Физика [РТФ, Браже & Долгов, 1 семестр] / Шизика

Используя (10.1), найдем частные производные смещения u по времени и координатам:

Уравнение (10.4) называется волновым уравнением для плоских упругих волн в однородной, изотропной среде.

§ 2. Электромагнитные волны

Если в упругих волнах колеблются частицы среды, то в электромагнитных волнах колеблются электрическое и магнитное поля. Следовательно, в отличие от упругих волн, электромагнитные волны могут распространяться даже в вакууме.

Рассмотрим для простоты случай однородной, изотропной среды, когда относительные диэлектрическая и магнитная проницаемо-

121

сти являются постоянными величинами (ε, µ = const). Будем предполагать также, что среда не заряжена (т. е объемная плотность заряда ρ = 0 ) и не проводит электрический ток (т. е. удельная электропроводность среды σ = 0). Частным случаем такой среды является ваку-

ум (ε, µ =1).

Из уравнений Максвелла (см. лекцию 4) для рассматриваемой среды после довольно громоздких преобразований, которые мы здесь опускаем, можно получить следующие два уравнения, описывающие распространение в ней электромагнитных волн:

Здесь v обозначает скорость распространения электромагнитных волн в среде с относительными диэлектрической и магнитной проницаемостями ε и µ , c =1/ ε0µ0 – скорость распространения электромагнитных волн в вакууме (электродинамическая постоянная), а n = εµ – показатель преломления среды, показывающий, во сколько раз уменьшается скорость волны в данной среде по сравнению с вакуумом.

Решения уравнений (10.5) для плоских электромагнитных волн, бегущих вдоль оси x в рассматриваемой нами среде, имеют вид, математически эквивалентный выражению (10.2), являющемуся решением аналогичного уравнения (10.4):

122

где Em и Hm – соответственно амплитуды колебаний напряженности электрического и магнитного полей, а знаки «плюс» и «минус» соответственно относятся к волнам, бегущим вдоль отрицательного и положительного направлений оси x. Электрическое поле здесь обусловлено изменением во времени магнитного поля, а магнитное поле, в свою очередь, обусловлено изменением во времени электрического поля. Оба поля вихревые, поэтому их силовые линии перпендикулярны друг другу. График такой волны представлен на рис. 10.3.

Hm

z

Рис. 10.3. График плоской бегущей электромагнитной волны в неограниченной,

однородной, изотропной, незаряженной диэлектрической среде

§ 3. Энергия бегущей волны

Пусть за время dt через площадку площадью S , перпендикулярную направлению распространения бегущей волны любой природы, будет перенесена энергия dE , запасенная в объеме dV цилиндра с площадью оcнования dS и длиной vdt (рис. 10.4). Если w = dE / dV – объемная плотность энергии в волне, то dE = wvS dt .

123

Понятие о потоке энергии бегущей волны было впервые введено русским физиком Н. А. Умовым (уроженцем г. Симбирска) в 1874 г. Вектор плотности потока энергии применительно к электромагнитным волнам ввел в 1884 г. английский физик Дж. Пойнтинг.

Интенсивностью волны называется среднее по времени значение плотности потока энергии бегущей волны:

I = S = w v.

Упругие волны. Средняя плотность энергии в упругой волне может быть найдена как энергия гармонических колебаний элемента упругой среды единичного объема:

где ρ – средняя плотность среды, ω и А – соответственно частота и амплитуда волны. Отсюда, согласно определению, интенсивность упругой волны

Электромагнитные волны. Объемная плотность энергии электромагнитного поля складывается из соответствующих слагаемых для электрической и магнитной составляющих этого поля:

w = 12 (ε0εE2 + µ0 µH 2 ).

125

В рассматриваемой нами однородной, изотропной, незаряженной и непроводящей среде оба этих слагаемых равны по величине, откуда ε0ε E = µ0µH и, согласно (10.5),

w= ε0εµ0µEH = EHv.

Всоответствии с (10.8) вектор Пойнтинга S = EHv / v или

Тогда интенсивность электромагнитной волны

так как среднее значение квадрата косинуса равно 1/2. Здесь имеется в виду усреднение за время, превышающее период колебаний.

Обратите внимание: интенсивность как упругих, так и электромагнитных волн пропорциональна квадрату амплитуды, однако, в отличие от упругих волн, в случае электромагнитных волн она не зависит от часто-

ты колебаний. Дело здесь в том, что ρω2 – это коэффициент упругости

единичного объема колеблющейся среды, определяющий объемную плотность энергии в упругих волнах. Влияние среды на объемную плотность энергии в электромагнитных волнах проявляется через значения ее относительных диэлектрической и магнитной проницаемостей.

§ 4. Скорости распространения упругих волн

Прежде всего, отметим, что распространение упругих волн в твердых телах существенно отличается от их распространения в жидкостях и газах. В твердых телах упругими являются как продольные

126

деформации растяжения-сжатия, так и поперечные деформации сдвига. Поэтому в изотропных твердых телах могут распространяться как продольные волны, в которых частицы среды колеблются в направлении распространения волны, так и поперечные волны, в которых частицы колеблются перпендикулярно этому направлению. В кристаллах наличие анизотропии упругих свойств приводит к тому, что чисто продольные и чисто поперечные упругие волны могут распространяться лишь в направлениях так называемых акустических нормалей, а в прочих направлениях распространяются квазипродольные и квазипоперечные упругие волны.

В жидкостях и газах сдвиговые деформации не являются упругими. По этой причине в них могут распространяться лишь продольные упругие волны. Разумеется, здесь мы имеем в виду лишь обычные, не слишком вязкие жидкости.

Твердые тела. Пусть вследствие распространения упругой волны в некотором стержне с площадью поперечного сечения S за время dt деформируется масса dm = ρSvdt, где ρ – плотность материала стержня, v – скорость распространения волны. Уравнение движения

где x – колебательная скорость частиц среды в области деформации (в силу малости величины dm ее можно считать одинаковой для всех частиц и не зависящей от времени в течение деформации), F – сила упругой деформации и σ – упругое напряжение в среде.

Согласно закону Гука, для деформаций растяжения-сжатия σ = Eε , а для деформаций сдвига σ = Gε , где E – модуль Юнга, G –

127

модуль сдвига, а ε = l / l – относительная деформация. Тогда уравнение (10.12) можно переписать в виде

для продольных волн или в виде

для сдвиговых волн.

Поскольку l = xt , а l = vt , то из (1 0.13), (10.14) получаем выражения для скоростей распространения продольных и поперечных упругих волн в стержне:

Здесь для скоростей распространения продольных (longitudinal – англ.) и поперечных (transverse – англ.) волн введены соответственно обозначения vL и vT .

Газы. В случае газов в (10.15) можно подставить выражение для плотности среды, полученное из уравнения Клапейрона – Менделеева: ρ = µ p / (RT ), где p – давление газа в области деформации. Оно совпадает с упругим напряжением: p =σ = Eε ≈ E , поскольку газы обладают хорошей сжимаемостью (ε ≈1). Тогда для скорости распространения упругих волн в газах получаем

128

Снова воспользовавшись уравнением Клапейрона – Менделеева, можно переписать (10.17) в виде

Следует отметить, что и температура Т в (10.17), и давление p , и плотность газа ρ в (10.18) соответствуют своим значениям в области сжатия (разрежения). Считая, что процесс распространения упругих волн в газе является изотермическим (T = const) и используя закон Бойля – Мариотта

pV = mµ RT = const

в виде

ρp = RTµ = const,

Ньютон записал выражение для скорости упругих волн (10.18) в виде

где p0 и ρ0 – соответственно равновесные значения давления и плотности газа. Применительно к упругим волнам звукового диапазона формула (10.19) определят так называемую ньютоновскую или изо-

термическую скорость звука.

Она дает заниженный результат по сравнению с экспериментально найденными значениями скорости звука в газах, так как в действительности процесс распространения упругих волн в них, как правило, не является изотермическим. Тепловой поток не успевает вы-

129

ровнять температуры в областях сжатия и разрежения. Более строгое рассмотрение вопроса о скорости звука в условиях адиабатического распространения (без теплообмена) приводит к формуле

где γ – показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме.

Заметим, однако, что формула (10.19) дает правильный результат в случае весьма коротких упругих волн, когда длина свободного пробега молекул газа оказывается больше половины длины волны. Тогда, не успевая столкнуться друг с другом, молекулы могут переносить тепло из области сжатия в область разрежения и выравнивать температуру газа.

Жидкости. Свойства жидкостей сочетают в себе свойства твердых тел и газов. Их сжимаемость хуже, чем у газов, но выше, чем у твердых тел.

Сжимаемостью называется физическая величина, равная отношению относительного уменьшения объема тела к вызвавшему его увеличению давления:

β = − ∆1p ∆VV .

Сжимаемость, соответствующая условиям адиабатического процесса, называется адиабатической сжимаемостью. Величина, обратная сжимаемости, называется модулем объемной упругости. Тогда по аналогии с формулами (10.15), (10.16), с учетом сказанного выше относительно трудностей выравнивания температуры в облас-

130