4.2. Уравнение состояния идеального газа

Идеальным называют такой газ, для которого можно пренебречь размерами молекул, силами межмолекулярного взаимодействия, и считать соударение молекул абсолютно упругим.

Состояние некоторой массы m газообразного вещества характеризуется параметрами состояния (объемом V, давлением p = (1н/м² = 1Па), термодинамической температурой T(К) = 273,15 + t (°С), плотностью ρ, молярной массой  и др.). Состояние называется равновесным если параметры вещества определены и не изменяются со временем. В неравновесном состоянии хотя бы один параметр вещества неопределен.

Между термодинамическими параметрами p, V, T существует однозначное соотношение, называемое уравнением состояния. Простейшее уравнение равновесного состояния газообразного вещества имеет вид: f(p, V, T) = 0.

П усть некоторая масса газа занимает объем V₁, имеет давление p₁ и находится при температуре Т₁ (рис. 4.2). Эта же масса газа в другом произвольном состоянии характеризуется параметрами p₂, V₂, T₂. Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется последовательно изотермическим (1-1) и изохорным (1-2) процессами.

По законам Бойля-Мариотта и Шарля:

p₁V₁ = p₁V₂

Исключая p₁, получим уравнение состояния идеального газа:

или .

Термодинамические параметры равновесного состояния идеального газа при m = const связаны уравнением Клапейрона: = const.

При T = 273 К (t = 0°С) и p = 1,013·10⁵ Па эмпирически установлено, что один моль любого газа занимает объем V₀ = 22,4·10‾ ³ м³, откуда можно найти числовое значение молярной (универсальной) газовой постоянной: R = = 8,31 Дж / (моль·К).

Уравнение состояния для моля идеального газа можно записать в виде:

pV₀ = RT.

Его называют также уравнением Клапейрона - Менделеева. Уравнение Клапейрона -Менделеева для любой массы газа m (объемом V = ) записывается как:

pV = RT = RT.

Величина k = = 1,38·10 ‾²³ Дж / К называется постоянной Больцмана и представляет собой газовую постоянную, отнесенную к одной молекуле. При этом уравнение состояния идеального газа приводится к виду:

pV = RT = N T = NkT  p = kT = nkT,

откуда получается, что давление газа пропорционально произведению числа молекул в единице объема n на его термодинамическую температуру. Если учесть, что плотность газа

ρ = , а его масса m= , то можно выразить ρ через термодинамические параметры:

ρ = .

Работа простой термодинамической системы. Однородная и изотропная термодинамическая система, химический состав которой не меняется, называется термодинамически простой (однокомпонентные (чистые) газы и жидкости). Равновесные состояния простой системы можно изображать точками на плоскости (например, в координатах (p, V)), равновесные процессы – линиями на плоскости. Работа, совершаемая простой системой против внешних сил, равна

А = pdV, A = p(V)dV,

где p(V) называется уравнением процесса. Так как работа не является функцией состояния, то бесконечно малая работа обозначена А, чтобы отличить ее от бесконечно малого изменения функции (дифференциала).

Наличие связи между любыми тремя параметрами простой системы, налагаемое уравнением состояния, приводит к связи между их производными. Выразив Т через изменения р и V: dТ = dV + dp и применив это выражение к изотермическому процессу, для которого dТ = 0, получим ( )_p( )_V( )_T = - 1. Это соотношение связывает между собой три коэффициента:

 = ( )_p – температурный коэффициент объемного расширения;



Рис. 4.3

= ( ) – температурный коэффициент давления;

К = - V( )_T– изотермический модуль всестороннего сжатия.

Изопроцессы в идеальном газе. Термодинамический процесс, протекающий в газе, при котором один из параметров, определяющих состояние газа, остается постоянным, называется изопроцессом.

И

Рис. 4.4

Рис. 4.4

зотермический процесс в газе протекает при постоянной температуре (Т = const). Произведение давления газа на объем для данной массы газа при изотермическом процессе есть величина постоянная (закон Бойля-Мариотта): pV = const. Графически этот закон в координатах p и V изображается линией, называемой изотермой (рис. 4.3).

Изобарный процесс протекает при постоянном давлении (р = const). Объем газа данной массы при постоянном давлении возрастает линейно с увеличением температуры (закон Гей-Люссака): V = V₀(1+ _vt), где V – объем газа при температуре t,°С; V₀ - объем газа при 0°С. Величина _vt называется температурным коэффициентом объемного расширения. Графическая зависимость объема от температуры изображается прямой линией – изобарой (рис. 4.4).

И

Рис. 4.5

зохорным называется процесс, протекающий в газе при постоянном объеме (V = const). Давление газа данной массы при постоянном объеме возрастает линейно с увеличением температуры (закон Шарля): р = р₀(1+ _pt), где р – давление газа при температуре t,°С; р – давление при 0°С. Величина  называется температурным коэффициентом давления. Графическая зависимость давления от температуры изображается прямой линией – изохорой (рис. 4.5).

Значения температурных коэффициентов не зависят от природы газов и для всех газов их можно связать между собой следующим образом:

_v   =  = .

Заменив в уравнениях изобары и изохоры температуру, отсчитанную по шкале Цельсия, термодинамической температурой T = 273,15 + t (°С), , получим:

р_T = р₀[1+ (Т – )] = р₀Т,

V_T = V₀[1+ (Т – )] = V₀Т.

Примеры решения задач

Пример 1. Наполненный газом бак в виде прямоугольного параллелепипеда длиной l и с площадью основания S движется с ускорением а в направлении, перпендикулярном одной из его стенок. Плотность покоящегося газа ₀, его масса М, температура Т. Силой тяжести, действующей на газ, пренебречь. Найти разность плотностей ( ) у его задней и передней стенок.

Решение: Для нахождения плотностей газа у задней стенки и у передней стенки рассмотрим тонкие слои газа около стенок, объемом dV_з и dV_п с массой газа в них dM_з и dM_п, соответственно, такие, чтобы в пределах этих слоев плотность газа была практически постоянной. Уравнения состояния для слоев имеют вид

p_з = = , p_п = = ,

откуда получается, что разность плотностей газа у стенок бака ( - ) зависит от разности давлений у стенок (p_з - p_п):

p_з - p_п = ( - ) - = .

Полагая, что все части газа имеют одинаковое ускорение, по второму закону механики M = _з + _п, где _з и _п - силы, действующие на газ со стороны задней и передней стенок бака, соответственно.

Проектируя выражение для (M ) на направление движения бака, получим с учетом того, что F_з = p_зS и F_п = p_пS:

Ма = (p_з - p_п)S.

Так как М = l S , то выражение примет вид l а = (p_з - p_п) и соответственно

- = .

Пример 2. В сосуде объемом V находилась при температуре Т вода в количестве m. В результате нагрева на Т вода испарилась. Найти давление ее паров до и после нагрева.

Решение: Первоначальное состояние пара описывается уравнением p₁(V- V_в) = .

При этом пар был насыщенным, так как находился достаточно долго в сосуде одновременно с водой и, значит, M = _н(V- V_в). Исключая из уравнений массу пара М, получим p₁ = . При этом берется из таблиц. Для конечного состояния системы (после испарения воды) имеем . Подстановка приводит к уравнению , где , и - табличные данные, а t = T – 273 K (температура воды перед нагревом). При решении не учитывается зависимость плотности воды от давления и изменения объема сосуда при изменении температуры.