Физика [РТФ, Браже & Долгов, 1 семестр] / Шизика

§ 2. Зоны Френеля. Зонные пластинки

Под зонами Френеля понимают однотипные участки волнового фронта, построенные таким образом, что расстояния от соседних зон до некоторой выбранной точки – фокуса – отличаются на половину длины волны в данной среде.

На рис. 13.3 приведено построение зон Френеля для некоторого участка сферического фронта радиуса r0 .

r0

P

О

Рис. 13.3. Схема построения зон Френеля

Как следует из рис. 13.3,

r02 −(r0 − hm )2 = (b + mλ / 2)2 −(b + hm )2 .

Сокращая одинаковые члены в обеих частях данного выражения и пренебрегая слагаемым m2λ2 / 4, так как λ r0 , b , находим высоту сферического сегмента, соответствующего зоне номера m :

161

Площади построенных таким образом зон Френеля для не слишком больших m одинаковы:

и т. д.

Радиусы зон

rm = (2r0 − hm )hm ≈ 2r0hm ,

откуда

Поскольку лучи от соседних зон Френеля приходят в точку Р в противофазе, а площади всех зон одинаковы, то результирующая напряженность электрического поля световой волны в этой точке

162

Выражения в круглых скобках приблизительно равны нулю.

т. е. если открыто четное число зон Френеля, то в точке Р будет наблюдаться минимум освещенности, а если нечетное – максимум. Причем вклад в результат дают только первая и последняя зоны. Если сделать непрозрачными все четные или, наоборот, все нечетные зоны, то в точке Р будет максимум освещенности, так как все приходящие в эту точку лучи будут складываться в фазе.

Выполненная из прозрачного материала, например, из стекла модель волнового фронта с непрозрачными четными (нечетными) зо-

нами Френеля называется амплитудной зонной пластинкой

(рис. 13.4а). Она может служить для усиления света в фокусе этой пластинки, т. е. является аналогом линзы. Но это плохая линза, так как половина падающего на нее света пропадает впустую. Если непрозрачные участки зонной пластинки сделать прозрачными, но саму пластинку выполнить ступенчатой, так чтобы между лучами, идущими к фокусу из соседних зон, появилась дополнительная разность хода, кратная нечетному числу полуволн, то получится так называемая фазовая зонная пластинка (рис. 13.4б). Она даже внешне напоминает линзу.

Рис. 13.4. Амплитудная (а) и фазовая (б) зонные пластинки

(n – показатель преломления материала)

163

Отметим, что зоны Френеля не обязательно должны быть сферическими или круговыми. В частности, они могут быть плоскими и прямыми, т. е. являться в совокупности аналогами цилиндрических линз.

Зональные фокусирующие устройства можно использовать не только в оптике, но также в акустике и радиотехнике. В радиолокации и радиоастрономии широко используются так называемые антенные решетки, состоящие из отдельных элементов (излучателей), каждый из которых осуществляет прием или излучение электромагнитных волн с заданным фазовым сдвигом и амплитудой.

§ 3. Дифракция Фраунгофера на щели

Пусть плоская монохроматическая световая волна падает нормально на длинную узкую щель в непрозрачной пластине

(рис. 13.5а).

Рис. 13.5. Дифракция Фраунгофера плоской световой волны на щели (а) и век-

торная диаграмма (б), иллюстрирующая нахождение амплитуды дифрагированного света

164

Вследствие дифракции за щелью оказываются лучи самого различного направления, в том числе и такие, которые заходят в область геометрической тени. Линза, установленная напротив щели, собирает любую совокупность параллельных лучей в дифракционные полосы на экране, расположенном в ее фокальной плоскости.

Для отыскания распределения интенсивности дифрагированного света воспользуемся методом векторного представления колебаний (см. лекцию 8). Как видно из рис. 1 3.5а, разность хода лучей, дифрагированных от краев щели на угол ϕ , = asinϕ, где a – ширина щели, а разность фаз соответствующих волн

где λ – длина световой волны в рассматриваемой среде.

Разобьем фронт волны в пределах щели на N одинаковых узких ленточных зон и сложим векторы, характеризующие колебания напряженности электрического поля световых волн, приходящих из этих зон в текущую точку наблюдения на экране. Амплитуды указан-

увеличения номера зоны. Поэтому складываемые векторы образуют ломанную линию, вписанную в дугу окружности некоторого радиуса

R (рис. 13.5б).

Сдвиг фаз волн, приходящих в точку наблюдения от левого и правого краев щели, определяемый выражением (13.4), изобразится на векторной диаграмме углом ∆ϕ между выбранным направлением отсчета x и касательной к окружности, проведенной через конец последнего вектора EN . Из построения видно, что амплитуда результирующей волны Em , дифрагированной на угол ϕ к нормали, равна

165

Em = 2RsinΔϕ / 2 .

Радиус окружности R можно найти, зная амплитуду E0 недифрагированного света, которая на векторной диаграмме представляется длиной дуги, стягиваемой вектором Em . Действительно, если ее

спрямить, то полученный вектор будет представлять собой амплитуду результирующих колебаний, создаваемых световыми волнами, приходящими в точку наблюдения из всех N зон без всякого сдвига фаз, т. е. без дифракции. Так как R = E0 / ϕ , то амплитуда дифрагированного на угол ϕ света

E = E sin(Δϕ / 2) .

m 0 ϕ / 2

Поскольку интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, то ее распределение на экране определяется выражением

Как следует из (13.5), минимумы интенсивности дифрагированного света наблюдаются при ϕ / 2 = mπ , где m = ±1,±2,… . С учетом

(13.4) это дает условие минимумов дифракции света на щели:

§ 4. Дифракционная решетка

Рассмотрим теперь дифракцию света на системе из N одинаковых щелей шириной a каждая, прорезанных в непрозрачной пластине с периодом d (рис. 13.6а). Такое устройство называется амплитудной дифракционной решеткой.

166

Анализ выражения (13.8) приводит к следующим выводам:

1.Первый множитель в круглых скобках описывает дифракцию света на каждой щели решетки в отдельности. Он приводит к пространственной модуляции дифракционной картины по интенсивности (пунктирная линия на рис. 13.7) и обусловливает наличие главных минимумов, описываемых условием (13.6).

2.Второй множитель в круглых скобках учитывает вклад меж-

С учетом (13.7) это дает условие так называемых главных максиму-

мов:

Число главных максимумов ограничено и, как следует из (13.9), определяется условием

Если p принимает запрещенные выше значения, то (13.11) сводится к условию (13.9) главных максимумов. Это означает, что между каждой парой главных максимумов будет N −1 добавочных минимумов и N −2 добавочных максимумов (см. рис. 13.7), интенсивность которых во много раз меньше интенсивности главных максимумов.

169

4. Если отношение периода решетки к ширине щели является целым числом: d / a = k (k =1,2,3,…), то, как следует из (13.6) и (13.9), каждый k-й главный максимум пропадает, а на его месте появляется главный минимум.

В заключение отметим, что кроме рассмотренной здесь одномерной дифракционной решетки могут существовать двумерные и трехмерные решетки. Естественными трехмерными дифракционными решетками являются кристаллические решетки твердых тел, в которых периодическое расположение атомов эквивалентно перемычкам, а промежутки между ними – щелям. Поскольку для наблюдения дифракции существенное значение имеет соизмеримость периода решетки с длиной волны, то на кристаллических решетках дифрагируют рентгеновские лучи с длиной волны порядка нескольких ангстрем. Это явление широко используется в рентгеноструктурном анализе различных кристаллических материалов.

170