
- •Часть 1
- •О главление
- •Предисловие
- •После изучения дисциплины необходимо знать
- •После изучения дисциплины необходимо уметь
- •Содержание дисциплины
- •Самостоятельная работа студентов и контроль знаний студентов
- •После изучения главы необходимо знать
- •Простейшие интегралы
- •После изучения главы необходимо знать
- •2 Рис. 2.1 Рис. 2.1 .1. Кинематика материальной точки
- •Примеры решения задач
- •2.2. Кинематика абсолютно твердого тела
- •Примеры решения задач
- •2.3. Динамика материальной точки
- •Примеры решения задач
- •2.4. Законы сохранения
- •Примеры решения задач
- •2.5. Динамика абсолютно твердого тела
- •Примеры решения задач
- •2.6. Механика деформируемых тел
- •2.7. Механика жидкостей и газов
- •М етоды определения вязкости.
- •2.8. Неинерциальные системы отсчета
- •Пример решения задачи
- •2.9. Специальная теория относительности
- •Примеры решения задач
- •После изучения главы необходимо знать
- •3.1. Гармонические колебания
- •3.2. Свободные незатухающие механические колебания
- •С другой стороны, при малых углах
- •3.3. Затухающие механические колебания
- •3.4. Вынужденные механические колебания. Резонанс
- •3.5. Упругие волны
- •После изучения главы необходимо знать
- •4.1. Основные положения и определения
- •4.2. Уравнение состояния идеального газа
- •4.3. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа
- •4.4. Кинетическая теория идеального газа
- •4.5. Реальные газы
- •Вопросы для самоконтроля к разделу 1: Элементы векторного анализа
- •К разделу 2: Физические основы механики
- •К разделу 3: Колебания и волны
- •К разделу 4: Молекулярная физика и термодинамика
- •Т олковый словарь
- •Инертность тел – свойство, присущее всем телам и заключающееся в том, что тела оказывают сопротивление изменению их скорости (как по модулю, так и по направлению).
- •Кинематика – раздел механики, изучающий движение тел без рассмотрения причин, которые это движение обуславливают.
- •З аключение
- •Б иблиографический список
- •Краткий курс физики
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
3.4. Вынужденные механические колебания. Резонанс
Колебательное
движение системы под воздействием
внешней периодической силы называют
вынужденными
колебаниями,
а саму внешнюю силу F
(t)
называют вынуждающей
силой.
Из уравнения движения
т = -kx - b + Fx(t)
получим уравнение вынужденных колебаний
+ 2 + ω02x = f(t),
где
принято обозначение f(t)
=
.
Общее решение такого неоднородного (с правой частью не равной нулю) дифференциального уравнения может быть представлено в виде суммы частного (то есть любого) решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения однородного (с правой частью равной нулю) дифференциального уравнения, то есть уравнения затухающих колебаний, для которого f(t) = 0.
Частным
решением данного неоднородного уравнения
могут быть установившиеся колебания.
Так как любая периодическая сила Fx(t)
может быть разложена в ряд Фурье, то
естественно исследовать установившиеся
вынужденные колебания под действием
гармонической вынуждающей силы f(t)
=
=
cost.
Установившиеся колебания имеют вид
гармонических колебаний такой же
частоты, но со сдвигом по фазе:
x(t)
= Acos(t
+ φ).
После математических преобразований находим
А
Рис. 3.7
,
tgφ = -
.
При
= 0 получается, что φ
= 0 и А
=
=
,
что соответствует статическому смещению
тела вслед за медленно меняющейся силой.
При
имеем А
0 и φ
-.
Графики зависимости А()
и φ()
приведены на рис. 3.7.
Резонанс. Максимальное значение амплитуды установившихся колебаний достигается при резонансной частоте :
рез
=
=
и равно
Амах
= А(рез)
=
,
г
Рис. 3.8
=
(
- логарифмический декремент затухания);
величина Q
=
- добротность колебательной системы.
Ширина максимума на уровне
равна коэффициенту затухания: ∆
.
Амплитуда
установившихся колебаний скорости
достигает максимального значения
при
= ω0.
При резонансе колебания скорости
происходят в фазе с колебаниями
возмущающей силы.
Рассмотрим процесс установления колебаний при частоте вынуждающей силы, равной резонансной частоте (при ω0). Если в начальный момент смещение и скорость точки равнялись нулю, то в рассматриваемом пределе начальным условиям удовлетворяет решение:
х Амaxsinωt + Амaxexp(-t)sinωt = Амax[1 - exp(-t)]sinωt.
Полученная
зависимость изображена на рис. 3.8. При
t
амплитуда растет пропорционально
времени: A(t)
Амaxt
=
;
затухание на этом этапе влияния не
оказывает. Время установления колебаний
велико по сравнению с периодом:
.
Если частота
близка к ,
но отличается от нее, то движение на
начальном этапе t
представляет собой сумму колебаний
с близкими частотами. Если выполнено
условие
|
-
|
,
то в процессе установления колебаний
происходят явно выраженные биения (то
есть амплитуда колебаний возрастает
почти до 2Амax
и уменьшается почти до нуля с
периодом Тб
=
.