5.2.Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Обозначая равнодействующую всех заданных сил и сил реакций связей F , а массу точки m , получаем

F=ma. (5.1)

Из кинематики точки известно, что ускорение a выражается через радиус-вектор (рис. 5.2):

a=d²r/dt².

Рис. 5.28

Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид

md²r/dt²=F. (5.2)

Если спроектировать обе части уравнений (5.1) или (5.2) на координатные оси, то получим дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси.

В декартовой системе координат в общем случае

ma_x=F_x; ma_y=F_y; ma_z=F_z.

Проекции ускорения на координатные оси можно выразить через вторые производные по времени от координат движущейся точки:

a_x=dv_x/dt=d²x/dt²; a_y=dv_y/dt=d²y/dt²; a_z=dv_z/dt=d²z/dt².

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид:

md²x/dt²=F_x; md²y/dt²=F_y; md²z/dt²=F_z. (5.3)

5.3.Две основные задачи динамики точки

Используя дифференциальные уравнения движения материальной точки, можно решать две основные задачи динамики точки.

Первая задача. Зная массу точки и ее закон движения, можно найти действующую на точку силу. Если, например, заданы уравнения движения точки в декартовой системе координат

x=f₁(t); y=f₂(t); z=f₃(t),

то проекции силы на оси координат определяются из дифференциальных уравнений движения точки:

F_x=md²x/dt²=md²f₁/dt²; F_y=md²y/dt²=md²f₂/dt²; F_z=md²z/dt²=md²f₃/dt².

Зная проекции силы на координатные оси, легко определить величину силы и косинусы углов силы с осями координат.

Вторая задача. По заданной массе и действующей на точку силе необходимо определить движение этой точки. Рассмотрим решение этой задачи в прямоугольной декартовой системе координат. В общем случае сила F, а следовательно, и ее проекции на координатные оси, могут зависеть от времени, от координат движущейся точки и ее скорости. Дифференциальные уравнения движения точки имеют вид:

md²x/dt²=F_x(t; x, y, z; x, y, z); md²y/dt²=F_y(t; x, y, z; x, y, z); md²z/dt²=F_z(t; x, y, z; x, y, z).

Для нахождения уравнений движения точки в декартовых координатах необходимо проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Решение одного дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Для случая трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка имеется шесть произвольных постоянных C₁, C₂, C₃, C₄, C₅, C₆.

Каждая из координат x, y, z движущейся точки после интегрирования системы уравнений (5.3) зависит от времени t и всех шести произвольных постоянных:

x=f₁(t, C₁, C₂, C₃, C₄, C₅, C₆ ), y=f₂(t, C₁, C₂, C₃, C₄, C₅, C₆ ), (5.4) z=f₃(t, C₁, C₂, C₃, C₄, C₅, C₆ ).

Если продифференцировать уравнения (5.4) по времени, то определяются проекции скорости точки на координатные оси:

vx =x=f1(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6), vy =y=f2(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6), (5.5) vz =z=f3(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6).

Таким образом, задание силы не определяет конкретного движения материальной точки, а выделяет целый класс движений, характеризующийся шестью произвольными постоянными. Действующая сила определяет только ускорение движущейся точки, а скорость и положение точки на траектории могут зависеть еще от скорости, которая сообщена точке в начальный момент, и от начального положения точки.

Для выделения конкретного вида движения материальной точки надо задать дополнительно условия, позволяющие определить произвольные постоянные, которых в общем случае будет шесть. В качестве таких условий обычно задают так называемые начальные условия, т.е. в какой-то определенный момент времени, например при t=0 (рис. 5.3), задают координаты движущейся точки x₀, y₀, z₀ и проекции ее скорости v_0x, v_0y, v_0z.

x=x₀, y=y₀, z=z₀, x=v_0x, y=v_0y, z=v_0z. (5.6)

Используя эти начальные условия и формулы (5.4) и (5.5), получаем шесть следующих уравнений для определения шести произвольных постоянных:

x₀=f₁(0, C₁, C₂, C₃, C₄, C₅, C₆); y₀=f₂(0, C₁, C₂, C₃, C₄, C₅, C₆); z₀=f₃(0, C₁, C₂, C₃, C₄, C₅, C₆); (5.7) v_0x=f₁(0; C₁, C₂, C₃, C₄, C₅, C₆); v_0y=f₂(0; C₁, C₂, C₃, C₄, C₅, C₆); v_0z=f₃(0; C₁, C₂, C₃, C₄, C₅, C₆).

Рис. 5.29

Если система уравнений (5.7) удовлетворяет условиям разрешимости, то из нее можно определить все шесть произвольных постоянных.

Начальные условия в форме (5.6) определяют единственное решение системы дифференциальных уравнений (5.3) при соблюдении соответствующих условий теории дифференциальных уравнений.