Примеры решения задач

Пример 1. Найти конечные скорости ₁ и ₂ упругих шаров массой m₁ и m₂ после центрального удара, если их скорости до удара равнялись ₁ и ₂, соответственно.

Решение: При центральном ударе упругих шаров сохраняется и импульс системы, и ее механическая энергия:

,

.

Вместо второго уравнения удобно использовать условие, что относительная скорость шаров не меняется по величине, но изменяет свой знак: v_1х – v_2х = u_2х - u_1х. Это уравнение можно вывести из первых двух, но оно становится очевидным при переходе в инерциальную систему центра масс. В этой системе отсчета полный импульс системы равен нулю, и после удара скорости шаров просто меняются на противоположные. Решая два линейных уравнения, находим конечные скорости шаров:

, .

При упругом ударе о движущуюся стенку (т₂>>т₁) получим

u_{2x } v_2x, u_{1x  -} v_1x + 2v_2x.

Пример 2. Два шара массами т₁ и т₂, летящие со скоростями и , соответственно, навстречу друг другу, неупруго соударяются. Найти количество выделившегося тепла Q.

Решение: После абсолютно неупругого удара шары движутся поступательно с одинаковой скоростью , то есть как одно составное тело без вращения, если удар центральный. Скорости сравниваются в результате действия неконсервативных сил, то есть при неупругом ударе обязательно выделяется тепло Q. Чтобы убедиться в этом, найдем с помощью закона сохранения импульса конечную скорость шаров: , после чего вычислим уменьшение механической энергии:

.

2.5. Динамика абсолютно твердого тела

Плоское движение твердого тела является суперпозицией поступательного движения центра масс и вращательного движения в системе центра масс. Движение центра масс описывается вторым законом Ньютона и определяется результирующей внешней силой. Вращательное движение подчиняется основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела. Перед написанием уравнения введем основные динамические понятия вращательного движения твердого тела.

Моментом силы относительно оси z называют проекцию на эту ось момента сил относительно любой точки О на этой оси.

Моментом импульса относительно оси z называется проекция на эту ось момента импульса относительно любой точки О на этой оси.

Момент импульса твердого тела (системы материальных точек) относительно неподвижной оси вращения z равен:

_z = ∑ _i = ∑ R_i m_{i i} = ∑ m_i R_i² = I_z ,

где _i - момент импульса точки тела относительно оси, R_i - расстояние от точки m_i до оси вращения, _i = R_i - линейная скорость вращения точки при угловой скорости вращения тела . Направление проекции _z совпадает с направление угловой скорости . Величина I_z = ∑m_i R_i² = ∫R²dm называется моментом инерции твердого тела относительно оси z.

Таблица 4

Моменты инерции некоторых однородных тел простейшей формы

Тело	Положение оси	Момент инерции
Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось, перпендикулярна к стержню и проходит через его середину
Тот же стержень	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
Полый тонкостенный цилиндр радиуса r и массы m	Ось цилиндра	mr2
Сплошной цилиндр радиуса r, массы m	Ось цилиндра
Шар, радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара

Продифференцировав уравнение для момента импульса твердого тела по времени и учтя, что = _z, где _z - момент внешних сил относительно оси вращения z получим:

_z = _z ,

где = – угловое ускорение. Это уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна:

E _к = = ω²∑m_i R_i² = I_z ω².

При движении тела массой m поступательно со скоростью (скорость центра масс) и при одновременном вращении тела вокруг мгновенной оси с угловой скоростью полная кинетическая энергия твердого тела определяется как

E_к = + I_сω²,

где I_с - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс тела.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил идет на приращение кинетической энергии, так как потенциальная энергия тела не изменяется:

dA = dE_к = d( = I_zωdω = M_zωdt = M_z( ) dt = M_zdφ,

где φ – угол поворота тела. В случае постоянной величины момента сил _z = const, полная работа внешних сил при повороте тела на угол φ вычисляется в процессе интегрирования от нуля до φ и равна:

А = ( , d ) = M_zφ,

где d = dt.

Момент инерции – скалярная аддитивная величина, характеризующая распределение массы тела по отношению к оси вращения. Момент инерции является мерой инертности твердого тела по отношению к вращательному движению и играет ту же роль, что масса для поступательного движения тела.

Теорема Штейнера: момент инерции I_z тела относительно произвольной оси вращения z равен сумме момента инерции I₀ относительно оси, параллельной оси z и проходящей через центр масс данного тела, и величины md²:

I_z = I₀ + md²,

где m – масса тела, d – расстояние между осями.

Теорема о взаимно перпендикулярных осях: момент инерции плоского тела I относительно произвольной оси z, перпендикулярной его плоскости, равен сумме моментов инерции I и I относительно двух взаимно перпендикулярных осей x и y, лежащих в плоскости тела и пересекающихся с осью z:

I_z = I_x + I_y.

Каждое тело независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси, подобно тому как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находится в покое.

Свободной осью вращения тела называется ось, положение которой в пространстве остается неизменным при вращении вокруг нее тела в отсутствии внешних сил.

Главными осями инерции любого тела являются три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр масс тела оси, которые могут служить свободными осями.

Главными моментами инерции тела считаются моменты инерции относительно главных осей инерции.

Без воздействия извне, устойчивым является вращение вокруг главных осей, соответствующих максисмальным и минимальным значениям момента инерции. В общем случае для однородного тела (ассиметричного волчка) главные моменты инерции различны: I₁ ≠ I₂ ≠ I₃. Для тела с осевой симметрией (симметричный волчок) два главных момента инерции имеют одинаковые значения, третий, же, вообще говоря, отличен от них: I₁ = I₂ ≠ I₃. В случае тела с центральной симметрией (шаровой волчок) все три главных момента инерции одинаковы: I₁ = I₂ = I₃. Зная главные оси инерции и моменты инерции относительно этих осей, можно определить момент инерции тела относительно любой оси. Моменты инерции тел сложной конфигурации обычно определяют экспериментально.

В табл. 5 дано сопоставление величин и уравнений динамики поступательного и вращательного движений твердого тела.

Таблица 5

Величины и уравнения динамики поступательного и вращательного движения

Поступательное движение	Вращательное движение (относительно неподвижной оси вращения z)
m - масса	Iz – момент инерции
= m - импульс	= [ , ] – момент импульса z = [ , ]z = Iz
- сила	= [ , ] – момент силы = [ , ]z
= m = m	= I =
dt– импульс силы	dt – импульс момента силы
Ек =	Eк =
∑ m = const – закон сохранения импульса	∑Iz = const – закон сохранения момента импульса
dA= dEк = d( )=FsdS A = -	dA = dEк = d ( ) = Мzdφ A = -