Физика [РТФ, Браже & Долгов, 1 семестр] / Шизика

Глава 3 Колебания и волны

Лекция 7

3.1. Свободные незатухающие колебания

§ 1. Гармонический осциллятор

Осциллятор (от лат. oscillo – качаюсь) – это колебательная система. Осциллятор называется гармоническим, если в нем происходят гармонические колебания.

Примерами гармонических осцилляторов могут служить различные маятники (математический, пружинный, крутильный), колебательный контур и другие колебательные системы, в которых проис-

91

рактеризуемом углом отклонения α, равна убыли потенциальной энергии: K =U0 −U . При этом

K = 12 Iω2 , I = ml2 , ω =α,

где I – момент инерции вращающегося грузика, ω – угловая скорость вращения.

Как видно из рис. 7.1,

U0 = mgl(1−cosα0 ) ; U = mgl(1−cosα) .

Тогда закон сохранения энергии принимает вид

12 ml2α2 = mgl(cosα −cosα0 ).

Дифференцируя последнее выражение по времени, получаем

α α = − gl α sinα .

Сократив на α и обозначив g / l =ω0 , получаем уравнение движения математического маятника в виде

В случае малых углов отклонения от положения равновесия sinα ≈α , и уравнения (7.1) принимает вид

92

Уравнение (7.2) называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Его решение имеет вид

где амплитуда A и начальная фаза ϕ0 колебаний определяются начальными условиями: начальным углом отклонения и начальной скоростью движения маятника. Уравнение (7.3) называют уравнением гармонических колебаний.

Выпишем выражения для кинетической, потенциальной и полной энергий гармонических колебаний математического маятника:

Здесь мы воспользовались разложением косинуса малого угла в

степенной ряд: cosα =1−α2 +... . Тогда

2!

Из (7.5) следует, что

Потенциальная энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату смещения колеблющейся величины относительно ее равновесного значения.

93

Соответственно решение уравнения (7.8) – уравнение гармонических колебаний физического маятника – имеет вид

где ω0 – циклическая частота колебаний, а их период

Предельным случаем физического маятника является рассмотренный нами выше математический маятник. Действительно, если тело маятника вырождается в материальную точку массой m, то d = l , т. е. длине математического маятника, а I = ml2 . Тогда ω0 = g / l , а

T = 2π l / g . Последнее выражение представляет собой известную вам из школьного курса физики формулу Гюйгенса для периода колебаний математического маятника.

Длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний, что и данный физический маятник, на-

зывается приведенной длиной физического маятника.

Приравнивая правые части формулы Гюйгенса и выражения (7.10), видим, что приведенная длина физического маятника определяется следующим соотношением:

пр md

95

Зная приведенную длину физического маятника, его период колебаний можно вычислить по формуле

Используя физический маятник, можно экспериментальным путем определить его приведенную длину и вычислить ускорение свободного падения из выражения (7.12). Такой метод дает гораздо более точный результат, чем способ нахождения ускорения свободного падения с помощью весьма грубой модели математического маятника. Дело в том, что для более точного определения периода колебаний математического маятника, необходимо измерить время некоторого числа колебаний (не менее десяти) и поделить его на число колебаний. При этом из-за затухания, связанного с сопротивлением воздуха, чтобы обеспечить малые углы отклонения маятника от равновесия, приходится использовать весьма длинный математический маятник (длиной в несколько метров). Это неудобно в условиях лабораторного эксперимента.

§ 3. Идеальный колебательный контур

Под идеальным колебательным контуром понимают элек-

трическую цепь, состоящую из сосредоточенных в разных областях пространства конденсатора и катушки индуктивности. Активное сопротивление контура считается равным нулю.

На рис. 7.3 показан такой колебательный контур. Конденсатор заряжается от источника напряжения, затем с помощью переключателя замыкается на катушку индуктивности. Потери энергии в контуре

96

конденсаторе равно ЭДС самоиндукции в катушке индуктивности:

ряд на обкладках конденсатора, то уравнение (7.13) можно переписать в виде

где ω0 =1/ LC .

Решение дифференциального уравнения гармонических колебаний (7.14) в колебательном контуре имеет вид

где ω0 – циклическая частота колебаний. Период колебаний

т. е. описывается известной из школьной физики формулой Томсона.

97

Падение напряжения на конденсаторе

Сила тока в контуре

т. е. ток опережает напряжение на конденсаторе по фазе на π / 2 . Энергия электрического поля в конденсаторе

Энергия магнитного поля в катушке индуктивности

Так как ω02 L =1/ C , то п олная энергия электромагнитного поля в колебательном контуре

98

Лекция 8

3.2. Сложение гармонических колебаний

§ 1. Сложение когерентных колебаний

Колебания называются когерентными (от лат. cohaerens – находящийся в связи) или согласованными, если они происходят в одном и том же направлении, имеют одинаковые частоты и постоянную во времени разность фаз.

Пусть накладываются друг на друга когерентные колебания произвольной природы следующего вида:

Под ψ1 и ψ2 здесь понимаются смещения относительно равновесных значений колеблющейся величины (например, угла отклонения маятника или заряда на обкладках конденсатора). Для анализа характера результирующих колебаний воспользуемся графическим методом представления колебаний в виде вращающихся векторов

(см. рис. 8.1).

Суть графического метода (метода векторных диаграмм) представления колебаний состоит в том, что колебания представляются вращающимся вектором. При этом амплитуда колебаний соответствует модулю данного вектора, их циклическая частота – его угловой скорости вращения, фаза колебаний – углу отклонения вектора от фиксированного направления, начальная фаза соответствует начальному значению этого угла, а смещение – проекции конца вектора на указанное направление в данный момент времени.

99

ω0 А

А2

ψ

ϕ1 ϕ0

Рис. 8.1. К сложению когерентных колебаний

Поскольку частоты складываемых колебаний одинаковы, векторы их изображающие вращаются с одинаковой угловой скоростью. Суммарный вектор, модуль которого равен амплитуде результирующих колебаний, вращается с той же угловой скоростью. Следовательно, результирующие колебания также будут гармоническими колебаниями с той же циклической частотой, что и исходные колебания. Величина смещения в этих колебаниях (проекция конца вектора A на ось ψ ) будет зависеть от времени по закону

Амплитуду результирующих колебаний легко найти, используя теорему косинусов:

100