Физика [РТФ, Браже & Долгов, 1 семестр] / Шизика

существовать только в некоторой упругой среде, в то время как фотоны могут существовать и в вакууме. По этой причине, в отличие от настоящих частиц (электронов, протонов, фотонов и т д.) фононы называют

квазичастицами (от лат. quasi – как бы).

А. Эйнштейн в 1907 г. показал, что в условиях термодинамического равновесия среднее число фононов с энергией ωi определяется выражением

Выражение (23.3) представляет собой частный случай распределения Бозе – Эйнштейна, которому подчиняются все частицы с целочисленными значениями спина, в том числе фотоны и фононы:

где Ei – энергия частицы в i -м состоянии, а µ – химический потенциал системы, под которым понимается величина, равная изменению энергии системы при добавлении в нее или удалении из нее одной частицы.

Распределение (23.4) лежит в основе квантовой статистики Бозе – Эйнштейна, созданной в 1924 г. Частицы, подчиняющиеся этой статистике, называют бозонами. Напомним (см. § 1 лекции 17), что для бозонов принцип Паули не выполняется. Они все склонны скапливаться в одном квантовом состоянии с наиболее низкой в данных условиях энергией.

График распределения Бозе – Эйнштейна представлен на рис. 23.6. Здесь индекс i , обозначающий номер частицы, для простоты опущен.

Заметим, что химический потенциал µ в распределении (23.4) не может принимать положительные значения, так как в противном

291

случае при E < µ среднее число бозонов оказалось бы отрицательным, что лишено физического смысла.

<n>

Рис. 23.6. Распределение Бозе – Эйнштейна

§4. Теплоемкость твердых тел

В§ 2 лекции 21 уже говорилось о недостатках классической теории теплоемкости твердых тел, описываемой законом Дюлонга и Пти. С целью устранения этих недостатков А. Эйнштейн в 1907 г. разработал квантовую теорию теплоемкости твердого тела, исходя из представлений о передаче тепла фононами. При этом он сделал упрощающее предположение, что все фононы независимы друг от друга и имеют одинаковую энергию ω.

Тогда внутренняя энергия кристалла вместо выражения (23.1) может быть записана в виде

Продифференцировав (23.5) по температуре, можно получить формулу Эйнштейна для молярной теплоемкости кристалла:

292

где ΘE = ωk – так называемая температура Эйнштейна.

Рассмотрим два предельных случая, к которым сводится выра-

жение (23.6).

1. Высокие температуры (T ΘE ). Тогда

eΘE T =1+ ΘTE +...

и, ограничившись первыми двумя членами этого разложения в знаменателе, а в числителе только первым членом, формулу (23.6) можно свести к виду

Cµ = 3R.

Таким образом, при высоких, по сравнению с температурой Эйнштейна, температурах мы приходим к классическому закону Дюлонга и Пти.

2. Низкие температуры (T ΘE ). В этом случае eΘE T 1, и (23.6) принимает вид

стремится к нулю, так как его возрастание по закону T −2 происходит значительно медленнее, чем спад по экспоненте. Эксперимент подтверждает обращение теплоемкости в нуль при нулевой температуре, но только качественно, так как дает при низких температурах зависимость Cµ T 3.

293

В 1912 г. П. Дебай усовершенствовал теорию теплоемкости Эйнштейна, приняв во внимание, что колебания атомов в кристаллической решетке твердого тела не являются независимыми. Смещение из положения равновесия одного атома приводит, с некоторым запозданием, к смещению соседних атомов. В результате образуются стоячие упругие волны с некоторым спектром частот.

Для случая простой кристаллической решетки, у которой в элементарной ячейке содержится лишь один атом, теория Дебая приводит к следующей формуле:

где ΘD = ωm / T – температура Дебая. Здесь ωm – максимальная частота колебаний атомов в кристаллической решетке, определяемая из выражения ωm = v36π2n , где v – фазовая скорость распространения упругих волн, а n – концентрация атомов.

При низких температурах (T ΘD ) формула (23.8), как и формула Эйнштейна (23.6) сводится к Закону Дюлонга и Пти: Cµ = 3R . При высоких температурах (T ΘD )(23.8) приводится к виду

подтверждающему экспериментально открытый факт устремления теплоемкости к нулю при низких температурах по закону кубической параболы.

294

К телам со сложной кристаллической решеткой теория Дебая в чистом виде не применима ввиду наличия в них множества ветвей в спектре упругих колебаний.

На рис. 23.7 приведены зависимости Cµ (T ) , построенные согласно формулам (23.6) и (23.8).

Cµ

3R

1

Рис. 23.7. Температурная зависимость теплоемкости твердых тел

вприближении Дебая (1) и в приближении Эйнштейна (2)

Взавершение вопроса отметим, что изложенная выше теория теплоемкости твердых тел относится к диэлектрикам. В металлах и полупроводниках к теплоемкости кристаллической решетки добавляется теплоемкость газа свободных носителей заряда: электронов в металлах и электронов и/или дырок в полупроводниках. Однако, поскольку эта составляющая существенно меньше, чем решеточная теплоемкость, то теплоемкость проводников не слишком отличается от теплоемкости диэлектриков. Гораздо в большей степени она зависит от температуры Дебая для данного материала.

295

Лекция 24

7.2. Электропроводность твердых тел

§1. Распределение Ферми – Дирака

Вотличие от рассмотренных в § 3 прошлой лекции фононов электроны являются фермионами (см. также § 1 лекции 17), и для них распределение по энергетическим состояниям имеет иной вид:

Выражение (24.1) носит название распределения Ферми – Дирака в честь итальянского физика Э. Ферми и английского физика П. Дирака, независимо друг от друга разработавших в 1925–1926 гг. статистику частиц с полуцелым спином. Здесь f (E) – функция Ферми – Дирака, имеющая смысл среднего числа частиц, находящихся в состоянии с энергией E (числа заполнения уровня с энергией E ),

или, что одно и то же, вероятности заполнения этого состояния),Eа –

F

так называемая энергия Ферми, определяющая энергию состояния, вероятность заполнения которого равна 12 . По сути дела, энергия Ферми является упомянутым в § 3 прошлой лекции химическим потенциалом системы, так как она соответствует средней энергии, приходящейся на один фермион: половина частиц имеет бóльшую энергию, половина – меньшую.

График распределения Ферми – Дирака представлен на рис.24.1. Из него видно, что при температуре, равной абсолютному нулю, все частицы имеют одинаковую энергию, равную EF , т. е. имеет место вырождение частиц по энергиям. С возрастанием температуры «хвост» функции распределения растягивается.

296

Рис. 24.1. Распределение Ферми – Дирака

Поведение ферми-газа существенно зависит от соотношения между температурой кристалла и так называемой температурой Ферми ΘF = EF k . Различают два предельных случая.

1. Низкие температуры (T ΘF ), когда kT EF . В этом случае

электронный газ называется вырожденным, и для его описания следует пользоваться распределением Ферми – Дирака (24.1).

2. Высокие температуры (T ΘF ), когда kT EF . В этом случае можно воспользоваться разложением экспоненты в степенной ряд: e(E−EF )kT =1+ (E − EF )/ kT +..., и (24.1) переходит в распределение Больцмана (см. § 3 лекции 19):

Такой электронный газ называют невырожденным. При комнатной температуре (T = 300 K), как легко подсчитать, kT = 0,026эВ, что

намного меньше типичных значений энергии Ферми в металлах. По этой причине электронный газ в металлах при температурах, близких к комнатным, является вырожденным, и для его описания следует использовать статистику Ферми – Дирака.

297

§ 2. Элементы зонной теории твердых тел

Регулярное расположение ионов в кристаллической решетке твердого тела создает для электронов электрическое поле с периодически изменяющимся электрическим потенциалом. На рис. 24.2 это проиллюстрировано на примере одномерной кристаллической решетки в виде линейной цепочки атомов.

U d

x

Рис. 24.2. Потенциальный рельеф в виде периодической последовательности

потенциальных ям

По сути дела электроны в кристалле находятся в периодически расположенных полубесконечно глубоких потенциальных ямах с потенциальными барьерами между ними. В свете того, что было сказано в §§ 5,6 лекции 16, понятно, что пространственное ограничение мест локализации электронов приводит к тому, что их энергетический спектр становится дискретным, и возникает некоторая система энергетических уровней, на которых они могут находиться.

При сближении атомов расстояние d между ними уменьшается, и они начинают влиять друг на друга своими электрическими полями, так как превращаются в диполи. Это приводит к снятию вырождения с уровней энергии. Они расщепляются на подуровни, которые к тому же уширяются.

298

Уширение подуровней энергии обусловлено соотношением неопределенностей Гейзенберга (см. § 2 лекции 16). Чем ближе атомы друг к другу, тем меньше ширина разделяющих их потенциальных барьеров и выше вероятность туннельных переходов электронов от атома к атому. Время пребывания электрона в пределах одного атома в некотором энергетическом состоянии сокращается и, соответственно, неопределенность энергии этого состояния (ширина подуровня) увеличивается. При этом, чем выше энергия, тем больше «размытость» подуровня. Высоко расположенные уровни энергии при таком расщеплении и «размытии» могут перекрываться.

Таким образом, энергетический спектр электронов в кристаллах оказывается разделенным на ряд чередующихся разрешенных и запрещенных зон. На рис. 24.3 это проиллюстрировано графически.

Для дальнейшего рассмотрения вопроса важно понимать, что число атомов в кристалле, т. е. его размеры, не влияет на ширину зон, а определяет лишь плотность подуровней энергии в разрешенных зонах. Типичная ширина зон составляет несколько электрон-вольт, а интервал энергии между подуровнями порядка 10-22 эВ.

d

Рис. 24.3. Образование энергетических зон в кристаллах

299

Разрешенную зону, образовавшуюся из тех уровней энергии, на которых располагаются валентные электроны, называют валентной зоной, а разрешенную зону, расположенную над валентной зоной –

зоной проводимости.

При изучении электропроводящих свойств твердых тел во внимание принимается лишь валентная зона, зона проводимости и разделяющая их запрещенная зона. При этом все твердые тела подразделяются на металлы, диэлектрики и полупроводники.

Металлы. Для того, чтобы ускориться под воздействием приложенного электрического поля и, стало быть, увеличить свою энергию, свободные электроны в металле должны иметь возможность подняться на более высокие энергетические уровни, которые, в свою очередь, должны быть не заняты. В связи с этим

Металлами называются такие твердые тела, у которых валентная зона заполнена электронами частично либо перекрывается со следующей разрешенной зоной.

Схема зонной структуры различных твердых тел показана на рис. 24.4. На нем с лева представлено заполнение энергетических уровней в разрешенной зоне электронами при температуре, равной абсолютному нулю. В соответствии с принципом Паули на каждом уровне может находиться не более двух электронов с противоположено ориентированными спинами. Они показаны жирными точками.

В металлах (рис. 24.4а) верхний заселенный электронами уровень при Т = 0К – это уровень Ферми EF (см. рис. 24.1). Справа приведена упрощенная схема зон, в которой область, заполненная электронами, покрыта штриховкой.

Потолок валентной зоны обозначен как Ev (от англ. valence – валентный), дно зоны проводимости – Ec (от англ. conductive – проводящий), ширина запрещенной зоны – Eg (от англ. gap – щель).

300