Примеры решения задач

Пример 1. Закон движения точки имеет вид: x = Rcost, y = Rsint. Найти уравнение траектории движения точки, ее скорость и ускорение.

Решение: Исключая время, находим уравнение траектории движения точки:

cos²t = и sin²t = x²+ y²= R².

Дифференцируя исходные выражения по времени, получим выражения для компонент скорости и ускорения точки, соответствено: v_х , v_у , a_х , a_у . Модуль скорости точки v = = и модуль ее ускорения а = ²R не зависят от времени и связаны соотношением а = . Ускорение направлено перпендикулярно скорости к центру окружности: = - .

Пример 2. Известны ускорение точки = const, начальная скорость , начальное положение . Найти траекторию и закон движения точки.

Решение: Последовательно интегрируя, находим сначала скорость точки = dt = = + t, а затем ее положение = dt = + t + t . Точка движется в плоскости векторов и по параболе, что видно в системе координат, где ось y направлена по вектору , а ось x – перпендикулярно вектору , т.е. координаты точки определяются, как

x = x + v t, y = y + v t + at .

2.2. Кинематика абсолютно твердого тела

В

Рис. 2.9

механике твердым телом называют тело, расстояние между любыми двумя точками которого не меняется (то есть отсутствуют деформации). Выделяют два простых движения твердого тела – поступательное и вращательное.

При поступательном движении прямая линия, соединяющая любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной себе.

При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения. Линейные скорости всех точек перпендикулярны оси вращения. Угловые скорости всех точек в каждый момент времени одинаковы. Распределение линейных скоростей точек тела можно представить с помощью векторного произведения = [ , ], где радиусы-векторы проводятся из любой точки О на оси вращения (рис. 2.9).

П

Рис. 2.10

лоское движение твердого тела, например, качение обруча без проскальзывания со скоростью (скорость точки О), является более сложным движением. При плоском движении векторы линейных скоростей всех точек тела параллельны некоторой плоскости ВАСО′ (рис. 2.10). В процессе плоского движения любая точка тела движется поступательно со скоростью _пост = и одновременно вращается с определенной скоростью _вр вокруг так называемой мгновенной оси вращения, проходящей через точку О′ перпендикулярно плоскости рисунка. Скорость любой точки относительно земли можно найти по закону сложения скоростей.

В табл. 3 дано сопоставление уравнений поступательного и вращательного движений твердого тела.

Таблица 3

Характеристики поступательного и вращательного движений

Вид движения	Поступательное	Вращательное
Равномерное	s = vt v = const a = 0	φ = ωt ω = const ε = 0
Равнопеременное	s = v0t ± v = v0 ± at a = const	φ = ω0t ± ω = ω0 ± εt ε = const
Переменное	s = (t) v = a =	φ = f(t) ω = ε =