Представление афчх на комплексной плоскости

Комплексная функция частоты называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой – АФЧХ динамического звена Ее модуль есть АЧХ, а аргумент – ФЧХ. На комплексной плоскости величина изображается вектором, длина которого равна отношению амплитуд, а угол – разности фаз выхода и входа.

Рис.4.3. Изображение на комплексной плоскости величины АФЧХ для определенного значения частоты ω1

Соответственно на комплексной плоскости АФЧХ представляется кривой – годографом, которую вычерчивает конец вектора при изменении ω от 0 до +∞.

Рис. 4.4. Амплитудно-фазовая частотная характеристика динамического звена

АФЧХ может быть записана не только в показательном виде, но и также в виде суммы вещественной и мнимой частей:

Которые определяются через АЧХ и ФЧХ:

Логарифмические частотные характеристики

При расчетах в системах автоматического регулирования весьма удобными оказались логарифмические частотные характеристики. В этом случае угловая частота откладывается по оси абсцисс в логарифмическом масштабе, то есть откладывается десятичный логарифм частоты, а около отметки указывается само значение частоты (рис. 4.5а). Иногда на оси абсцисс указывают значение десятичного логарифма частоты , реже – логарифма при основании два – (см. рис. 4.5 б, в).

Единица приращения десятичного логарифма соответcтвует удесятерению частоты, которое называется декадой. Единица приращения , соответствующая удвоению частоты, называется октавой. Одна октава соответствует 0,303 декады, так как .

Чтобы обосновать выбор масштабов по осям ординат для амплитуды и фазового сдвига , возьмем выражение для амплитудной частотной характеристики в показательной форме:

и прологарифмируем его:

.

Рис. 4.5. Шкала частот логарифмических частотных характеристик

Рис. 4.6. Шкалы амплитуд логарифмических частотных характеристик

Амплитуду , как и частоту , удобнее откладывать в логарифмическом масштабе, а фазу – в линейном. Когда на оси амплитуд измеряемая величина откладывается в логарифмическом масштабе, то около отметок указываются сами значения амплитуды (рис. 4.6 а). Реже изменение амплитуды указывается в логах или децилогах (см. рис. 4.6 б). При этом один лог (или десять децилог) соответствует изменению амплитуды в 10 раз.

Единица измерения амплитуды сигнала бел (или децибел – одна десятая часть бела, см. рис. 4.6 в), которая определяется из соотношения:

Аппарат логарифмических частотных характеристик получил большое распространение при расчете систем автоматического регулирования, так как, во-первых, позволяет упростить расчеты (произведения величин заменяются суммой их логарифмов, Рис. 3.3. Шкала частот логарифмических частотных характеристик Рис. 3.4. Шкалы амплитуд логарифмических частотных характеристик степенные функции заменяются наклонными прямыми), а во вторых, и это главное, помогает выделить главный, доминирующий фактор в свойствах системы регулирования, обеспечивает наиболее ясную и простую связь частотной характеристики со структурой и параметрами системы регулирования.