Физика [РТФ, Браже & Долгов, 1 семестр] / Шизика

ус-вектор i-го тела (его центра масс), проведенный из центра масс 0 системы (рис. 2.2). Ввиду отсутствия внешних сил, их моменты также отсутствуют. Повернем систему вокруг оси, проходящей через точку 0 перпендикулярно чертежу, на некоторый бесконечно малый угол dϕ .

Рис. 2.2. Поворот замкнутой системы тел не изменяет их взаимного распо-

ложения в пространстве, а также мгновенных значений модулей скоростей движения ( vi = const ) и кинетической энергии системы в силу изотропности

пространства

Работа, совершенная внутренними силами при повороте системы в изотропном пространстве, равна нулю, так как при этом приращения кинетической энергии системы не происходит:

N

dA12 = ∑Fi dli = 0.

i=1

Здесь dli – вектор перемещения центра масс i-го тела. Выразим эту работу через моменты внутренних сил Mi , вводя векторный элемент угла поворота dϕ , направление которого совпадает с направлением угловой скорости вращения (см. рис. 2.3, на котором показано враще-

41

Fi dli = −Fi [rdi ϕ]= ri Fi dϕ = Mi dϕ;

dA12 = ∑N Mi dϕ = 0,

i=1

откуда, в силу произвольного выбора dϕ , получаем, что в замкнутой

системе нулю равна не только векторная сумма всех внутренних сил, но и векторная сумма всех их моментов:

i=1

ω

0

Рис. 2.3. Взаимное расположение векторов Fi , dli и dϕ

Согласно основному закону динамики вращательного движения (см. лекцию 1), производная по времени момента импульса i-го тела

42

dLdti = Mi .

Просуммируем это выражение по всем i от 1 до N с учетом (2.3):

где L – полный момент импульса системы. Отсюда следует, что

Полный момент импульса замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.

Данное утверждение называется законом сохранения момента импульса. Как видим, этот закон обусловлен инвариантностью системы относительно пространственных вращений или, что одно и то же, является следствием изотропности пространства.

§ 4. Закон сохранения механической энергии

Вспомним вначале, что в механике различают кинетическую и потенциальную энергии. Кинетическая энергия системы – это мера ее механического движения в пространстве.

Кинетической энергией системы из N материальных точек называется величина

K = ∑N mi vi2 ,

i=1 2

43

где mi и vi – соответственно масса и скорость движения i-й материальной точки.

Выше было показано, что в замкнутой системе наличие внутренних сил не изменяет ее кинетической энергии ни при поступательном, ни при вращательном движении. Так как сколь угодно сложное движение системы может быть разложено на поступательное и вращательное, это означает, что при любом перемещении системы работа внутренних сил не вызывает изменения ее кинетической энергии.

Кинетическая энергия замкнутой системы может изменяться только в результате взаимодействия с внешними телами (системами). В частности, работа внешних сил Fi(e) по перемещению системы из некоторого положения 1 в новое положение 2 приводит к возрастанию ее кинетической энергии. Действительно,

ние легко получить, дифференцируя тождество vi2 = vi2 ), получаем

Таким образом,

По отношению к совершаемой работе все действующие в природе силы делятся на консервативные и неконсервативные.

44

Консервативными силами называются такие силы, работа которых не зависит от формы траектории перемещения тела, а определяется лишь его начальным и конечным положениями.

В противном случае силы называются неконсервативными. Примерами консервативных сил являются силы тяжести и кулоновские силы. Силы трения и силы сопротивления среды – неконсервативные силы, так как совершаемая ими работа приводит к превращению части механической энергии в тепловую энергию, величина которой зависит от протяженности траектории перемещения. В форме теплоты энергия рассеивается в пространстве, переходя в энергию хаотического (теплового) движения частиц. Поэтому силы трения и сопротивления относятся к диссипативным силам (от лат. dissipatio – рассеяние).

Отметим, что не все неконсервативные силы являются диссипативными. Например, гироскопические силы, к которым относятся силы Кориолиса и Лоренца, действуют всегда перпендикулярно к скорости перемещения тела и пропорциональны величине этой скорости. Их работа равна нулю при любом перемещении тела, но от консервативных сил они отличаются тем, что зависят не только от положения тела, но и от скорости его движения.

Если на систему действуют только консервативные силы, то для нее можно ввести понятие потенциальной энергии. Потенциальная энергия системы – это мера ее способности совершать работу в поле консервативных сил. Так как консервативные силы являются конфигурационными силами, т. е. зависят только от координат системы, то и потенциальная энергия системы является только функцией координат. Положив ее значение равным нулю в какой-то одной точке пространства (например, в бесконечно удаленной точке либо на поверхности земли или другого тела), можно определить потенциальную

45

энергию системы в любой другой точке относительно выбранной точки нулевой потенциальной энергии.

Потенциальной энергией системы в некоторой точке про-

странства называется физическая величина, численно равная работе консервативных сил по перемещению этой системы из данного положения в положение, где ее потенциальная энергия принята равной нулю.

Тогда работа консервативных сил по перемещению системы из положения 1 в положение 2 (рис. 2.4) будет равна

так как A20 = −A02 ввиду смены знака dl на противоположный в выражении для работы. Из (2.6) следует, что работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы.

2

1

0

Рис. 2.4. Работа консервативных сил по перемещению тела из положения 1

в положение 2 не зависит от формы траектории перемещения: A12 = A10 + A02

Приравнивая правые части выражений (2.5) и (2.6), получаем

K2 − K1 =U1 −U2 ; K1 +U1 = K2 +U2 .

46

Полная механическая энергия замкнутой системы, равная сумме ее кинетической и потенциальной энергий, при наличии только консервативных сил остается постоянной:

E = K +U = const.

Заметим, что при выводе данного утверждения было неявно сделано допущение об однородности времени. Действительно, при непостоянстве ходе времени потенциальная энергия системы должна зависеть не только от пространственных координат тел, составляющих систему, но и от времени, т. е. U =U (x, y, z,t) . Тогда полный дифференциал U выражается через частные производные по координатам и времени:

dU = ∂∂Ux dx + ∂∂Uy dy + ∂∂Uz dz + ∂∂Ut dt,

причем для консервативных сил

Сравнивая это выражение с (2.5), получаем

47

Лишь в случае однородного времени функция U не может зависеть от t, т. е. ∂U / ∂t = 0 , и мы приходим к стандартной формулировке закона сохранения механической энергии. Таким образом, закон сохранения полной механической энергии в замкнутой системе является следствием ее инвариантности относительно трансляций во времени или, что одно и то же, вытекает из однородности времени.

48

Лекция 3

1.3. Физические основы релятивистской механики

§ 1. Постулаты релятивистской механики

Когда вы идете в вагоне движущегося поезда, то вашу скорость относительно железнодорожного полотна легко найти, воспользовавшись законом сложения скоростей (см. § 4 лекции 1 ). Например, если вы идете со скоростью 5 км/ч по ходу поезда, а он движется со скоростью 100 км/ч, то скорость вашего перемещения относительно рельсов равна 105 км/ч. Если же вы пойдете в обратную сторону с той же скоростью, то относительно рельсов вы будете двигаться со скоростью 95 км/ч.

К концу XIX века, когда в результате экспериментов О. Ремера

(1675), А. Физо (1849), Ж. Фуко (1850), А. Майкельсона (1878) была измерена скорость света, а Дж. Максвеллом (1865) выдвинута концепция об электромагнитной природе света, возникла подобная проблема. Ведь была измерена скорость распространения света относительно Земли, но она вращается вокруг своей оси, вокруг Солнца и вместе с ним вокруг центра Галактики. Вот если бы удалось определить скорость света «в чистом виде», относительно некой абсолютной инерциальной системы отсчета, в которой бы скорость света не зависела от движения Земли…

С античных времен считалось, что такой абсолютной ИСО является эфир. По древнегреческой мифологии эфир – это верхний, лучезарный слой воздуха. Ученые XIX века полагали, что существует такая идеальная неподвижная среда, в которой двигаются все небесные тела и распространяется свет. Ее по традиции и называли эфиром. Разумеется, к летучим органическим соединениям, называемым эфира-

49

ми, в том числе к хорошо известному этиловому эфиру, этот космический эфир никакого отношения не имел.

Американские физики А. Майкельсон и Э. Морли в 1887 г. осуществили опыт, целью которого было обнаружение влияния движения Земли на скорость распространения света – так называемого «эфирного ветра». Однако их опыт дал отрицательный результат: оказалось, что скорость света не зависит от направления его движения относительно движущейся Земли.

Сами авторы опыта и многие другие ученые конца XIX – начала XX веков так и не смогли объяснить, почему не удалось доказать движение Земли относительно эфира и почему свет ведет себя столь «странным» образом, игнорируя классический закон сложения скоростей. Лишь в 1905 г. А. Эйнштейн, глубоко переосмыслив основные представления о свойствах пространства и времени, объяснил отрицательный результат опыта Майкельсона – Морли. В результате им бы-

ла создана специальная теория относительности (СТО) или реля-

тивистская механика, ставшая обобщением классической механики на случай движения тел со скоростями, близкими к скорости света в вакууме.

В основе СТО лежат два постулата или принципа, в пользу справедливости которых говорит весь экспериментальный материал,

втом числе и опыт Майкельсона – Морли:

1)принцип относительности;

2)принцип постоянства скорости света во всех ИСО.

Первый постулат представляет собой обобщение принципа относительности Галилея на любые физические процессы:

Все физические явления протекают одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчета.

50