2.8. Неинерциальные системы отсчета

Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета (ИСО). Относительно всех ИСО выделенное тело движется с одинаковым ускорением . Любая неинерциальная система отсчета (НСО) движется относительно инерциальной с некоторым ускорением, поэтому ускорение тела относительно НСО будет _отн ≠ . Обозначим разность ускорений тела в инерциальной и неинерциальной системах символом *:

* = – _отн .

При поступательном движении НСО * = const для всех точек пространства и представляет собой ускорение НСО. Для вращающейся НСО * = * ( ) в разных точках пространства будет различным, так как является функцией радиуса-вектора , определяющего положение точки относительно неинерциальной системы отсчета.

Силы инерции. Пусть результирующая всех сил, обусловленных действием на данное тело со стороны других тел, равна . Тогда, исходя из второго закона Ньютона для тела в ИСО, можно прийти к следующему соотношению:

= m  = m( _отн + *)  + (- m *) = m _отн  + _ин = m _отн,

где _ин – сила инерции, которая показывает, что даже при = 0 тело будет двигаться по отношению к НСО с ускорением (– *), так, как если бы на него действовала сила, называемая силой инерции, равная (– m *). Соответственно уравнение второго закона Ньютона для тела в НСО будет иметь вид:

m _отн = + _ин.

Центробежная сила инерции. Силу инерции, возникающую во вращающейся (по отношению к инерциальной системе) системе отсчета (НСО), называют центробежной силой инерции. Эта сила действует на тело во вращающейся системе, независимо от того, покоится тело в этой системе или движется относительно нее с определенной скоростью _отн. В общем случае, с учетом закона сложения скоростей, для равномерно вращающейся с угловой скоростью системы отсчета, скорость тела v определяется по формуле:

= _отн + [ , ].

Применяя формулу = ( )_отн + [ , ] (где член ( )_отн определяет скорость изменения вектора относительно вращающейся системы координат), выражающую производную по времени от любого вектора , который вращается с угловой скоростью , можно получить аналогичное кинематическое соотношение и для ускорения . Далее применяя формулу к каждому из членов уравнения = _отн + [ , ], получим соотношение для ускорения виде:

= = + [ , ] =

( )_отн+ [ , _отн] + [ , ( _отн + [ , ])] =

_отн + 2[ , _отн] + [ , [ , ]] = _отн + _кор + _цб.

Слагаемое ускорения _n = [ ,[ , ]] представляет собой нормальное (центростремительное) ускорение данной точки системы отсчета, связанное с поворотом вектора скорости [ , ] вместе с системой отсчета, направленное в сторону оси вращения и равное _n = ω²R (R – расстояние до оси). Дополнительное слагаемое _кор = 2[ , _отн], которое называют кориолисовым ускорением, связано, во-первых, с поворотом вектора скорости _отн вместе с системой отсчета, и, во-вторых, с изменением скорости [ , ] за счет перемещения тела из одной точки вращающейся НСО в другую.

Из формулы = _отн + _кор + _цб получается, что _отн = + (- _кор) + (- _цб), или

m _отн = m + m (- _кор) + m(- _цб) = + _ин.

Рис. 2.38

Учитывая, что сила инерции представляет собой сумму двух членов, один из которых называют силой Кориолиса, а другой - центробежной силой, можно записать соотношения:

_ин = _кор + _цб = m(- _кор) + m(- _цб) =

= m(-2[ , _отн]) + m(-[ , [ , ]]) =

2m[ _отн, ] + m[ , [ , ]] = 2m[ _отн, ] + mω²R.

Сила Кориолиса направлена перпендикулярно скорости _отн тела. Центробежная сила инерции направлена от оси вращения (вектор направлен от оси вращения перпендикулярно к ней) (рис. 2.38).