Физика [РТФ, Браже & Долгов, 1 семестр] / Шизика

Второй постулат утверждает следующее:

Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Таким образом, скорость света занимает особое положение в природе: она инвариантна относительно преобразований координат, связанных с переходом от одной ИСО к другой. Это обусловлено тем, что скорость света в вакууме является предельной величиной для скорости движения тел или возмущений физических полей, созданных этими телами, – волн. Понятным этот факт становится лишь при обращении к идеям современной космологии, в частности, к представлению о Большом взрыве, положившем начало нашей Вселенной около 13,7 млрд лет назад, и последовавшим за этим процессом возникновения субатомных частиц, атомов, вещества и силовых взаимодействий между ними. Интересующихся деталями данного процесса мы отсылаем к соответствующей литературе.

Что касается проблемы «эфирного ветра», то она отпала сама собой, раз выяснилось, что для света все ИСО равноправны. Сам же термин эфир сохранился в нашей речи лишь применительно к радио- и телепередачам. Физики отождествляют эфир в указанном выше смысле с понятием физический вакуум.

§ 2. ПреобразованияЛоренцадлякоординат скоростейи

Преобразования координат Галилея (см. § 2 лекции 1) основаны на предположении, что длина тела и время являются инвариантами. Это предположение вытекает из здравого смысла и опыта повседневной жизни, но оно терпит фиаско при обращении к большим скоростям движения.

51

Понятно, что вытекающий из преобразований Галилея классический закон сложения скоростей (см. § 4 лекции 1) не может выпо л- няться в рамках новых постулатов. Действительно, если в выражении (1.7), позволяющем найти скорость тела vабс в лабораторной ИСО S ,

кууме, то получается vабс = c +V. Это противоречит второму постула-

ту, так как при c ↑↑V получается vабс > c.

Поэтому преобразования Галилея в релятивистской механике должны быть заменены на другие преобразования координат, не противоречащие ее постулатам. Такие преобразования были получены в 1904 г. голландским физиком Х. Лоренцем еще до появления СТО в ходе попыток объяснения отрицательного результата опыта Майкельсона – Морли. Их называют преобразованиями Лоренца, и для ра с- сматривавшихся в лекции 1 двух ИСО они имеют следующий вид:

Здесь β =V / c – относительная (по отношению к скорости света с в вакууме) скорость переноса системы S' относительно системы S вдоль направления x. Разумеется, при другом направлении переноса, выражения (3.1) принимают иной вид.

Обратим внимание, что при малых скоростях движения (V / c 1) преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея (1.4), рассмотренным в лекции 1.

52

Воспользуемся теперь преобразованиями Лоренца (3.1), записав их для бесконечно малых приращений координат и времени:

Запишем компоненты скорости как соответствующие производные:

Таким образом, релятивистский закон сложения скоростей

можно записать следующим образом:

53

§ 3. Сокращение масштабов

Рассмотрим движение некоторого тонкого стержня вдоль оси x условно неподвижной ИСО S (рис. 3.1). Пусть он движется со скоростью V. Его длина в этой системе отсчета равна разности координат конца и начала стержня: L = x2 − x1. В ИСО , связанной со стержнем, в которой он покоится, его длина, согласно преобразованиям Лоренца

(3.2),

Рис. 3.1. Релятивистское сокращение масштабов

Естественно, что измерение координат конца и начала стержня следует производить в один и тот же момент времени (t2 −t1 ). Тогда из записанной выше формулы следует, что

L0 = 1−Lβ2

54

или

Здесь L0 – длина предмета, измеренная в системе отсчета, относительно которой он покоится, – его собственная длина, а L – длина этого же предмета, измеренная в системе отсчета, относительно кото-

рой он движется, – его релятивистская длина.

Из (3.3) видно, что для наблюдателя, мимо которого предмет перемещается, его продольные (относительно направления движения) размеры представляются тем более сокращенными в масштабах, чем больше скорость перемещения. В частности, при V = c длина предмета, «пролетающего» мимо такого наблюдателя, для него обращается в нуль. При малых по сравнению со скоростью света в вакууме скоростях движения (β 1), в классическом пределе, мы, как и ранее в лекции 1, получаем, что L = L0 .

§ 4. Замедление времени

Пусть в некоторой точке x в условно неподвижной ИСО S (рис. 3.2) происходит событие, длительность которого, измеренная часами, находящимися здесь же, составляет τ0 = t2 −t1 . В ИСО S′, движущейся со скоростью V относительно S, имеются другие часы, ход которых синхронизировали с первыми часами заблаговременно. По этим часам длительность рассматриваемого события, согласно преобразованиям Лоренца (3.1), составляет

55

(S)

(S) y y

t V

x

t

Рис. 3.2. Релятивистское замедление времени

Естественно, что начало и конец события происходят в одной и той же точке пространства (x2 = x1 = x). Тогда из записанной выше формулы следует, что

Здесь τ0 – длительность события, измеренная по часам, неподвижным относительно места, где оно происходит – собственное время, а τ – длительность этого же события, измеренная по часам, которые движутся относительно этого места, – релятивистское время.

Из (3.4) видно, что у движущегося наблюдателя часы «тикают» медленнее, и они отстают по сравнению с часами неподвижного наблюдателя тем сильнее, чем больше скорость движения. В частности, если наблюдатель движется со скоростью света в вакууме V = c , то все происходящие вокруг него события останавливаются. При малых по сравнению со скоростью света в вакууме скоростях движения

56

(β 1), в классическом пределе, мы, как и ранее в лекции 1, получаем, что τ =τ0 .

§ 5. Относительность одновременности событий

Пусть в двух разных точках x1 и x2 некоторой ИСО S (рис. 3.3) одновременно происходят какие-либо два события (t1 = t2 ). Вопрос: будут ли эти события также одновременными для наблюдателя, нахо-

Рис. 3.3. К обоснованию относительности одновременности событий

Разность времен фиксации рассматриваемых событий в ИСО S ∆t = t2 −t1 = 0 (события одновременны). В ИСО S′

Однако теперь первая скобка в числителе дроби, которая у нас уже встречалась, равна нулю, а вторая – нет (события происходят в разных точках). Следовательно, ∆t′ ≠ 0 , и события, одновременные

57

в одной ИСО, вовсе не обязаны быть одновременными в другой ИСО. Более того, если наблюдатель движется от точки x1 к точке x2 (V > 0), то ∆t′ < 0, т. е. событие в точке x1 происходит раньше, чем в

точке x2 .

Обратите внимание: из относительности одновременности событий еще не следует нарушение причинной связи событий. Действительно, ес-

ли ∆t > 0, например, из точки x1 в направлении мишени, находящейся в точке x2 , произведен выстрел, то

так как vx < c (пуля движется медленнее света). Значит, попадание пули

в мишень происходит позже выстрела. Причинная связь событий не зависит от выбора системы отсчета.

§ 6. Релятивистские масса и импульс

Можно показать, что для того, чтобы второй закон Ньютона (уравнение движения) был инвариантен относительно преобразований Лоренца, он должен быть записан в виде

где так называемые релятивистские импульс и масса зависят от скорости движения тела:

58

β =Vc = 0 m = m0 . Итак, наряду с такими рассмотренными выше релятивистскими эффектами, как сокращение масштабов, замедление времени и относительность одновременности, в СТО есть еще один эффект – возрастание массы тела, движущегося относительно наблюдателя.

§ 6. Релятивистские выражения для энергии

Из выражений (3.6), (3.7) следует, что

Рассмотрим очевидное тождество:

или, то же самое в других обозначениях,

γ 2 − β2γ 2 =1.

Умножим левую и правую части этого выражения на одну и ту же величину (m0c2 )2 :

59

(m0c2 )2 (γ 2 − β2γ 2 ) = (m0c2 )2.

Используя (3.8), перепишем его в виде

(m0c2 )2γ 2 − p2c 2 = (m0c2 )2.

Выясним физический смысл первого члена (без квадрата) в полученном выражении, полагая β 1.

Обратите внимание: процедура, которой мы воспользовались, называется разложением функции в степенной ряд. Если вы пока не умеете этого делать, то можете просто убедиться в справедливости данного при-

ближения, сравнивая значения величин 1 / 1− β2 и 1+ (1 / 2)β2 , задавая убывающий ряд значений β = 0,1; 0,01; 0,001, ...

Поскольку второе слагаемое в правой части – кинетическая энергия тела, т. е. энергия, обусловленная его движением, то первое слагаемое также должно иметь смысл энергии, в данном случае – энергии покоящегося тела или его энергии покоя. Сумма обеих энергий составляет полную энергию тела. Тогда при достаточно больших

60