Физика [РТФ, Браже & Долгов, 1 семестр] / Шизика

Обратите внимание: названия «черное тело», «серое тело» не следует понимать буквально. Цвет этих тел может быть каким угодно. Более того, они сами могут быть источниками теплового излучения. Например, абсолютно черное тело, помимо того, что поглощает все падающее на него внешнее излучение, может само при этом весьма ярко светиться.

Немецкий физик Р. Кирхгоф придал этому утверждению вид физического закона:

Отношение излучательной способности тела к его поглощательной способности есть универсальная функция частоты (длины волны) излучения и температуры.

ϕ(λ,T ) = rλ aλ . Между ними существует связь, определяемая форму-

лой (15.1):

181

Как следует из определения функции Кирхгофа, ее физический смысл состоит в том, что она равна спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела. Фактически функция Кирхгофа определяет закономерности теплового излучения любого тела, ведь излучательная способность нечерного тела получается путем умножения этой функции на его поглощательную способность. Поэтому достаточно исследовать особенности теплового излучения абсолютно черного тела.

Зависимость ϕ(λ,T ) легко установить экспериментально. Для этого можно воспользоваться моделью абсолютно черного тела в виде сосуда с длинным узким горлом, окруженного теплоизолирующей оболочкой (рис. 15.2). Попадающее извне в такой сосуд излучение теряется в нем, ка к в лабиринте, и назад практически не выходит. Внутрь сосуда помещается некоторое нагретое тело, тепловое излучение которого выходит наружу и разлагается в спектр при помощи призмы. Для каждой спектральной составляющей измеряется энергетическая светимость и вычисляется ее спектральная плотность. Получающиеся при этом результаты отображены на графике.

ϕ (λ,T)T3

T2 T1

Рис. 15.2. Модель абсолютно черного тела (слева) и результаты, к которым она

приводит (справа). Здесь T1 <T2 <T3

182

Из рис. 15.2 видно, что с увеличением температуры абсолютно черного тела спектральная плотность его энергетической светимости возрастает, а максимум излучательной способности сдвигается в строну более коротких волн излучения.

§ 2. Формула Планка и ее следствия

Многие известные ученые конца XIX в. безуспешно пытались разработать теорию теплового излучения, объясняющую все особенности поведения функции Кирхгофа. Однако это удавалось сделать лишь для некоторых частных случаев. Например, английские физики Рэлей и Джинс вывели формулу, удовлетворительно объясняющую зависимость излучательной способности тела от длины волны излучения в области длинных волн. Австрийские физики Стефан и Больцман показали, что энергетическая светимость нагретого тела пропорциональна четвертой степени его температуры. Немецкий физик Вин получил закон, согласно которому длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, обратно пропорциональна температуре тела.

Лишь в 1900 г. немецкий физик Макс Планк получил математическое выражение для функции Кирхгофа, адекватно описывающее экспериментальные результаты, о которых говорилось выше. Правда, ему это удалось сделать ценой формального и непонятного для того времени допущения, что атомы и молекулы излучают свет не постоянно, а отдельными порциями – квантами. Энергия каждого такого кванта пропорциональна частоте излучения: ε = hν = ω, где h = 6,626 10−34 Дж с – коэффициент пропорциональности, получив-

ший название постоянной Планка, а = h(2π) =1,054 10−34 Дж с – так называемая приведенная постоянная Планка.

183

Не вдаваясь в подробности вывода, приведем формулы Планка для функций f (ω,T ) и ϕ(λ,T ) , связанных между собой соотношени-

ем (15.2):

Оказывается, что все частные закономерности теплового излучения, о которых говорилось в начале этого параграфа, естественным образом вытекают из формулы Планка. Доказательством этого мы сейчас и займемся.

Формула Рэлея – Джинса. В области длинных волн (малых частот) ω / (kT ) 1. Тогда экспоненту в выражении (15.3) можно разложить в степенной ряд и ограничиться первыми двумя членами разложения:

e ω =1+ ω +... .

kT

kT

В итоге формулы (15.3) и (15.4), с учетом (15.2), принимают вид

184

Выражение (15.6) было получено Рэлеем и Джинсом еще до появления формулы Планка. Оно более или менее правдоподобно описывает зависимость излучательной способности тела от длины волны излучения в области длинных волн, но терпит фиаско на коротких волнах (см. рис. 15.3). В истории физики это обстоятельство получило название «ультрафиолетовой катастрофы», так как теория Рэлея и Джинса предсказывала устремление излучательной способности тела в бесконечность при приближении длины волны излучения к нулю, что не укладывалось ни в какие физические представления.

ϕ(λ,T) 2

1

Рис. 15.3. Сопоставление зависимостей излучательной способности абсолют-

но черного тела от длины волны излучения, предсказываемых формулами Планка (1) и Рэлея – Джинса (2)

Закон Стефана – Больцмана. Найдем энергетическую светимость абсолютно черного тела, исходя из определения ее спектральной плотности и физического смысла функции Кирхгофа:

∞

Re* = ∫ f (ω,T )dω.

0

Подставляя сюда формулу Планка (15.3), возьмем записанный интеграл:

185

где x = ω / (kT ) .

Полученный интеграл табличный. Его значение равно π 4 /15. Таким образом,

Re* = 60c2 3 T 4.

Коэффициент при Т4 в полученном выражении состоит из одних констант. Его можно обозначить одной буквой, вычислить и представить результат для температурной зависимости энергетической светимости абсолютно черного тела в окончательном виде:

Больцмана. Как и формула Рэлея – Джинса, закон Стефана – Больцмана был получен еще до появления формулы Планка.

С учетом поглощательной способности и закона Кирхгофа, закон Стефана – Больцмана для нечерного тела можно записать в виде

где а – коэффициент поглощения излучения (коэффициент черноты) поглощающего тела.

186

Законы Вина. Найдем длину волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела. Для этого нам нужно найти условие максимума функции (15.4), приравняв к нулю производную ϕ(λ,T) по λ:

Это эквивалентно уравнению

xex −5(ex −1)=0,

где x =2πc /(kTλ) . Полученное уравнение является трансцендентным уравнением и допускает лишь численное решение. Результат этого численного решения: x =4,965. Отсюда

λmax = 2πc 1 .

4,965k T

Обозначив коэффициент при обратной температуре как C′, по-

лучаем первый закон Вина (закон смещения):

max T

где C′=2,9 10−3 м К − первая постоянная Вина.

187

Второй закон Вина. Найдем теперь само максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела. Оно имеет место в области коротких волн (2πс / (kTλ) 1) , когда единицей в знаменателе выражения (15.4) можно пренебречь. Подставляя в образовавшееся при этом выражение закон смещения (15.9), находим

Собирая все константы в одну, получаем второй закон Вина:

где C'' =1,3 10−5 Вт/(м3 К5) – вторая постоянная Вина.

Таким образом, формула Планка описывает все особенности теплового излучения, и из нее вытекают все законы такого излучения, открытые ранее. Но она не отвечает на главный вопрос – какова природа квантов энергии? Ответ на этот вопрос мы сможем дать лишь когда вплотную займемся изучением законов движения электронов в атомах и молекулах вещества.

§ 3. Внешний фотоэффект

Внешним фотоэффектом называется явление испускания электронов металлами при падении на них света или излучения из ближней инфракрасной и ультрафиолетовой части спектра электромагнитных волн.

Обратите внимание: кроме внешнего фотоэффекта существует также внутренний фотоэффект – явление генерации свободных носителей заряда в полупроводниках под действием света или излучения из ближней инфракрасной и ультрафиолетовой части спектра электромагнитных волн. Не путайте эти два явления.

188

Внешний фотоэффект был открыт немецким физиком Г. Герцем в 1887 г. и систематически исследован профессором Московского университета А. Г. Столетовым в 1888−89 гг. Однако в то время еще не было известно, какие именно заряженные частицы вылетают из металла при падении на него света.

В 1898 г. немецкий физик Ф. Ленард использовал для исследования фотоэффекта катодно-лучевую трубку – вакуумированный сосуд с впаянными в него электродами. С помощью такого устройства Дж. Дж. Томсон открыл в 1897 г. электрон. Ленард несколько усовершенствовал трубку Томсона: он сделал в ней отросток с кварцевым окном для пропускания ультрафиолета (рис. 15.4а). По сути это был первый фотоэлемент, для которого Ленард построил вольт – амперную характеристику (рис. 15.4б).

УФ

I mA Iн

Рис. 15.4. Схема установки Ленарда для исследования фотоэффекта (а)

и типичная вольт – амперная характеристика фотоэлемента (б)

189

Опыты Ленарда полностью подтвердили закономерности фотоэффекта открытые Столетовым. Кроме того, поскольку к тому времени электрон уже был открыт, Ленард показал, что из фотокатода вылетают именно электроны. Ленард установил, что в условиях освещенного фотокатода для прекращения фотоэффекта к фотоэлементу необходимо приложить напряжение противоположной полярности – так называемое задерживающее напряжение, величина которого пропорциональна частоте падающего на фотокатод излучения: Uз ω.

Теорию фотоэффекта построил в 1905 г. А. Эйнштейн. Для эт о- го он воспользовался гипотезой Планка о квантах энергии (1900 г.).

Согласно формуле Эйнштейна для фотоэффекта, энергия кванта излучения ω расходуется на преодоление электроном работы выхода из металла A и сообщение ему кинетической энергии (mvmax2 2) / 2:

Обратите внимание: в формуле (15.11) под работой выхода из металла понимается минимальная энергия, которую нужно сообщить электрону, чтобы вырвать его из металла. Поскольку вырываемые электроны могут находиться в разных энергетических состояниях, то скорость их вылета различна.

Из (15.11) следует, что для прекращения фотоэффекта нужно затормозить вылетающие электроны, приложив к фотоэлементу задерживающее напряжение такой величины, чтобы работа электрического поля равнялась максимальной кинетической энергии электронов:

mvmax2 = eU . 2 з

Подставляя это равенство в (15.11), можно найти задерживающее напряжение

190