Лекция 9. Общее понятие устойчивости систем

Рассматриваемые вопросы:

1. Сравнительная оценка критериев устойчивости;

2. Выделение областей устойчивости – метод D – разбиения.;

3. Влияние корней характеристического уравнения и параметров системы на её устойчивость.

Сравнительная оценка критериев устойчивости

Все рассмотренные критерии устойчивости дают возможность определить факт устойчивости или неустойчивости системы и с этой точки зрения они равноценны. Однако различные критерии устойчи­вости позволяют получить различные дополнительные сведения о характере устойчивости. Данные, полученные при исследовании устойчивости некоторыми критериями, могут быть использованы при дальнейших исследованиях.

Критерий Гурвица и Рауса позволяют определить только факт устойчи­вости; он и не даёт возможности судить о времени затухания колеба­ний и о том, насколько далеко система находится от границы устой­чивости. Кроме того, для использования этим критериев необ­ходимо иметь аналитические уравнения всех звеньев системы; экспериментальные характеристики использовать нельзя. Сложность вычислительной работы резко возрастает с повышением порядка дифференциального уравнения. Для уравнений до четвёртого по­рядка критерий Гурвица даёт возможность выяснить влияние на устойчивость системы отдельных её параметров. При уравнениях порядка выше четвёртого такая возможность практически отсутствует.

С помощью критерия Гурвица можно исследовать на устойчивость только линейные системы с сосредоточенными параметрами без запаздывания.

Критерий Гурвица и Рауса обычно применяется для определения устой­чивости систем не выше четвёртого порядка, что выполняется доста­точно просто. Результаты вычислений, полученные при использо­вании этого критерия, в дальнейших исследованиях системы исполь­зовать нельзя.

Частотный критерий устойчивости Михайлова обладает всеми перечисленными выше недостатками критерия Гурвица. Дополни­тельным его недостатком является то, что определить влияние пара­метров системы на её устойчивость практически невозможно.

Достоинством критерия Михайлова является возможность срав­нительно просто найти критический коэффициент усиления и за­пас устойчивости по коэффициенту усиления.

С помощью критерия Михайлова можно исследовать на устойчивость линейные системы с сосредоточенными параметрами без запаздывания. Результаты вычислений при дальнейших исследованных системы использовать нельзя. Широкого распространении и проектно-исследовательской практике критерий Михайлова не получил.

Наиболее широкое применение получили амплитудно-фазовый критерий устойчивости Найквиста и определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам. Это объясняется тем, что частотные характеристики, по которым производится анализ устойчивости, могут быть использованы при исследовании качества переходных процессов и при синтезе корректирующих устройств.

Критерий Найквиста может быть также использован при исследовании устойчивости систем с запаздыванием и при исследовании нелинейных систем методом гармонической линеаризации.

Критерий устойчивости по приближенным логарифмическим частотным характеристикам является значительно менее трудоёмким, чем другие критерии.

Оба критерия могут быть использованы и в том случае, когда частотные характеристики отдельных элементов получены экспериментально и отсутствуют их аналитические выражения. С помощью этих критериев можно найти критический коэффициент усиления и запас устойчивости по амплитуде и по фазе.

Таким образом, критерий Найквиста и определение устойчиво­сти по логарифмическим частотным характеристикам обладают наи­более широкими возможностями.