2.7. Механика жидкостей и газов

Кроме движения твердых тел друг относительно друга и вращения вокруг определенной оси, возможно движение, которое сводится к перемещению друг относительно друга различных частей одного и того же непрерывного и бесконечно большого для данных условий тела, называемого сплошной средой. Сплошная среда может представлять собой упругое твердое тело, в котором возникают сдвиги (см. Механику деформируемых тел) и колебания (волны). Сплошная среда может представлять собой жидкость или газ, в которых возможно возникновение как течений, так и колебаний.

Раздел физики, изучающий законы равновесия и движения жидкостей и газов, а также взаимодействие движущихся жидкостей и газов между собой и с омываемыми ими твердыми телами называется гидроаэромеханикой.

Движение идеальной жидкости. Идеальной жидкостью называется несжимаемая жидкость (плотность жидкости мало зависит от давления), перемещение одних слоев которой относительно других не связано с возникновением сил трения (отсутствует внутреннее трение или вязкость). При движении газов со скоростями, намного меньшими скорости звука в этой среде, их можно считать несжимаемыми жидкостями. Движение жидкости (газа) называется течением, а совокупность ее движущих частиц – потоком. Совокупность векторов скорости v частиц жидкости образует поле вектора скорости, в котором можно провести линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением скорости частицы жидкости в данной точке – линии тока (рис. 2.25)

Рис. 2.25

Рис. 2.26

Графически там, где линии тока гуще, модуль скорости будет больше и, наоборот, где линии тока реже, модуль скорости меньше. Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным = const, то течение называется стационарным. Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока (рис. 2.26).

Если жидкость несжимаема и частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока, то объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сечения S₁ и S₂, должны быть одинаковыми S₁v₁ = S₂v₂, где v₁ и v₂ соответствующие модули скорости течения жидкости.

Теорема о неразрывности струи гласит, что для несжимаемой жидкости в любом сечении одной и той же трубки тока одинакова величина Sv = const. Получается, что при переменном сечении трубки тока частицы несжимаемой идеальной жидкости движутся с ускорением.

Уравнение Бернулли. В идеальной жидкости силы трения отсутствуют. Течение идеальной жидкости не сопровождается диссипацией энергии. Энергия каждой частицы жидкости слагается из ее кинетической энергии и потенциальной энергии в поле сил земного тяготения.

Д

Рис. 2.27

ля стационарно текущей несжимаемой жидкости (плотность жидкости ρ постоянна), ограниченной стенками трубки тока малого переменного сечения, приращение энергии ∆E всего рассматриваемого объема можно вычислить как разность энергий объемов ∆V₁ и ∆V₂, которые по теореме неразрывности струи имеют одинаковую величину ∆V₁ = ∆V₂ = ∆V (рис. 2.27):

∆E = E₂ – E₁ = (E_к2 + E_п2) - (E_к1 + E_п1) =

= ( + mgh₂) - ( + mgh₁) =

= ( + ρ∆Vgh₂) - ( + ρ∆Vgh₁).

В идеальной жидкости в силу отсутствия сил трения приращение энергии должно равняться работе, совершаемой над выделенным объемом только силами давления.

Причем, силы давления, перпендикулярные к направлению перемещения частиц, работы не совершают, а силы давления, приложенные к сечениям S₁ и S₂, совершают отличную от нуля работу А, равную:

A = p₁S₁∆l₁ – p₂S₂∆l₂ = (p₁ – p₂)∆V.

Приравняв выражения для приращения энергии и работы, и проведя математические преобразования, получим

+ ρgh₁ + p₁ = + ρgh₂ + p₂,

или + ρgh + p = const, Данное выражение называется уравнением Бернулли. Здесь - динамическое давление, ρgh – гидростатическое давление, p – статическое давление (давление в невозмущенном потоке), p₀ = p + – полное давление (рис. 2.28).

Рис. 2.28

Рассмотрим случай горизонтального потока жидкости (отсутствует гидростатическая составляющая давления). Полное давление p₀ измеряется трубкой Пито (рис. 2.29). В точке 2 скорость жидкости равна нулю, следовательно, равно нулю и динамическое давление:

p₂ = p₁ + = p_0…

Рис. 2.29

Рис. 2.30

Рис. 2.31

Статическое давление p измеряется с помощью зонда – изогнутой трубки с закрытым концом и боковыми отверстиями (рис. 2.30). В точках 1 и 2 динамические давления равны, следовательно,

p₂ = p₁ = p.

С помощью трубки Пито – Прандтля можно измерить динамическое давление и скорости течения жидкости (газа) (рис. 2.31).

Формула Торричелли. Для идеальной жидкости скорость v истечения жидкости из отверстия сечением S₂, расположенного на глубине h под открытой поверхностью сечением S₁>>S₂, совпадает со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h (рис. 2.32).

Д

Рис. 2.32

ля трубки тока переменного сечения уравнение Бернулли можно написать в виде:

+ ρgh₁ + p₁ = + ρgh₂ + p₂,

Статические давления в обоих сечениях равны атмосферному и одинаковы p₁ = p₂. Уравнение примет вид:

+ gh₁ = + gh₂ .

Из уравнения неразрывности струи следует, что = и с учетом условия S₁ >> S₂ получается, что = 2g(h₂ – h₁) = 2gh, откуда выводится формула Торричелли

v₂ = v = .

Вязкость. Всем реальным текучим телам (жидкостям и газам) в различной мере присуще свойство оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой, которое объясняется появлением сил внутреннего трения F_тр, или вязкостью. Основной закон вязкого течения гласит, что

F_тр = η | | S,

где F_тр – тангенциальная (касательная) сила, вызывающая сдвиг слоев жидкости (газа) друг относительно друга, S – площадь слоя, по которому происходит сдвиг, = gradv – градиент скорости течения (быстрота изменения скорости от слоя к слою в направлении, перпендикулярном движению слоев), иначе – скорость сдвига. Коэффициент пропорциональности η называется коэффициентом динамической вязкости или просто вязкостью. Он характеризует сопротивление жидкости (газа) смещению ее слоев. Величина φ = называется текучестью.

Вязкость – величина, численно равная тангенциальной силе, приходящейся на единицу площади, необходимой для поддержания разности скоростей, равной единице, между двумя параллельными слоями жидкости (газа), расстояние между которыми равно единице. В системе СИ [η] = паскаль-секунда (Па·с), в СГС [η] = пуаз (П), причем 1 Па·с = 10 П.

Величина  = называется кинематической вязкостью и численно равна отношению динамической вязкости η к плотности ρ вещества. Измеряется в в СИ, и в СГС - в стоксах.

Вязкость зависит от температуры. У жидкостей вязкость уменьшается с увеличением температуры, а у газов, наоборот, увеличивается. Это указывает на различие механизмов внутреннего трения в жидкостях и газах.