Физика [РТФ, Браже & Долгов, 1 семестр] / Шизика

Выражение (5.14) пригодно как для однородного, так и для н е- однородного электрического поля, так как оно относится к малой области пространства. При этом запись через скалярное произведение векторов E и D верна лишь для изотропного диэлектрика, когда E ↑↑ D . В общем случае, если мы имеем дело с неоднородным диэлектриком, энергию электрического поля можно вычислить следующим образом: W = ∫wdV .

V

Рассмотрим теперь плоский конденсатор, который зарядили до заряда ±Q на пластинах, а затем отключили от источника ЭДС. Естественно, что противоположно заряженные пластины притягиваются друг к другу. Какова сила этого притяжения? Мы можем выразить эту силу через градиент потенциальной энергии (см. лекцию 2), т. е. через градиент энергии заряженного конденсатора:

где S – площадь каждой из пластин конденсатора. Знак «минус» показывает, что пластины притягиваются друг к другу.

Давление, оказываемое этой силой на диэлектрик, находящийся между пластинами,

Деформация диэлектрика за счет сил давления, вызванных электрическим полем, называется электрострикцией. Так как выражения (5.14)–(5.15) сохраняются и в случае нестационарных полей, то электрострикция может быть и переменной. Это позволяет, например, использовать электрострикционные преобразователи для возбуждения упругих волн в различных средах.

81

Лекция 6

2.3. Законы стационарных токов

§ 1. Характеристики электрического тока

Электрическим током называется процесс направленного переноса электрических зарядов.

В отсутствии электрического тока заряды в проводящей среде совершают хаотическое тепловое движение, и через любую поверхность в обоих направлениях в среднем проходит одинаковое количество носителей заряда одного знака. При наложении электрического поля заряды, продолжая хаотически двигаться, начинают направленно перемещаться (дрейфовать): в направлении поля – положительные заряды или противоположно полю – отрицательные заряды.

Исходной характеристикой электрического тока является физическая величина, называемая плотностью тока

j = Qnu,

где Q – заряд носителя, n – их концентрация, u – ско-

рость дрейфа.

Если в переносе заряда участвуют носители разных по знаку и (или) величине зарядов, то следует пользоваться формулой

j = ∑Qi niui ,

i

82

где суммирование производится по всем типам носителей заряда.

Величина, равная потоку вектора плотности тока j через некоторую поверхность площади S, называется силой тока

I = ∫ jdS.

s

В системе СИ сила тока измеряется в амперах: [I ] =1 A . Соответственно, [ j] =1 А/м2 (ампер на метр в квадрате).

Энергетическими характеристиками электрического тока являются разность потенциалов, электродвижущая сила (ЭДС) и напряжение.

Разностью потенциалов каких-либо двух точек электрического поля называется физическая величина, равная работе кулоновских сил по перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую:

2

ϕ1 −ϕ2 = ∫Edl .

1

Электродвижущей силой, действующей на каком-либо участке цепи между точками 1 и 2, называется физическая величина, равная работе сторонних (не кулоновских) сил по перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую:

2

ε12 = ∫Eсторdl .

1

83

Падением напряжения (напряжением) на участке цепи ме-

жду точками 1 и 2 называется физическая величина, равная суммарной работе как кулоновских, так и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую:

U12 = ∫2 (E + Eстор )dl .

1

Обратите внимание: и разность потенциалов, и ЭДС, и напряжение измеряются в одних и тех же единицах (вольтах), но смысл их различен.

§ 2. Правила Кирхгофа

Пусть имеется узел некоторой электрической цепи, в котором сходятся несколько проводников с токами (рис. 6.1). Скорость, с которой заряд вытекает из данного узла, может быть представлена в следующем виде:

84

но, алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи

равна нулю:

Это утверждение носит название первого правила Кирхгофа. Оно является следствием закона сохранения заряда: какой заряд входит в узел, такой заряд из него и вых одит; в узле цепи стационарного тока не происходит ни накопления заряда, ни его убывания.

Рассмотрим теперь закон Ома в дифференциальной форме для неоднородного участка цепи 1–2, содержащего источник сторонних сил):

j =σ(E + Eстор ) =σ(−gradϕ + Eстор ).

Поделим это выражение на σ и проинтегрируем вдоль линии тока по данному участку цепи:

Далее

и мы получаем закон Ома для неоднородного участка цепи:

85

Для замкнутого контура из нескольких участков цепи (в общем случае неоднородных) суммирование (6.2) по всем участкам, с учетом того, что ∑k (ϕ1 −ϕ2 )k = 0, приводит к выводу, что сумма падений

напряжения на всех участках замкнутого контура в электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в данном контуре:

Это утверждение называется вторым правилом Кирхгофа. Оба правила Кирхгофа широко применяются для расчета электрических цепей.

§ 3. Классическая теория электропроводности металлов

В основе разработанной Друде и Лоренцем теории электропроводности проводников лежит модель, согласно которой ионы в узлах кристаллической решетки считаются неподвижными, а свободные электроны, ускоряются приложенным электрическим полем и сталкиваются с ионами в процессе своего движения. При каждом столкновении с ионом электрон полностью теряет свою кинетическую энергию, и, следовательно, его скорость дрейфа в этот момент времени равна нулю. Перед очередным столкновением скорость дрейфа электрона достигает максимального значения. Таким образом, средняя скорость дрейфа u = umax / 2 . В свою очередь, umax можно найти, зная ускорение a, сообщаемое электрону кулоновской силой, действующей в электрическом поле напряженности E:

86

umax = a τ = eEm τ ,

где e – элементарный заряд, равный по модулю заряду электрона, m – масса, а τ – среднее время свободного пролета электрона, равное отношению его средней длины свободного пробега λ к средней скорости движения v . Следовательно, средняя скорость дрейфа электронов в проводнике

u = eE2m λv .

Так как плотность тока в металле j = en u , то

j = e2 E λ E. 2m v

В соответствии с законом Ома в дифференциальной форме, коэффициент при E в правой части полученного выражения равен удельной электропроводности металла σ , т. е.

Обратите внимание: в теории Друде – Лоренца предполагается, что скорость дрейфа электронов во много раз меньше их средней скорости теплового движения ( u v ). Отсюда следует, что классическая теория электропроводности металлов неверна, по крайней мере, в двух случаях: в области достаточно сильных электрических полей и при низких температурах. Однако и в обычных условиях эта теория лишь качественно объясняет уменьшение электропроводности и, стало быть, возраста-

87

ние сопротивления металлов с увеличением температуры. Действительно, из теории, согласно формуле (6.4), следует, что σ =1/ T , в то время как эксперимент дает следующую зависимость: σ =1 / T . Корректную теорию электропроводности металлов удается построить лишь на основе квантовых представлений о движении электронов в проводниках.

§ 4. Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме

Как вы, должно быть, помните из школьного курса физики, закон Джоуля – Ленца утверждает, что количество теплоты, выделенное в проводнике при протекании электрического тока, пропорционально квадрату силы тока в нем, сопротивлению проводника и времени протекания тока:

та (энергия), выделяемая при протекании тока в единицу времени в единице объема проводника, т. е. удельная мощность тока, то из (6.5) следует, что

Выражение (6.6) называется законом Джоуля – Ленца в диф-

ференциальной форме.

§ 5. Энергия и мощность в электрической цепи

Пусть к источнику сторонних сил с ЭДС ε и внутренним сопротивлением r подключена нагрузка с сопротивлением R.

Полная мощность, выделяемая в цепи за счет работы сторонних сил, P0 = Iε . Сила тока в замкнутой цепи I = ε / (R + r). Если цепь за-

88

корочена ( R = 0 ), то сила тока в цепи достигает своего максимального

Ее максимальное значение можно найти из условия максимума для данного выражения, приравняв нулю производную P2 по I . Тогда

= ε / (2r) = Iкз / 2 , а

P2max = ε2 .

4r

Следовательно, максимальная мощность в нагрузке выделяется при токе, равном половине тока короткого замыкания, т. е. когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника, а ее значение в четыре раза меньше максимально возможной мощности источника.

Коэффициент полезного действия электрической цепи

89

Отметим, что при R = r , т. е. при выделении в нагрузке макс и- мальной мощности, η = 0,5.

На рис. 6.2 представлены зависимости распределения мощности в цепи и ее коэффициента полезного действия от силы тока.

Рис. 6.2. Распределение мощности в цепи стационарного электрического тока

и коэффициент ее полезного действия в зависимости от силы тока

Обратите внимание: одну и ту же мощность на нагрузке можно получить в двух разных режимах. При этом режиму с I < Iкз / 2 (R > r) соот-

ветствует больший КПД, чем режиму с I > Iкз / 2 (R < r).

90