Примеры решения задач

П

Рис. 2.11

ример 1. Тело брошено горизонтально со скорость V_x. Найти нормальное и тангенциальное ускорения тела через время t после начала движения.

Решение:

Полное ускорение тела через t секунд: a = g; . Полная скорость .

Из рисунка видно, что

cos = , sin .

Тогда a_n = g = g , т.к. ;

= g = g² .

Пример 2. Колесо радиуса r вращается ускоренно так, что его число оборотов возрастает на n₀ оборотов за каждую секунду. Найти к концу m-той секунды: угловую скорость колеса, линейную скорость точек на его ободе, нормальное, тангенциальное и полное ускорение точек на ободе.

Решение: Число оборотов n к концу m-той секунды равно n = n₀m. Угловая скорость  определяется по формуле  = 2n₀m. Линейная скорость точек на ободе колеса вычисляется как v = R = 2n₀mR. Нормальное ускорение равно а_n= ²R = 4²n₀²m²R. Тангенциальное ускорение a_ найдем на основании утверждения, что скорость v возрастает равномерно со временем, следовательно, для него, как для случая равнопеременного движения, должно иметь место равенство v = a_t, откуда

a_ = 2n₀R.

Полное ускорение определяется из равенства а а_n² + a_². Направление полного ускорения определяется углом , который вычисляется из равенства sin = a_ / a.

2.3. Динамика материальной точки

Динамика занимается изучением механического движения материальных тел (точек) под действием приложенных к ним сил. В основе динамики лежат три закона Ньютона.

Первый закон Ньютона гласит, что в инерциальных системах отсчета любое тело, не взаимодействующее с другими телами, движется прямолинейно и равномерно. Ускорение тела возникает только под воздействием других тел и зависит от инертности тела. Инертностью тела называется его способность сопротивляться изменению скорости в результате взаимодействия с другими телами. Масса тела m – это скалярная положительная величина, являющаяся мерой инертности тела. Неинерциальными называются системы отсчета, которые движутся ускоренно относительно инерциальных систем. Импульсом тела называют векторную величину, равную произведению массы тела на его скорость, много меньшую скорости света в вакууме, и являющуюся количественной мерой поступательного движения тела:

= m .

Силой , действующей на тело массой m при его взаимодействии с силами с другими телами, называется векторная величина , являющаяся результирующей мерой воздействия этих тел и равная , где – ускорение, сообщенное этой силой телу в инерциальной системе отсчета. Более общее определение силы имеет вид:

=

Изменение импульса точки под действием силы равно: . Выражение называется импульсом силы и является количественной мерой воздействия с силой одного тела (системы тел) на другое за время действия силы dt. Средняя по времени сила равна

=

Второй закон Ньютона утверждает, что если на материальную точку одновременно действуют N тел с силами , …, , то ускорение тела определяется равнодействующей (или результирующей) силой, равной векторной сумме этих сил :

= : или = .

Второй закон Ньютона называют уравнением движения тела, так как он позволяет рассчитать движение тела или системы тел, если известна зависимость сил взаимодействия между телами от их взаимного расположения и скоростей.

Третий закон Ньютона показывает, что силы и , с которыми действуют друг на друга два взаимодействующих тела А и В, направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны и равны между собой по модулю:

= - .

Если тела не находятся в непосредственном контакте, то они взаимодействуют друг с другом посредством силовых полей (электромагнитных, гравитационных, ядерных и др.), являясь при этом источниками полей.

Силовое поле, часть пространства, в каждой точке которой на помещенную туда материальную точку действует сила. Силовое поле называется стационарным, если оно создано неподвижными источниками. Силовое поле называется центральным, если сила, действующая со стороны поля на помещенную в него материальную точку, направлена в сторону центра поля, а величина силы зависит только от расстояния до этого центра. Если сила одинакова во всех точках поля = const, то поле называется однородным. Силовое поле, в котором работа сил поля, действующих на перемещающуюся в нем материальную точку, зависит только от начального и конечного положения точки и не зависит от вида ее траектории, называется потенциальным.

Виды силового взаимодействия. Все многообразие действующих в природе сил можно свести к нескольким фундаментальным силам, которые нельзя упростить, свести к другим силам, и законы которых просты и определяются точными формулами. В современной физике различают четыре вида фундаментального взаимодействия: гравитационное (в нем участвуют все частицы, в мире космических тел оно является определяющим), слабое (проявляется при взаимодействии элементарных частиц, определяя превращения их друг в друга), электромагнитное (действует между частицами, имеющими заряды) и сильное (определяет связи внутри атомных ядер).

Закон всемирного тяготения (поле тяготения). Две точечные массы m, M, находящиеся на расстоянии r друг от друга, притягиваются с силой тяготения (гравитационной силой), равной

F = γ ,

где γ ≈ 6, 67·10ˉ¹¹ Н·м²/кг² - гравитационная постоянная. Сила тяготения – центральная сила, которая действует вдоль линии, соединяющей частицы.

Если предположить, что гравитационное поле создается неподвижной массой М, радиус-вектор направлен от М к m, то силу, действующую на материальную точку с массой m, выступающую в роли ‘’пробного заряда‘’ в поле тяготения, можно записать в векторном виде:

= - γ

где знак « - » означает, что сила и радиус-вектор направлены в противоположные стороны.

Масса, входящая в выражение второго закона Ньютона, характеризует инерционные свойства материальной точки и называется ее инертной массой.

Масса материальной точки, входящая в выражение закона всемирного тяготения, также характеризует свойства этой точки и называется ее гравитационной массой.

Потенциальную энергию точки в центральном поле тяготения можно найти из соотношения

E_П = - γ .

Удельные значения силы и энергии не зависят от величины m и представляют собой характеристики поля, соответственно, напряженность поля тяготения (представляет собой ускорение свободного падения = точечной массы m в данной точке поля) и потенциал поля φ =

Сила, напряженность и потенциал поля тяготения, создаваемого несколькими массами, вычисляются с помощью принципа суперпозиции.

Однако для практических целей при решении механических задач удобно пользоваться нефундаментальными силами: силой тяжести, силой упругости, силой трения.

Сила тяжести и вес тела. Силой тяжести называется сила , приближенно равная силе гравитационного притяжения к Земле любой материальной точки, находящейся вблизи ее поверхности. Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз по нормали к данной точке земной поверхности. Под действием силы тяжести тело движется с ускорением свободного падения . На основе второго закона Ньютона для падающего тела массой m можно записать уравнение движения в виде: = m .

На основании точных экспериментов установлено, что для всех тел отношения их инертных масс к гравитационным одинаковы. Поэтому при соответствующем выборе величины гравитационной постоянной можно считать, что для любого тела его инертная и гравитационная массы равны друг другу и связаны с силой тяжести этого тела соотношением m = , где – ускорение свободного падения.

Весом тела называется сила , с которой тело действует на опору или подвес вследствие гравитационного притяжения к Земле. Под реакцией опоры (или подвеса) понимается сила , с которой опора или подвес действуют на тело, ограничивая его движение. Величина силы тяжести и веса тела зависит от удаления тела от центра Земли. Сила тяжести равна весу тела

= только в том случае, когда ускорение тела относительно Земли равно нулю и тело относительно Земли неподвижно или движется с постоянной скоростью. В противном случае = m ( – ), где – ускорение тела вместе с опорой (подвесом) относительно Земли. При свободном падении тела ( = ), его вес равен нулю и тело находится в состоянии невесомости.

Силы упругости возникают в результате взаимодействия тел, сопровождающегося их деформацией – изменением взаимного расположения частиц тела, приводящим к изменению конфигурации тела и к возникновению механических напряжений. Величина, равная отношению силы к площади поверхности, на которую действует сила, называется напряжением. Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным. Если сила направлена по касательной к поверхности, на которую она действует, напряжение называется касательным, или тангенциальным. Если после прекращения действия сил тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Деформации, сохраняющиеся в теле, после прекращения действия приложенных к нему сил, называются пластическими.

Сила упругости, возникающая в процессе деформации тела, пропорциональна смещению частиц тела из положения равновесия и направлена к положению равновесия (закон Гука):

= - k ,

где – радиус-вектор, характеризующий смещение частиц, а k – коэффициент упругости тела. Силы, имеющие иную природу, чем упругие, но удовлетворяющие приведенному выше соотношению, называются квазиупругими.

Силы трения появляются при перемещении соприкасающихся поверхностей (или слоев) относительно друг друга и направлены по касательной к трущимся поверхностям слоям) так, что противодействуют относительному смещению этих поверхностей (слоев). Выделяют силы сухого трения (сила трения покоя, сила трения скольжения, сила трения качения (рис. 2.12)) и силы вязкого трения (или силы сопротивления движению тела в жидкости или газе).

С

Рис. 2.12

Рис. 2.13

ила трения покоя возникает при действии на тело силы , стремящейся сдвинуть его. Сила трения покоя уравновешивает силу , равна ей по величине и противоположна по направлению. Максимальное значение F₀ , сила трения покоя принимает в момент начала скольжения. Максимальное значение силы трения покоя пропорционально силе нормального давления: F₀ = k₀N , где k₀ – коэффициент трения покоя, N – сила, нормального давления.

Модуль силы трения скольжения приблизительно равен F₀ и также пропорционален силе нормального давления: F_тр.ск. = kN, где k –коэффициент трения скольжения (k₀  k). Величины коэффициентов k₀ и k зависят от шероховатости поверхностей и изменяются приблизительно в интервале значений от 0,01 до 0, 85. В случае скольжения коэффициент трения является функцией скорости. На рис. 2.13 приведен график зависимости сухого трения от скорости движения тела. Если внешняя сила F превзойдет по величине F , то тело начинает скользить, причем его ускорение определяется результирующей двух сил: и .

П

Рис. 2.14

ри качении тела уменьшается величина коэффициента трения, а зависимости для силы трения качения остаются такими же как и для трения скольжения.

Сила сопротивления движению тела в жидкости или газе зависит от скорости и поперечных размеров тела. При малых скоростях и малых размерах тела сила сопротивления пропорциональна скорости (сила вязкого трения), при больших скоростях - пропорциональна квадрату скорости (рис. 2.14).