
- •Часть 1
- •О главление
- •Предисловие
- •После изучения дисциплины необходимо знать
- •После изучения дисциплины необходимо уметь
- •Содержание дисциплины
- •Самостоятельная работа студентов и контроль знаний студентов
- •После изучения главы необходимо знать
- •Простейшие интегралы
- •После изучения главы необходимо знать
- •2 Рис. 2.1 Рис. 2.1 .1. Кинематика материальной точки
- •Примеры решения задач
- •2.2. Кинематика абсолютно твердого тела
- •Примеры решения задач
- •2.3. Динамика материальной точки
- •Примеры решения задач
- •2.4. Законы сохранения
- •Примеры решения задач
- •2.5. Динамика абсолютно твердого тела
- •Примеры решения задач
- •2.6. Механика деформируемых тел
- •2.7. Механика жидкостей и газов
- •М етоды определения вязкости.
- •2.8. Неинерциальные системы отсчета
- •Пример решения задачи
- •2.9. Специальная теория относительности
- •Примеры решения задач
- •После изучения главы необходимо знать
- •3.1. Гармонические колебания
- •3.2. Свободные незатухающие механические колебания
- •С другой стороны, при малых углах
- •3.3. Затухающие механические колебания
- •3.4. Вынужденные механические колебания. Резонанс
- •3.5. Упругие волны
- •После изучения главы необходимо знать
- •4.1. Основные положения и определения
- •4.2. Уравнение состояния идеального газа
- •4.3. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа
- •4.4. Кинетическая теория идеального газа
- •4.5. Реальные газы
- •Вопросы для самоконтроля к разделу 1: Элементы векторного анализа
- •К разделу 2: Физические основы механики
- •К разделу 3: Колебания и волны
- •К разделу 4: Молекулярная физика и термодинамика
- •Т олковый словарь
- •Инертность тел – свойство, присущее всем телам и заключающееся в том, что тела оказывают сопротивление изменению их скорости (как по модулю, так и по направлению).
- •Кинематика – раздел механики, изучающий движение тел без рассмотрения причин, которые это движение обуславливают.
- •З аключение
- •Б иблиографический список
- •Краткий курс физики
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
Пример решения задачи
Найдите отклоняющее действие силы Кориолиса на тело, свободно падающее с высоты h на экваторе Земли.
Решение: Так
как отклонение падающего тела от
вертикали будет незначительное, то в
первом приближении можно подставлять
в силу Кориолиса
кор
= 2m
скорость невозмущенного падения
=
t.
Так как вектор
перпендикулярен
,
то сила Кориолиса направлена в сторону
востока, равна 2mv
и сообщает телу горизонтальное ускорение
авост= 2gt.
Интегрируя, находим горизонтальную
скорость vвост =
gt2
и горизонтальное перемещение sвост
.
Подставив сюда время падения t
=
,
найдем конечное отклонение. Например,
для h = 300 м отклонение составляет
s
10
см.
2.9. Специальная теория относительности
Теория абсолютного пространства и времени просуществовала всего два столетия. На рубеже 19 – 20 веков квантовая механика Шредингера и теория относительности Эйнштейна позволили осознать, что окружающий мир не трехмерен, а четырехмерен, и в нем время, взаимосвязанное с пространством, играет особую роль. Все вокруг стало относительным и вероятностным, многие точные понятия начали терять смысл, и время стало зависеть от скорости и степени искривленности пространства.
Мир Галилея и Ньютона был Евклидов – бесконечен и однороден, - хотя уже время рассматривалось как важная и особая координата. Происходящие процессы описывались в непрерывном и бесконечном пространстве-времени. Ньютоновская механика опиралась на абсолютное и единое время.
В 1905 году А. Эйнштейн предложил теорию относительности, суть которой заключалась в том, что на быстро движущемся объекте время течет медленнее, изменяются параметры тел и их свойства. То есть время стало величиной относительной.
В 1908 году немецкий ученый Г. Минковский доказал неразрывное единство пространства и времени и ввел новое понятие пространство-время. Мир стал четырехмерным.
В 1916 году Эйнштейн завершил создание специальной теории относительности (СТО), согласно которой пространство-время может искривляться под действием сил тяготения (математически искривленные пространства описал Н. Лобачевский в неевклидовой геометрии). Было открыто, что в сильном поле тяготения время течет медленнее. Эти эффекты были названы релятивистскими (relative – относительный).
Постулаты
СТО.
Специальная
теория относительности
Эйнштейна расширяет границы классической
ньютоновской физики, действующей в
области нерелятивистских
скоростей,
малых по сравнению со скоростью света
с,
на любые, в том числе релятивистские,
то есть сравнимые с с,
скорости. Все результаты релятивистской
теории при
→ 0 переходят в результаты классической
нерелятивистской физики (принцип
соответствия).
Специальная теория относительности опирается на два постулата:
Первый постулат: все физические законы – как механические, так и электромагнитные – имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета (ИСО).
Второй постулат Эйнштейна: скорость света в вакууме одинакова для всех инерциальных систем отсчета и равна c ≈ 3·108 м ⁄ с. Этот постулат содержит сразу два утверждения:
а) скорость света с не зависит от скорости v источника,
б) скорость света c не зависит от того, в какой инерциальной системе отсчета находится приемник, то есть не зависит от скорости приемника v.
П
Рис.
2.39
Тогда координаты и время события в системе К' будут выражаться через координаты и время в К с помощью преобразований Галилея (для случая систем координат с параллельными осями, с осями x' и x, направленными вдоль и отсчетом времени от момента полного совмещения осей):
x' = x – vt, y' = y, z' = z, t' = t.
Преобразования Галилея основаны на утверждениях о независимости хода времени и длины отрезков от системы отсчета, которые считались неотъемлемыми свойствами пространства и времени. Уравнение движения инвариантно (имеет одинаковый вид в разных системах отсчета) относительно преобразований Галилея. Теория относительности показывает, что преобразования Галилея верны только при v << c и их заменяют преобразования Лоренца, верные при любых скоростях v < c.
При таком же выборе осей координат и отсчета времени, как в преобразованиях Галилея, преобразования Лоренца имеют вид:
x'
= γ (x
– vt),
y' = y,
z' = z, t' = γ(t
–
x),
где
величина γ
определяется из равенства γ2
=
,
γ
≥ 1.
Преобразования Лоренца для разности координат и времен двух событий имеют вид:
∆x' = γ(∆x – v∆t), ∆y' = ∆y, ∆z' = ∆z, ∆t' = γ(∆t – ∆x).
Обратные преобразования из К' в К получаются при замене v на ( – v):
∆
x
= γ(∆x'
+ v ∆t'),
∆y = ∆y',
∆z = ∆z',
∆t = γ(∆t'
+
∆x').
Длина тела в разных системах. Длина движущегося тела определяется как расстояние между точками, где концы отрезка, длина которого равна продольному размеру тела, находились одновременно (то есть ∆t = 0). Предположим, что с телом, движущимся поступательно в системе К в направлении оси х со скоростью , связана система координат К' (рис. 2.40).
Собственный продольный размер тела L0, измеренный в системе К', в которой тело неподвижно, равен
L0 = x2' – x1'.
В системе К продольные размеры тела определяются аналогичным образом и равны
L = x2 – x1.
Из преобразований Лоренца, в которых надо учесть, что это одновременно скорость тела и системы К' относительно К и, что для мгновенного определения длины t1 = t2 (то есть ∆t = 0), получим
L0 = x2' – x1' = γ(x2 – vt2) - γ(x1 – vt1) = γ(x2 – x1 - vt2 + vt1) = γ(x2 – x1) = γL.
То есть, продольные размеры тела, движущегося со скоростью v → c, сокращаются:
L
=
.
Поперечные размеры движущегося тела не изменяются.
Относительность
хода времени.
Из преобразований Лоренца видно, что
время протекает по-разному в разных
ИСО. В частности, события, происходящие
в системе К
одновременно (∆t
= 0), но в разных точках пространства, в
К'
могут быть не одновременными: ∆t'
= -
может быть как положительным, так и
отрицательным (относительность
одновременности). Часы, движущиеся
вместе с системой отсчета (то есть
неподвижные относительно К',
или ∆x'
= 0), показывают собственное время этой
ИСО. С точки зрения наблюдателя в системе
К, эти часы отстают от его собственных
(замедление хода времени). Рассматривая
два отсчета движущихся часов как два
события, получим:
∆t = γ(∆t' + ∆x') = γ∆t'.
Равноправие всех ИСО проявляется в том, что с точки зрения наблюдателя К' часы, неподвижные относительно К, будут отставать от его собственных.
Сложение скоростей в СТО. Если частица движется со скоростью относительно ИСО К', то ее скорость относительно К можно найти, выразив dx, dy, dz, dt из формул:
∆x = γ(∆x' + v∆t'), ∆y = ∆y', ∆z = ∆z', ∆t = γ(∆t' + ∆x'),
подставив
в формулы для скоростей vx
=
,
vy
=
,
vz
=
.
Откуда получаются следующие соотношения:
vx
,
vy
,
vz
.
При vx << c и V << c происходит переход к нерелятивистскому закону сложения скоростей. Если V и v меньше c, то и скорость тела v относительно К будет меньше c. Скорость света c является максимально возможной скоростью передачи взаимодействий в природе.
Интервал. Преобразования Лоренца не сохраняют ни величину интервала времени, ни длину пространственного отрезка. В обычном пространстве расстояние ∆L между двумя точками определяется выражением (∆L)² = (∆x)² + (∆y)² + (∆z)² и является инвариантом, то есть не зависит от выбора системы координат. В четырехмерном пространстве-времени аналогичное выражение для расстояния между двумя точками (c∆t)2+(∆x)2+(∆y)2+(∆z)2 при переходе к другой ИСО изменяет свое числовое значение, однако, при преобразованиях Лоренца сохраняется величина
s122 = (c∆t)2 - (∆x)2 - (∆y)2 - (∆z)2 = (c∆t)2 - (∆r)2,
где
s12
называется интервалом
между событиями 1 и 2 (∆t
= t2
– t1,
∆r
= r2
– r1).
Если s122
> 0, то интервал между событиями называют
временеподобным,
так как в этом случае существует ИСО, в
которой ∆ r
= 0,
то есть события происходят в одном
месте, но в разное время. Если s122
< 0, то интервал между событиями называют
пространственноподобным,
так как в этом случае существует ИСО, в
которой ∆t
=
0, то есть события происходят одновременно
в разных точках пространства.
Убедимся в инвариантности интервала.
В системе К имеем s
= (c∆t)2
- (∆x)2
- (∆y)2
- (∆z)2.
В системе К'
для тех же событий (s12')2
= (c∆t')2
- (∆x')2
- -(∆y')2-
(∆z')2.
Подстановка ∆x'
= γ(∆x
–V∆t),
∆y'
= ∆y,
∆z'
= ∆z,
∆t'
= γ(∆t
–
∆x)
в выражение для (s12')2
приводит к равенству (s12')2
= s122,
что доказывает инвариантность интервала.
Лоренцевы четырехмерные векторы (4-векторы). Величина (Ax, Ay, Az, A) = ( , A), которая при переходе из системы К в систему К' преобразуется так же, как (x, y, z, ct), то есть:
Ax'
= γ
(Ax
–
A),
Ay
'
= Ay,
Az'
= Az,
A'
= γ(A
–
Ax),
называется лоренцевым четырехмерным вектором. Величины Ax, Ay, Az– пространственные компоненты 4-вектора, а A - его временная компонента. Сумма двух 4-векторов и произведение 4-вектора на число – тоже 4-вектор. При изменении ИСО сохраняется величина, аналогичная интервалу:
A2 = A2 - ( )2,
а
также скалярное произведение (AB
-
).
Физическое равенство, записанное в виде
равенства двух 4-векторов, остается
верным во всех ИСО.
Импульс и энергия в СТО. Релятивистский 4-вектор импульса определяют как
=
m
= γm
,
p
= md
= γmc,
где
d
= γdt
– бесконечно малое изменение собственного
времени частицы (измеренное в ИСО),
скорость которой равна скорости частицы
в данный момент. Пространственные
компоненты 4-вектора образуют релятивистский
импульс
=
γm
,
а временная компонента p
=
,
где Е
– релятивистская
энергия частицы:
Е
= γmc2,
поэтому 4-вектор (
)
называют 4-вектором
энергии-импульса.
Релятивистские энергия и импульс связаны
соотношением:
=
.
При переходе в другую ИСО энергия и
импульс преобразуются по закону:
px'
= γ(px
–
),
py'
= py,
pz'
= pz,
E'
= γ(E
–Vpx).
Релятивистская энергия частицы не равна
нулю при v
= 0, то есть она состоит из энергии
покоя mc2
и кинетической энергии:
Е = γmc2 = mc2 + Ек,
причем
релятивистская кинетическая энергия
при
<< 1 переходит в классическую
кинетическую энергию. Так как величина
- p2
сохраняется, ее можно вычислить в системе
отсчета, где частица в данный момент
покоится:
- p2 = m2c2 или E2 – p2c2 = m2c4.
Для частиц с массой, равной нулю (фотонов), связь между энергией и импульсом принимает вид:
Е = рc.
Между импульсом и кинетической энергией возможно соотношение:
p2c2 = Ек(Ек + 2mc2).
Законы сохранения, как и другие законы природы, должны соблюдаться во всех ИСО, то есть быть инвариантными по отношению к преобразованиям Лоренца. Запишем законы сохранения релятивистской энергии и релятивистского импульса для абсолютно неупругого удара двух тел массой m каждое, двигавшихся навстречу друг другу с одинаковой скоростью v.
Закон
сохранения энергии будет иметь вид
2γmc2
= Мc2,
а закон сохранения импульса записывается
как 2γ2mv
= γМv,
где масса составной частицы после
соударения М
равна 2γm.
Видно, что масса М
больше суммы начальных масс частиц.
Увеличение внутренней энергии при
неупругом ударе на ∆Е
приводит к увеличению массы составной
частицы на
.