Физика [РТФ, Браже & Долгов, 1 семестр] / Шизика

а тождество, с которым мы работали, дает связь энергии и импульса тела:

Из выражения (3.10) Эйнштейн пришел к следующему фунда-

ментальному выводу: энергия системы, из каких бы видов энергии

она не состояла (механической, электрической, химической и т. д.), пропорциональна ее массе.

Таким образом, масса тела, которая в классической механике выступала как мера инерции или мера гравитационного действия, в релятивистской механике выступает в новом качестве – как мера энергосодержания системы (тела).

Изменение полной энергии системы сопровождается эквива-

61

Глава 2 Электричество и магнетизм

Лекция 4

2.1. Уравнения электромагнитного поля

§ 1. Характеристики электрического и магнитного полей

При описании электрических полей обычно используют две силовые характеристики: напряженность и индукцию электрического поля, и одну скалярную характеристику – потенциал электрического поля.

Напряженностью электрического поля в некоторой его точке называется физическая величина, равная отношению силы, с которой это поле действует на положительный заряд, помещенный в данную точку, к величине этого заряда:

E = QF .

Определим единицу измерения напряженности электрического

поля:

Индукция электрического поля или электрическое смеще-

ние является силовой характеристикой электрического по-

62

ля в веществе и в однородном изотропном диэлектрике связана с его напряженностью следующим образом:

D = ε0εE,

где ε0 = 8,85 ∙ 10-12 Ф/м – электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума), а ε − относи-

тельная диэлектрическая проницаемость среды.

Единица измерения индукции электрического поля

Потенциалом электрического поля в некоторой его точке называется величина, численно равная работе, совершаемой полем при удалении единичного положительного заряда из данной точки поля в точку, где его потенциальная энергия равна нулю (например, в бесконечно удаленную точку):

ϕ = QA .

Единица измерения потенциала электрического поля

[ϕ]=1ДжКл =1ДжКл сс =1 ВтА =1В (вольт).

Обратите внимание: потенциальную энергию заряда и потенциал электрического поля мы можем ввести только потому, что кулоновские силы, как и гравитационные силы в механике, являются консервативными силами.

При описании магнитных полей также используют две силовые характеристики: индукцию и напряженность магнитного поля. Основной силовой характеристикой магнитного поля, определяющей его величину в вакууме, является индукция магнитного поля.

63

Индукцией магнитного поля в некоторой его точке называется величина, равная отношению максимального вращательного момента, действующего на малый контур с током, помещенный в данную точку, к магнитному моменту этого контура:

B = Mmax .

pm

На рис. 4.1 показан для определенности прямоугольный контур площади S = 2rl, находящийся в однородном магнитном поле. По контуру протекает электрический ток силой I. Под магнитным моментом контура с током понимается величина, равная произведению силы тока на площадь контура: pm = IS.

B

F

I

Рис. 4.1. К понятию индукции магнитного поля

Привлекая рис. 4.1, легко увидеть, что Mmax = 2rFmax , pm = 2Irl. Тогда индукцию магнитного поля можно определить иначе.

Индукция магнитного поля в некоторой его точке – это величина, равная отношению максимальной силы, действующей со стороны поля на перпендикулярный ему малый отрезок проводника с током, к длине этого отрезка и силе тока в нем:

B = FlImax .

64

§ 2. Первое уравнение Максвелла

Рассмотрим некоторый замкнутый проводящий контур L (рис. 4.2), пронизываемый изменяющимся во времени магнитным полем. Согласно закону электромагнитной индукции, открытому М. Фарадеем в 1831 году, в контуре индуцируется ЭДС, пропорциональная скорости изменения магнитного потока: εi = −∆Φ∆t . Знак «минус» здесь учитывает правило Ленца: возникающая ЭДС всегда приводит к появлению индукционного тока, направленного таким образом, чтобы его магнитное поле препятствовало изменению внешнего магнитного поля. Так как магнитный поток, в общем случае, является функцией не только времени, но и координат, то правильнее будет записать этот закон в виде

B(t)

S

Рис. 4.2. Появление индукционного тока в контуре, пронизываемом

изменяющимся во времени магнитным полем

66

По определению ЭДС в контуре равна работе сторонних (неэлектрических) сил по перемещению единичного положительного заряда, т. е.

Вместо напряженности поля сторонних сил Eстор = Fстор Q в по-

следнее выражение можно подставить сумму E = Eстор + Ee , где Ee –

напряженность электростатического поля, так как в поле неподвижных электрических зарядов (поле консервативных сил) работа по перемещению заряда по замкнутому контуру равна нулю:

Ae = ∫ Fedl = Q ∫ Eedl = 0.

LL

Напомнив вам эту школьную истину, мы теперь можем переписать (4.1) в виде

где S – произвольная поверхность, стягиваемая контуром L. Тогда (4.1) эквивалентно следующей записи:

67

Выдающийся английский физик Дж. К. Максвелл первым догадался, что наличие проводящего контура для появления электрического поля в окрестности изменяющегося во времени магнитного поля вовсе необязательно. Он лишь позволяет обнаружить это поле по возникающему в нем индукционному току. Характерной особенностью этого поля является то, что оно не связано с какими-либо зарядами, его силовые линии замкнуты. Поэтому такое поле называют

вихревым электрическим полем.

Интеграл от векторной функции по замкнутому контуру в математике принято называть циркуляцией этой функции по данному контуру, а интеграл векторной функции по некоторой поверхности – потоком этой функции через данную поверхность. Тогда, в соответствии с (4.4), математическая формулировка первого уравнения Максвелла выглядит следующим образом:

Циркуляция вектора напряженности вихревого электрического поля по некоторому контуру равна взятому со знаком «минус» потоку вектора скорости изменения индукции магнитного поля через произвольную поверхность, стягиваемую данным контуром.

§3. Второе уравнение Максвелла

Всоответствии с (4.4) вихревое электрическое поле создается изменяющимся во времени магнитным полем. Но тогда, наоборот, магнитное поле (всегда вихревое) должно создаваться изменяющимся во времени электрическим полем:

68

где S′ – некоторая поверхность, стягиваемая произвольным контуром L (рис. 4.3). Если вместо поверхности S′ рассмотреть некоторую поверхность S, пересекаемую током плотности j = IS , где I – сила переменного тока, протекающего через конденсатор, то на его обкладках должно выполняться равенство

Здесь d и Sc – соответственно расстояние между обкладками конденсатора емкости C и их площадь.

Ток смещения

S

Рис. 4.3. Токи проводимости и смещения

Если вид поверхности ( S′ или S) не оговорен заранее, то, в общем случае, вместо (4.5) следует записать такое выражение:

Из него следует, что изменяющееся во времени электрическое по-

ле, подобно току проводимости – току, связанному с направлен-

69

ным движением зарядов в проводящей среде, создает в окружающем пространстве магнитное поле. По этой причине изменяющееся во времени электрическое поле называют током смещения, имея в виду, что плотность этого тока равна скорости изменения индукции (смещения) электрического поля:

Согласно (4.6) математическая формулировка второго уравнения Максвелла может быть дана в таком виде:

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому замкнутому контуру равна потоку вектора плотности полного тока, складывающегося из тока проводимости и тока смещения, через произвольную замкнутую поверхность, стягиваемую данным контуром.

Поэтому (4.6) называют также законом полного тока.

§ 4. Третье уравнение Максвелла

Рассмотрим положительный точечный заряд Q, создающий в некоторой точке пространства электрическое поле напряженности E (рис. 4.4). Как известно, для электрического поля точечного заряда

E = 4πε10ε rQ2 .

Окружим этот заряд произвольной замкнутой поверхностью S, проходящей через рассматриваемую точку. Поток вектора E через эту поверхность (см. рис. 4.4)

70