости падения, а другой – в плоскости, перпендикулярной к ней. Поскольку световая волна должна быть поперечной, то при таком подборе условий падения в отраженном луче остаются лишь колебания в плоскости, перпендикулярной к плоскости падения. Иначе говоря, отраженный луч будет плоскополяризованным. В преломленном луче нарушится равенство интенсивностей составляющих его двух плоскополяризованных лучей, и он станет частично поляризованным.

ЧПС

Рис. 11.2. Поляризация отраженного света при его падении под углом Брюстера к границе раздела двух сред. Здесь ЕС – естественный свет, ППС – плоскополяризованный свет, ЧПС – частично поляризованный свет

Перейдем теперь к математической стороне дела. Согласно закону преломления света,

В нашем случае

138

Явление поляризации света при отражении под определенным углом от границы раздела сред было открыто Брюстером, в связи с чем выражение (11.2) называют законом Брюстера.

При падении естественного света под произвольным углом падения отраженный луч так же, как и преломленный, будет частично поляризованным. Его можно разложить на два луча, в одном из которых колебания светового вектора происходят параллельно плоскости падения, а в другом – перпендикулярно к ней. Для соответствующих коэффициентов отражения Френелем были получены формулы:

Заметим по ходу дела, что для случая i = iБ из (11.3) получаются ρ = 0 и 0 < ρ <1, что подтверждает наши ранее сделанные выводы.

Вслучае падения естественного света на стопку прижатых друг

кдругу параллельных стеклянных

139

Такую конструкцию называют стопой Столетова в честь придумавшего ее профессора Московского университета А. Г. Столетова. Однако интенсивность полученной таким образом плоскополяризованной световой волны весьма мала из-за потерь в результате многократных отражений.

§3. Поляризация света при прохождении через кристаллы

Всилу анизотропии оптических свойств кристаллов, скорость распространения света в них зависит от направления распространения и поляризации световой волны. Если в изотропной среде точечный источник света излучает сферическую волну, то в кристаллах он испускает одновременно две волны: обыкновенную, фронт которой сферический, и необыкновенную, фронт которой является эллипсоидаль-

ным (рис. 11.4).

Рис. 11.4. Поверхности скоростей обыкновенной и необыкновенной волн, ис-

пускаемых точечным источником света в одноосных оптически положительном (слева) и оптически отрицательном (справа) кристаллах. С – оптическая ось кристалла

На рис. 11.4 представлен наиболее простой случай, когда эллипсоид скоростей необыкновенной волны является эллипсоидом враще-

140